จำนวนเฉพาะ (prime number) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีแต่ตัวเอง และ 1 เท่านั้นที่หารมันได้ลงตัว
ตามคำจำกัดความนี้ จำนวนเฉพาะจึงได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ….. เพราะ 7 มีแต่ 7 กับ 1 เท่านั้นที่หาร 7 แล้วไม่เหลือเศษ แต่ 9, 15 มี 9, 3, 1 และ 15, 1, 5, 3 หารจำนวนทั้งสองได้ลงตัว ดังนั้น 7, 15 จึงเป็นตัวอย่างของจำนวนไม่เฉพาะ
นักคณิตศาสตร์ในสมัยเมื่อ 2,200 ปีก่อนก็สนใจศึกษาสมบัติของจำนวนเฉพาะ ดังเช่น Eratosthenes เมื่อ 230 ปีก่อนคริสตกาลได้เคยวัดรัศมีของโลก และแสดงวิธีหาจำนวนเฉพาะโดยการขีดฆ่า จำนวนต่างๆ ที่เป็น 2, 3, 5, 7 … เท่าของ 2, 3, 5, 7 … ออก (ยกเว้น 2, 3, 5, 7) กระบวนการกรอง (sieve) เช่นนี้ ทำให้ได้ว่า จากจำนวน 1 ถึง 100 จะมีจำนวนเฉพาะ คือ
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 91 รวม 25 จำนวน
Euclid ซึ่งเป็นบิดาของวิชาเรขาคณิตได้เคยพิสูจน์ว่า ในเอกภพมีจำนวนเฉพาะ มากนับอนันต์ (infinite)
Theon ปราชญ์แห่งเมือง Smyrna ในประเทศกรีซ เคยตั้งชื่อจำนวนเฉพาะว่า euthymetric คือ เป็นจำนวนที่มีตัวประกอบไม่สมบูรณ์ แต่ในที่สุด Fibonacci เมื่อปี 1202 ได้ตั้งชื่อจำนวนที่มีสมบัติว่า แยกตัวประกอบไม่ได้ คือ “จำนวนเฉพาะ” ให้โลกได้ใช้มาจนทุกวันนี้
การศึกษาสมบัติของจำนวนเฉพาะตลอดเวลาที่ผ่านมา ทำให้เรารู้ว่าจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดคือ 282,589,933 - 1 ซึ่งเมื่อกระจายออกเต็มยศ จะได้เลขที่มี 24,862,048 หลัก
จากที่รู้ว่าจาก 1…..100 มีจำนวนเฉพาะ 25 จำนวน
จาก 1…..1,000 มีจำนวนเฉพาะ 168 จำนวน
และจาก 1…..1,000,000 มีจำนวนเฉพาะ 78,498 จำนวน
คำถาม คือ จาก 1 ถึง 107, 1021 … จะมีจำนวนเฉพาะกี่จำนวน
ความยากสำหรับคนที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ คือ การนั่งนับ เป็นเรื่องที่เสียเวลามาก และอาจนับผิดด้วย ถ้าจำนวนที่พิจารณามีค่ามาก หรือคนนับอาจแยกตัวประกอบผิด เหตุผลเหล่านี้ทำให้นักคณิตศาสตร์มีความประสงค์จะหาสูตรที่บอกจำนวนเฉพาะได้ในทันที เท่าที่ผ่านมาโลกก็มีสูตรบ้าง ในบางกรณี แต่ไม่ได้มีทุกกรณี เช่น
จำนวนเฉพาะ palindrome เป็นจำนวนเฉพาะที่อ่านไปข้างหน้าก็ได้ ค่าเท่ากับที่อ่านย้อนหลัง เช่น 199, 919, 991 และ 700,666,007
จำนวนเฉพาะเชิงวงกลม (circular prime) เป็นจำนวนที่มีตัวเลขทุกตัวเป็นจำนวนเฉพาะ และถูกจัดเรียงสับเปลี่ยนทำให้ได้ค่าต่างๆ เช่น 1193 เป็นจำนวนเฉพาะเชิงวงกลม เพราะประกอบด้วย 1193, 9371, 3119, 1931 ซึ่งต่างก็เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะที่ราบสูง (plateau prime) เป็นจำนวนเฉพาะที่มีตัวเลขต้นกับตัวเลขสุดท้ายเท่ากัน แต่ตัวเลขตรงกลางเป็นตัวเลขอื่น ที่มีค่าเท่ากันโดยตลอดเช่น 181, 1777771 และ 355555553 เป็นต้น
