“สมมาตร” หลักคณิตศาสตร์ที่ให้กำเนิดกฎอนุรักษ์ในฟิสิกส์

เมื่อ Robert Recorde (1510-1558) ซึ่งเป็นแพทย์ที่สนใจคณิตศาสตร์เป็น sideline ได้คิดเครื่องหมายเท่ากับ (=) ที่ประกอบด้วยเส้นตรงสั้นสองเส้นขนานกันขึ้นมา เพื่อแสดงความเท่ากันในทุกมิติระหว่างปริมาณทางซ้ายกับปริมาณทางขวาของสมการ เมื่อปี 1557 Recorde คงคิดไม่ถึงว่า แม้วันเวลาจะผ่านไปนานร่วม 467 ปีแล้ว นักคณิตศาสตร์ก็ยังใช้เครื่องหมายนั้นกันอยู่ และคงจะใช้กันไปอีกนานแสนนานในทุกวงวิชาการที่จำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ในการทำงาน




สำหรับ Einstein นั้น ก็ได้คิดสร้างสมการอีกมากมายที่คนทั้งโลกรู้จักดี เช่น สมการ L=mV2 ซึ่งในเวลาต่อมาได้กลายรูปเป็น E=mc2 ตามสัญลักษณ์ที่คนส่วนใหญ่นิยมใช้กัน และความเป็นอัจฉริยะของ Einstein ในการคิดกฎและสูตรต่างๆ นี้ ได้ชักนำให้กวี Paul Valery (1871–1945) สนใจถาม Einstein ว่า อะไรคือแรงดลใจที่ชักนำให้คิดได้ และทันทีที่คิดได้ Einstein มีสมุดบันทึกอยู่ข้างกายให้จดตลอดเวลาหรือไม่ ซึ่ง Einstein ก็ได้ตอบว่า “ผมไม่มีสมุด เพราะนาน ๆ ความคิดดีๆ จึงจะแว๊บขึ้นมาครั้งหนึ่ง”


หากเราจะเปรียบเทียบการนิยมใช้คณิตศาสตร์ในฟิสิกส์กับวิทยาศาสตร์สาขาอื่น ๆ เราก็จะเห็นความแตกต่างค่อนข้างมาก เช่น เมื่อ Charles Darwin (1809–1882) เขียนหนังสือชื่อ “On the Origin of Species” Darwin ไม่ได้เขียนสูตร หรือสมการคณิตศาสตร์ในหนังสือนั้นเลยแม้แต่สมการเดียว ด้าน Alfred Wegener (1880-1930) เมื่อเสนอทฤษฎีการเลื่อนตัวของเปลือกทวีปในปี 1912 สมมติฐานของ Wegener ในครั้งนั้นก็ไม่มีคณิตศาสตร์เลยแม้แต่น้อยเช่นกัน ส่วน Dmitri Mendeleev (1834-1907) เมื่อเสนอตารางธาตุในปี 1871 ก็ได้ใช้คณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อย เพื่อบอกน้ำหนักอะตอมเป็นตัวเลขเท่านั้นเอง


แต่ในฟิสิกส์ปัจจุบัน จะมีสูตรและสมการฟิสิกส์มากมายที่นักฟิสิกส์พบและเสนอ เช่น Roger Penrose (1931-ปัจจุบัน) ซึ่งเป็นเจ้าของรางวัลโนเบลฟิสิกส์ปี 2020 ได้คำนวณพบว่า ดาวพฤหัสบดีแผ่พลังงานคลื่นโน้มถ่วงออกมามีค่าเท่ากับหลอดไฟที่มีกำลัง 40 วัตต์หนึ่งดวง ด้าน Lord Robert May (1936–2020) ซึ่งเป็นนักฟิสิกส์ที่สนใจวิทยาการด้านนิเวศวิทยา ก็ได้คิดสมการ logistic ซึ่งเป็นสมการรูปแบบง่ายๆ แต่สามารถใช้อธิบายปรากฏการณ์อลวน (chaos) ได้ และผลงานของ May นี้ ยังช่วยพัฒนาวิทยาการเรื่องความหลากหลายทางชีวภาพและด้านระบาดวิทยาด้วย ส่วน Frank Drake (1930-2022) เป็นนักดาราศาสตร์ฟิสิกส์ก็ได้เสนอสมการ Drake ที่ใช้คำนวณหาโอกาสการพบมนุษย์ต่างดาวในกาแล็กซีต่างๆ และ Sherwood Rowland (1927–2012) ซึ่งเป็นนักเคมีเชิงฟิสิกส์ได้เสนอสมการ Molina-Rowland ที่แสดงให้เห็นว่า สารประกอบ chlorofluorocarbon (CFC) สามารถทำลาย ozone ในชั้นบรรยากาศ ที่ห่อหุ้มโลก ซึ่งทำหน้าที่เป็นเกราะให้ความปลอดภัยแก่มนุษย์ จากการถูกทำร้ายโดยรังสี ultraviolet

