xs
xsm
sm
md
lg

“การคาดการณ์ abc” ที่ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้

เผยแพร่:   โดย: สุทัศน์ ยกส้าน


 Shinichi Mochizuki (Research Institute for Mathematical Sciences Kyoto University)
เมื่อวันที่ 30 สิงหาคม ค.ศ.2012 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นคนหนึ่งชื่อ Shinichi Mochizuki ได้โพสต์วิธีพิสูจน์ “การคาดการณ์ abc” (abc conjecture) ขึ้นบนเว็บไซต์

วิธีพิสูจน์ที่มีความยาวกว่า 500 หน้า โดยทุกหน้ามีสัญลักษณ์ อักษร และเครื่องหมายคณิตศาสตร์ต่างๆ มากมาย เป็นผลงานที่ Mochizuki ได้เพียรพยายามสร้างมานานกว่า 10 ปี เพื่อพิสูจน์ “การคาดการณ์ abc” ที่แม้เวลาจะผ่านมากว่า 27 ปีก็ยังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดสามารถพิสูจน์ได้ และถ้าวิธีพิสูจน์นี้ถูกต้อง เป็นที่ยอมรับ ผลงานของ Mochizuki ก็จะปฏิรูป และปฏิวัติเทคนิคการแก้สมการคณิตศาสตร์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นเลขจำนวนเต็มอย่างมโหฬาร และในเวลาเดียวกันวิธีพิสูจน์ของ Mochizuki ก็จะเปิดโลกคณิตศาสตร์สาขาใหม่ด้วย

Mochizuki เป็นนักวิจัยคณิตศาสตร์ประจำสถาบันวิจัย Research Institute for Mathematical Science (RIMS) แห่งมหาวิทยาลัย Kyoto ในประเทศญี่ปุ่น เขาเป็นคนมีนิสัยแปลกไม่เหมือนนักวิชาการทั่วไป คือ มีวิธีเผยแพร่ผลงานของตนในรูปแบบที่ไม่เหมือนใคร เช่น แทนที่จะส่งไปให้บรรณาธิการวารสารวิชาการตรวจพิจารณา หรือให้ผู้ทรงคุณวุฒิที่รู้จักอ่านก่อน กลับนำผลงานขึ้นเว็บไซต์ให้คนทั้งโลกเห็น

บุคคลแรกที่ได้เห็นผลงานของ Mochizuki คือ Akio Tamagawa ซึ่งเป็นเพื่อนร่วมสถาบันที่รู้ว่า Mochizuki ได้ซุ่มทำงานวิจัยเรื่องนี้อย่างโดดเดี่ยวและเงียบๆ เป็นเวลานานแล้ว จากนั้นไม่นาน Ivan Fesenko แห่งมหาวิทยาลัย Nottingham ในอังกฤษก็ได้เห็นผลงานบนเว็บไซต์ด้วย แต่หลังจากที่ได้พยายามาอ่านไปไม่กี่หน้า เขาก็หยุด เพราะอ่านไม่รู้เรื่อง และไม่เข้าใจวิธีคิดของ Mochizuki เลย จึงจัดการส่งงานวิจัยของ Mochizuki ไปให้ผู้เชี่ยวชาญคณิตศาสตร์เรขาคณิต (arithmetic geometry) พิจารณา