จำนวนเฉพาะวูดดอล (Woodall prime) เป็นจำนวนเฉพาะที่หาได้จากสูตร n2n-1 เมื่อ n มีค่าเช่น 2, 3, 6, 30, 75, 81 ….. ซึ่งเมื่อแทนค่า n จะได้ 1, 7, 23, 63, 159, 683, 895 ….. ที่ล้วนเป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะคิวบา (Cuban prime) เป็นจำนวนเฉพาะที่สามารถหาค่าได้จากสูตร
p = (x3 - y3)/(x - y) เมื่อ x = y + 1 และ y > 0
ดังนั้นp = 3y2 + 3y + 1 โดยการแทนค่า y = 1, 2, 3 …..
จะได้p = 7, 19, 37, 61, 127 ….. ซึ่งล้วนเป็นจำนวนเฉพาะ
หรือp = (x3 - y3)/(x - y) เมื่อ x = y + 2 และ y > 0
ดังนั้นp = 3y2 + 6y + 4 เมื่อแทนค่า y = 1, 5, 7
ก็จะได้p = 13, 109, 193 …..
นอกจากนี้ก็มีจำนวนเฉพาะอีกหลายรูปแบบ เช่น Wolstenholn prime, Yarborough prime, Cullen prime, curved-digit prime, Pierpoint prime, snowball prime, Titanic prime, Wagstaff prime และ Wall-Sun-Sun prime เป็นต้น
ต่อจากนั้น เมื่อรู้จำนวนเฉพาะ การหาความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเฉพาะก็เป็นอีกประเด็นหนึ่งที่น่าสนใจ ในกรณีจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1…..ถึง 10 ซึ่งมีทั้งหมด 4 จำนวน คือ 2, 3, 5, 7 ถ้าเราพิจารณาคู่แฝด (twin prime) เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าต่างกัน 2 เราก็จะได้ 2 คู่ คือ (3,5) และ (5,7) เพราะ 5 – 3 = 2 และ 7 – 5 = 2
จากนั้นถ้าพิจารณา 1…..100 ซึ่งมีจำนวนเฉพาะ 25 จำนวนจะได้จำนวนเฉพาะที่มีค่าต่างกัน 2 ทั้งหมด 8 คู่ คือ
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61) และ (71,73) รวม 8 จำนวน
และถ้านับจาก 1.....105 จำนวนคู่ twin primes จะมี 1224 คู่
หรือนับจาก 1…..108 จำนวนคู่ twin primes จะมี 440312 คู่
หรือถ้าพิจารณาจำนวนเฉพาะที่มีค่าแตกต่างกัน 4 ก็จะพบว่า
จาก 1…..10 ไม่มีจำนวนเฉพาะคู่ที่มีค่าแตกต่างกันเท่ากับ 4 เลย
จาก 1…..100 มีจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันเท่ากับ 4 อยู่ 8 คู่
คือ (3,7), (7,11), (13,17), (19,23), (37,41), (43,47), (67,71), (79,83)
และจาก 1…..108 มีจำนวนเฉพาะที่มีค่าแตกต่างกันเท่ากับ 4 อยู่ 440,257 คู่
คู่จำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน 4 นี้มีชื่อเฉพาะว่า จำนวนเฉพาะคู่ลูกพี่ลูกน้อง หรือ (cousin primes)
ค่าความแตกต่างนี้มีชื่อทางวิชาการว่า ช่องว่าง (gap) ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่า ค่า gap สามารถมีได้ตั้งแต่ 2, 4, 6, 8 ….. ต่อไปได้เรื่อยๆ
ปัจจุบันได้มีการพบว่า เมื่อ gap มีค่าเท่ากับ 246 จากเลข 1, …..108 หรือ 100 ล้าน จะหาคู่จำนวนเฉพาะที่มีค่า แตกต่างกันเท่ากับ 246 ไม่ได้เลยนั้น คือ ในช่วง 1…..100,000,000 ไม่มีจำนวนเฉพาะที่มี gap = 246
คำถามที่นักคณิตศาสตร์ทฤษฎีจำนวนต้องการคำตอบมาก คือ ใครๆ ก็รู้ว่าจากคู่จำนวนเฉพาะที่มี gap = 2, 4, 6 ….. นั้นมีจำนวนนับอนันต์ แล้วจะมีใครพิสูจน์ได้ไหม
การรู้กับการพิสูจน์ได้เป็นคนละเรื่องเดียวกัน และนี่ก็คือที่มาของการพิสูจน์ โดยบุคคลอัจฉริยะท่านหนึ่งชื่อ Yitang Zhang ซึ่งมีประวัติที่น่าสนใจ และความมุ่งมั่นระดับสุดยอดของ Zhang ได้สร้างแรงบันดาลใจให้คนทุกคนที่รู้จักเขาว่า จากบุคคลโนเนมในวัย 55 ปีได้กลายมาเป็นเซเล็บของโลกคณิตศาสตร์ที่คนทั้งโลกรู้จัก
ในปี 1940 G.H. Hardy ผู้เคยทำงานร่วมกับ S. Ramanujan ซึ่งเป็นอัจฉริยะนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้เคยกล่าวว่า ความสามารถในการพบหรือสร้างทฤษฎีคณิตศาสตร์ใดๆ มักจะเป็นของคนที่มีอายุไม่เกิน 50 ปี
อีก 70 ปีต่อมา คำกล่าวนี้ไม่ถูกต้อง เพราะ Yitang Zhang ได้พิสูจน์ “การคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด” (twin prime conjecture) ที่ไม่มีใครพิสูจน์ได้ตลอดเวลาร่วม 150 ปีที่ผ่านมา ได้เป็นผลสำเร็จ และชื่อของ Zhang ได้รับการจารึกในตำนานเคียงคู่กลับนักคณิตศาสตร์ระดับซูเปอร์โนวา เช่น Andrew Wiles ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ได้ และ G. Perelman ผู้พิสูจน์การคาดการณ์ Póincare ได้ ทำให้ได้รับทุนรางวัล MacArthur ซึ่งเป็นทุนอัจฉริยะที่ไม่มีเงื่อนไขใดๆ แต่รับเหรียญ Fields ไม่ได้ เพราะ Zhang มีอายุเกิน 40 ปี
Zhang เกิดที่เซี่ยงไฮ้เมื่อปี 1955 บิดาเป็นอาจารย์สอนวิศวกรรมไฟฟ้า ส่วนมารดาทำงานเลขานุการบริษัท Zhang ชอบคณิตศาสตร์มาตั้งแต่เด็ก และโปรดปรานการแก้โจทย์ต่างๆ ด้วยตนเอง เพราะไม่มีใครช่วย
เมื่ออายุ 13 ปี ครอบครัวได้อพยพไปปักกิ่ง อีก 2 ปีต่อมาได้เกิดการปฏิวัติทางวัฒนธรรมครั้งยิ่งใหญ่ในจีน โดยพวก Red Guards ซึ่งได้ไล่ต้อนพวกปัญญาชนออกนอกเมือง Zhang ถูกส่งตัวไปทำงานในไร่ แต่เวลาว่างก็ยังสนใจอ่านตำราคณิตศาสตร์ ทั้งๆ ที่ถูกชาวบ้านติงว่า คณิตศาสตร์ช่วยอะไรในชาติไม่ได้เลย