จากนั้นภายในเวลาเพียงไม่กี่วัน วงการคณิตศาสตร์ทั้งโลกก็เริ่มรู้ว่า มีคนอ้างว่าสามารถพิสูจน์ “การคาดการณ์ abc” ได้แล้ว แต่เมื่อนักคณิตศาสตร์ทุกคนได้อ่านวิธีพิสูจน์ ก็พบว่า ไม่มีใครเข้าใจวิธีพิสูจน์ของ Mochizuki อีกเช่นกัน เพราะเนื้อหาที่ปรากฏในวิธีพิสูจน์ มีความเป็นนามธรรมมากที่สุด จนทำให้รู้สึกเสมือนว่าได้อ่านวิธีคิด และวิธีการที่คณิตศาสตร์ปัจจุบันยังไม่มีใครใช้ แต่อาจจะมีในอนาคตหรือในต่างดาว Mochizuki เองก็คิดว่า ผู้เชี่ยวชาญที่จะเข้าใจผลงานของเขาได้ อาจต้องใช้เวลาอย่างน้อย 2 เดือน และถ้าผู้อ่านเป็นนักคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา ก็อาจจะต้องใช้เวลาประมาณ 10 ปี เมื่อความเห็นของ Mochizuki เป็นเช่นนี้ จึงไม่น่าแปลกใจว่า จำนวนคนที่พยายามอ่านวิธีพิสูจน์ของ Mochizuki ตั้งแต่ต้นจนจบมีไม่ถึง 100 คน

บุคลิกภาพของ Mochizuki เองก็มีส่วนในการทำให้นักคณิตศาสตร์ทั้งโลกไม่ยอมรับ เพราะเวลาอธิบายหรือบรรยายผลงาน เขาจะพูดภาษาญี่ปุ่น และจะไปปราศรัยในประเทศญี่ปุ่นเท่านั้น โดยไม่คิดจะเดินทางไปอธิบายวิธีพิสูจน์และตอบข้อสงสัยต่างๆ เป็นภาษาอังกฤษในต่างประเทศเลย แม้ตัวเองจะพูดภาษาอังกฤษได้คล่องก็ตาม หรือเวลามีคนขอสัมภาษณ์ในสื่อต่างๆ และเวลาใครเชิญไปออกรายการทีวี เขาก็ไม่ตอบจดหมายเชิญ เพราะคิดว่า เสียเวลา และมักยืนยันว่า คนที่จะเข้าใจวิธีคิดของเขาได้ จะต้องลบล้างวิธีคิดแบบเดิมให้หมดสิ้นก่อน เมื่อสาเหตุเป็นดังที่กล่าวมานี้ คนในวงการจึงมีความคิดว่า Mochizuki เป็นคนโอหัง ผู้ไม่แคร์ใครในโลก แต่ในความเป็นจริงการที่ Mochizuki มีทัศนคติเช่นนี้ เพราะเขามีปัญหาในการสื่อสารความคิดของเขาให้โลกภายนอกเข้าใจ

“การคาดการณ์ abc” อาจเขียนได้หลายรูปแบบ เช่น ในรูปสมการ a + b = c โดยมี a, b, c เป็นเลขจำนวนเต็ม ที่ประกอบด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะ (จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนที่เลข 1 กับตัวมันเองหารลงตัว) เช่น 15 + 84 = 99

ในที่นี้ a = 15, b = 84 และ c = 99 เพราะ 15 = 5 x 3, 84 = 2 x 2 x 3 x 7 และ 99 = 3 x 3 x 11

จำนวนทั้ง 3 จึงมี 2, 3, 5, 7, 11 เป็นจำนวนเฉพาะ และโดยทั่วไปตัวประกอบของ a กับ b มักไม่มีความเกี่ยวข้องใดๆ กับตัวประกอบของ c

แต่ “การคาดการณ์ abc” จะแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวประกอบของ a, b และ c โดยแถลงว่า ถ้า a และ b มีตัวประกอบที่มีค่าน้อยเป็นจำนวนมาก c ก็จะมีตัวประกอบที่มีค่ามากเป็นจำนวนน้อย

ถ้อยแถลงเรื่อง “การคาดการณ์ abc” ได้เกิดขึ้นเป็นครั้งแรกในปี 1985 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ Joseph Oesterlé ขณะให้สัมมนาเรื่องทฤษฎีจำนวนที่ประเทศเยอรมนี ทันทีที่ได้ยิน David Masser ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษในสังกัดมหาวิทยาลัย Basel ในประเทศสวิสเซอร์แลนด์ก็ตระหนักในความสำคัญของถ้อยแถลงนี้ จึงได้เรียบเรียงความคิดออกมาในรูป “การคาดการณ์” ดังนั้น ในทุกวันนี้หลายคนจึงเรียก “การคาดการณ์ abc” ว่า “การคาดการณ์ Oesterlé-Masser”

อีก 3 ปีต่อมา Noam Elkies แห่งมหาวิทยาลัย Harvard ที่เมือง Cambridge ประเทศสหรัฐอเมริกาก็ตระหนักว่า ถ้า “การคาดการณ์ abc” เป็นความจริง การแก้สมการ Diophantine ที่นักคณิตศาสตร์กรีกชื่อ Diophantus (ในค.ศ.200-280) ได้ศึกษาเป็นครั้งแรก การหาคำตอบจะเป็นเรื่องง่ายขึ้น และเร็วขึ้น

เพราะการคาดการณ์ abc จะเป็นตัวกำหนดว่า ถ้าคำตอบต้องมีค่าเป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 100 คำตอบที่เป็นไปได้ ก็จะมีตั้งแต่ 0, 1, … 99 ดังนั้นเราก็สามารถแทนค่าต่างๆ ตั้งแต่ 0 ถึง 99 ได้ในทันที ซึ่งถ้าไม่มีการคาดการณ์ abc เป็นตัวกำหนด ค่าต่างๆ ที่เป็นไปได้อาจจะมากถึงอนันต์ และนั่นหมายความว่า คำตอบที่เราได้ ก็จะไม่สมบูรณ์

Mochizuki เกิดเมื่อปี 1969 (ปัจจุบันอายุ 51 ปี) ที่กรุง Tokyo และใช้ชีวิตในวัยเด็กในอเมริกา โดยเข้าศึกษาที่โรงเรียนมัธยมในรัฐ New Hampshire การมีความสามารถทางคณิตศาสตร์มากได้ชักนำให้ไปเรียนปริญญาตรีสาขาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Princeton ตั้งแต่อายุ 16 ปี จากนั้นได้เรียนต่อในระดับปริญญาเอก

คนที่รู้จัก Mochizuki ดี รู้ว่าเขาเป็นคนที่มีสมาธิและความตั้งใจสูงมาก คือมุ่งแต่เรียนและเรียนทำให้ดูเสมือนเป็นคนเก็บตัว และสนใจคณิตศาสตร์เพียงเรื่องเดียวเท่านั้นในชีวิต

หลังจากที่สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอก Mochizuki ได้ไปทำวิจัยหลังปริญญาเอกเป็นเวลา 2 ปีที่มหาวิทยาลัย Harvard ถึงปี 1994 ก็ได้เดินทางกลับบ้านเกิดที่ญี่ปุ่น และเริ่มเป็นนักวิจัยในวัย 25 ปีที่ RIMS โดยไม่ต้องสอนนิสิตระดับปริญญาตรีแต่อย่างใด ดังนั้นจึงมีเวลาทำวิจัยอย่างเต็มตัว และเริ่มมีชื่อเสียงด้วยการพิสูจน์ “การคาดการณ์ Grothendieck” ได้ ในปี 1998 ได้รับเชิญเป็นผู้บรรยายนำในที่ประชุม International Congress of Mathematics ที่ Berlin ซึ่งถือกันว่ามีเกียรติมาก เพราะผู้บรรยายเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นนำของโลกที่มีสิทธิ์จะได้รับเหรียญ Fields ในอนาคต

จากนั้นงานของ Mochizuki ก็เริ่มเปลี่ยนทิศทาง คือ มีความเป็นนามธรรมมากขึ้นๆ จนนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อ่านไม่รู้เรื่อง และไม่เข้าใจ ผลที่ตามมา คือ Mochizuki เริ่มแยกตัวจากสังคม และไม่ไปประชุมวิชาการใดๆ เลย คือจะอยู่ที่ Kyoto เท่านั้น และไม่ต้องการใครมาสนทนาด้วย แต่ใครๆ ก็รู้ว่า Mochizuki กำลังหาทางพิสูจน์ “การคาดการณ์ abc” อยู่ ในขณะที่นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ หลีกเลี่ยงการพิสูจน์นี้ เพราะรู้ว่ายากมาก