หลังจากที่ต้องตรากตรำทำงานอยู่บ้านนอก 2 ปี Zhang ก็เดินทางกลับปักกิ่ง และทำงานหาเงินโดยเป็นลูกจ้างในโรงงานผลิตกุญแจ ในเวลาเดียวกันก็เตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัยปักกิ่งด้วย เพราะเป็นมหาวิทยาลัยที่มีชื่อเสียงที่สุดของจีน และสอบเข้าได้เมื่ออายุ 23 ปี
หลังจากที่ได้เรียนเรื่อง ทฤษฎีจำนวน (number theory) ซึ่งเกี่ยวกับสมบัติต่างๆ ของจำนวนเลขแล้ว Zhang รู้สึกชอบมาก และตั้งใจว่าจะเป็นผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้ แต่อธิการบดีของมหาวิทยาลัยมีความเห็นว่า วิชาเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) มีความสำคัญในการพัฒนาประเทศมากกว่า Zhang จึงต้องคล้อยตาม เพราะสังคมจีนในเวลานั้น ไม่ยอมรับปัจเจกบุคคล และคิดว่า การเป็นสมาชิกของกลุ่มมีความสำคัญมากที่สุด
ในฤดูร้อนของปี 1984 ศาสตราจารย์ T.T. Moh แห่งมหาวิทยาลัย Purdue ในสหรัฐอเมริกาได้เดินทางมาเยือนมหาวิทยาลัยปักกิ่งเพื่อค้นหานิสิตจีนไปเรียนต่อที่อเมริกา หลังจากที่ได้สนทนากับ Zhang แล้ว Moh รู้สึกประทับใจในความสามารถของ Zhang มาก จึงชวนไปทำปริญญาโทและเอกที่อเมริกาภายใต้การชี้นำของ Moh และให้ทำวิทยานิพนธ์ในสาขาวิชาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตที่ Moh ถนัด ด้วยทุนวิจัยที่ Moh มี
หลังจากที่สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอก Zhang ได้บอก Moh ว่า ต้องการไปทำวิจัยสาขาทฤษฎีจำนวนที่ตนถนัด ซึ่งทำให้ Moh ไม่ยินดี แต่ในเวลาเดียวกันก็ดีใจที่ Zhang จะไม่ทำวิจัยด้วย เพราะ Zhang ได้พบว่า Moh ทำงานวิจัยผิดหลายเรื่อง Moh จึงไม่เขียนจดหมายรับรองการสมัครงานให้ Zhang ซึ่งมีผลทำให้ Zhang ตกงานเป็นเวลานาน จนต้องไปทำงานเป็นพนักงานรับใช้ในภัตตาคาร และขายอาหารตามสถานีรถไฟใต้ดิน และต้องขออาศัยบ้านเพื่อน เพราะขัดสนเงินทอง แต่เมื่อใดที่ว่างจากงาน Zhang จะแวะไปอ่านหนังสือและวารสารคณิตศาสตร์ที่ห้องสมุดในเมือง New York
เมื่ออายุได้ 44 ปี เพื่อนคนหนึ่งของ Zhang ในสมัยที่เรียนที่มหาวิทยาลัยปักกิ่งได้งานเป็นอาจารย์ที่ภาควิชาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย New Hampshire ในสหรัฐอเมริกาและได้ชักชวน Zhang ซึ่งมีปริญญา Ph.D และไม่มีงานประจำไปสอนแคลคูลัสให้นิสิต ซึ่ง Zhang ก็ตอบรับการเป็นอาจารย์ชั่วคราว และสนุกสนานกับการสอนมาก ด้วยเงินเดือนที่ไม่มาก ทำให้ Zhang ต้องเช่าห้องอยู่ไม่ไกลจากมหาวิทยาลัยนัก (ประมาณ 6 กิโลเมตร) และมาทำงานโดยนั่งรถประจำทาง
สำหรับ Zhang นั้นก็ยังสนใจเรื่องการพิสูจน์ Twin Primes Conjecture อยู่เหมือนเดิม คือจะพิสูจน์ว่า มีจำนวนเฉพาะคู่ที่มี gap แตกต่างกันไม่ถึง 7x107 เป็นจำนวนมากถึงอนันต์หรือไม่