เวลาได้ล่วงเลยไปเรื่อยๆ จนถึงต้นปี 2012 ทุกคนก็เริ่มได้ข่าวว่า Mochizuki ใกล้จะถึงเส้นชัยแล้ว ลุถึงเดือนสิงหาคม ทุกคนก็ได้อ่านงานวิจัยของ Mochizuki ออนไลน์

งานชิ้นนี้ได้ทำให้ Mochizuki กลายเป็นจุดสนใจของบรรดาสื่อต่างๆ ทันที จนทำให้เพื่อนๆ ของ Mochizuki กล่าวเตือนว่า ความกดดันและความอยากรู้อยากเห็นทุกสิ่งทุกอย่างเกี่ยวกับ Mochizuki อาจทำให้เขาคลั่งจนเสียสติได้ ดังนั้นเขาจึงไม่ควรพูดหรือให้สัมภาษณ์สื่อบ่อย เพราะตัว Mochizuki เองเป็นคนที่มีโลกส่วนตัวสูง และไม่ยินดีให้ใครมาล่วงรู้อะไรเกี่ยวกับเขาที่ไม่ใช่เรื่องคณิตศาสตร์

ตามปกติการพิสูจน์ต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์มักมีความยาวไม่มาก แต่บางเรื่อง การพิสูจน์ก็ยาวหลายหน้า และคนที่อ่านบทพิสูจน์ก็มักจะพบว่า หลังจากที่ได้อ่านไปเพียงไม่กี่หน้า ก็จะรู้ว่าเรื่องที่อ่านมีความสัมพันธ์เช่นใดกับเรื่องอื่นๆ ที่ทุกคนรู้กันดีแล้ว

แต่เมื่อทุกคนได้อ่านงานพิสูจน์ของ Mochizuki เพียงไม่กี่หน้า (จากทั้งหมด 500 กว่าหน้า) ก็พบว่า อ่านไม่รู้เรื่อง เพราะวิธีคิดของ Mochizuki แตกต่างไปจากวิธีคิดของนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อย่างสิ้นเชิง นอกจากนี้เขาก็ไม่ใช้คณิตศาสตร์ที่ทุกคนรู้จักดี นั่นคือ Mochizuki คิดเทคนิคใหม่ และตั้งสมมติฐานใหม่ในการพิสูจน์ ยิ่งเมื่อ Mochizuki ไม่ชอบอธิบายความคิดของตน คนที่มาอ่านก็ยิ่งอ่านไม่รู้เรื่อง และไม่ต้องการจะเสียเวลาในการอ่าน หาที่ผิด เพราะงานวิจัยยาวมาก แต่ถ้าไม่มีใครเข้าใจ การยอมรับวิธีพิสูจน์ของ Mochizuki ก็ยิ่งเป็นไปไม่ได้เลย

ล่าสุดในเดือนมีนาคม ปี 2018 Peter Scholze และ Jacob Slix ได้เดินทางไป Kyoto เพื่อขอคำอธิบายที่จะใช้ตรวจสอบวิธีพิสูจน์ “การคาดการณ์ abc” ของ Mochizuki และได้ประจักษ์ว่า คำอธิบายของ Mochizuki ยังไม่กระจ่างเลย งานวิจัยเรื่องนี้จึงยังไม่ผ่านการตรวจสอบจึงยังไม่เป็นที่ยอมรับในวงการคณิตศาสตร์ และคงต้องใช้เวลาอีกนานหลายปีจึงจะมีคนพิสูจน์ได้

อ่านเพิ่มเติมจาก Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and non archimedean theta functions, notes on the work of shinichi Mochizuki (https:www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/notesoniut.pdf)


สุทัศน์ ยกส้าน

ประวัติการทำงาน-ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย

อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" จาก "ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน" ได้ทุกวันศุกร์


กำลังโหลดความคิดเห็น...