ตั้งแต่ปี 2001 ที่ Zhang จบปริญญาเอก เขามีงานวิจัยตีพิมพ์เพียงเรื่องเดียว จนถึงปี 2010 ก็ไม่มีใครเคยคิดว่า นักคณิตศาสตร์วัย 55 ปีจะทำอะไรที่ยิ่งใหญ่ได้
แต่เมื่อถึงวันที่ 3 กรกฎาคม ค.ศ.2012 ขณะเวลาบ่าย Zhang ก็ได้ขึ้นถึงยอดเขา Everest เพราะเขาสามารถพิสูจน์การคาดการณ์ที่ครุ่นคิดมานานได้ และพยายามเก็บตกจุดบกพร่องต่างๆ ก่อนจะส่งงานไปตีพิมพ์ในวารสาร Annals of Mathematics ซึ่งเป็นวารสารระดับสุดยอดของนักคณิตศาสตร์ ที่จะไม่ตีพิมพ์ผลงานใดๆ ถ้าคณะกรรมการประเมินคิดว่า ไม่สำคัญ เพราะสถิติการรับตีพิมพ์ของวารสารในปี 2013 จากบทความวิจัย 915 เรื่องที่ส่งมา วารสารได้ตีพิมพ์เพียง 37 เรื่อง คิดเป็น 4% ของทั้งหมด และระยะเวลาที่พิจารณาว่าจะลงให้หรือไม่นั้นนานประมาณ 1 ปี เพราะการตรวจสอบจะต้องกระทำทุกขั้นตอน ทุกบรรทัด และทุกสมการว่า วิธีที่ Zhang คิดนั้นถูกต้องหมด
ผลงานชื่อ “Bounded gaps between primes” จำนวน 53 หน้าของ Zhang ได้ลงพิมพ์ในวารสาร Annals of Mathematics 179 (3) หน้า 1121-1174 ปี 2014
ผลงานนี้ทำให้ Zhang ได้เลื่อนตำแหน่งจากอาจารย์เป็นศาสตราจารย์ทันที
ได้รับรางวัล F.N. Cole Prize ปี 2014
รางวัล Rock Schock Prize ประจำปี 2014
ทุน MacArthur ประจำปี 2014
และได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Academia Sinica ของจีนในปี 2014
ทันทีที่มีชื่อเสียงมหาวิทยาลัยต่างๆ ทั่วโลกได้ติดต่อเชิญ Zhang ไปเป็นอาจารย์ แต่ Zhang ก็ยังซื่อสัตย์ ต่อมหาวิทยาลัย New Hampshire และทำงานต่อจนกระทั่งเกษียณ
เมื่ออายุครบ 60 ปี ได้ย้ายไปสังกัดเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย California ที่ Santa Barbara เพราะ Yaling และ Zhang ชอบอากาศอบอุ่นของ California
ตราบถึงวันที่เดินจากอาจารย์ที่ปรึกษา Moh ไป Zhang มิได้ติดต่อกับ Moh เลย และนี่อาจจะเป็นปมด้อยในใจของ Zhang เพราะประเพณีและวัฒนธรรมของจีน ศิษย์จะนับถือครูเหมือนพ่อ แต่ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ที่แตกหักได้นำมาซึ่งชื่อเสียง สู่การใช้ความสามารถให้เป็นประโยชน์สูงสุด
อ่านเพิ่มเติมจาก First proof that infinitety many prime numbers come in pairs โดย Maggie McKee ในวารสาร Nature ฉบับวันที่ 14 พฤษภาคม 2013
สุทัศน์ ยกส้าน
ประวัติการทำงาน-ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" จาก "ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน" ได้ทุกวันศุกร์