ความน่าสนใจของสมการหรือสูตรต่างๆ ที่นักวิทยาศาสตร์เหล่านี้พบ ได้ทำให้คนธรรมดาทั่วไปอยากจะรู้แหล่งที่มาของการพบองค์ความรู้ใหม่


ในการตอบคำถามประเด็นนี้ ในเบื้องต้น Einstein คิดว่า คณิตศาสตร์เป็นเพียงอุปกรณ์ หรือเครื่องมือที่นักฟิสิกส์ใช้ เพื่อจะได้เข้าใจและพยากรณ์เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นในธรรมชาติ และคณิตศาสตร์มิได้เป็นแหล่งกำเนิดขององค์ความรู้ใหม่ ดังจะเห็นได้จากทฤษฎีคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าของ James Clerk Maxwell (1831-1879) ซึ่งแสดงให้เห็นธรรมชาติของแสงว่า แสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ที่ประกอบด้วยสนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็ก มีการเคลื่อนที่แบบคลื่น คือ มีความเร็ว ความยาวคลื่น และความถี่ ส่วนสมการคลื่นของ Erwin Schrödinger (1887-1961) ก็มีแอมพลิจูดของคลื่นที่ใช้บอกโอกาสการพบอนุภาค ณ เวลาหนึ่ง และ ณ ตำแหน่งต่างๆ ได้

นั่นคือ การเข้าใจความหมายของสูตรและสมการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในฟิสิกส์ สามารถช่วยให้เรารู้ธรรมชาติของสิ่งที่กำลังศึกษาได้

ในเวลาต่อมา Einstein ก็ได้ประจักษ์ในความสำคัญของคณิตศาสตร์ ในการชี้บอกธรรมชาติที่แท้จริงของเอกภพ เมื่อเขาได้พบว่า ในการสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เพื่อแสดงแหล่งที่มาของแรงโน้มถ่วงนั้น Einstein จำเป็นต้องใช้เทคนิคทางเรขาคณิตในรูปแบบของ Bernhard Riemann (1826-1866) ที่มีปริภูมิ (space) เป็นเส้นโค้ง มิใช่เป็นเส้นตรง และความโค้งของปริภูมินี้เองที่ทำให้เกิดแรงโน้มถ่วงระหว่างมวล สมการของ Einstein ยังได้พยากรณ์อีกว่า เอกภพมีคลื่นโน้มถ่วง มีการถือกำเนิด มีหลุมดำ และมีรังสีไมโครเวฟภูมิหลัง ฯลฯ และคำทำนายทั้งหมดนี้ได้รับการยืนยันว่ามีจริง โดยการทดลอง


บทความวันนี้จะกล่าวถึง สมมาตร (symmetry) ซึ่งเป็นองค์ความรู้ที่ใช้ในคณิตศาสตร์ เคมี ชีวะ ฯลฯ อีกทั้งยังสามารถนำไปใช้ในวิทยาการอื่นๆ เช่น ดนตรี ศิลปะ สถาปัตยกรรม และวิศวกรรมศาสตร์ก็ได้ด้วย โดยเฉพาะในส่วนที่นำมาใช้ในฟิสิกส์นั้น นับว่ามีความสำคัญมาก เพราะหลักสมมาตรเป็นตัวกำหนดให้มีกฎอนุรักษ์ต่างๆ (พลังงาน โมเมนตัม โมเมนตัมเชิงมุม ฯลฯ) กำหนดให้มีการควบคุมโครงสร้างของสสาร และสามารถชี้บอกอันตรกิริยาต่างๆ ที่มีในเอกภพ

ตามความเข้าใจพื้นๆ ของคนทั่วไป ระบบจะมีสมมาตร ถ้าเวลาเรายืนมองระบบนั้นจากสถานที่ต่างๆ เราจะเห็นมันไม่แตกต่างกันเลย หรือเมื่อเราลงมือกระทำที่ระบบโดยการหมุนหรือเลื่อน มันก็ยังดูไม่แตกต่างไปจากเดิมแม้แต่น้อย

แต่ตามความเข้าใจของนักคณิตศาสตร์เวลาวัตถุ (หรือระบบ) มีสมมาตร คือ เวลาที่มีการเปลี่ยนแปลง (transform) แล้ว หลังการเปลี่ยนแปลง ระบบก็ยังอยู่ในสภาพเหมือนเดิม (คือ invariant)

ความสำคัญของหลักสมมาตรที่ใช้ในฟิสิกส์ปัจจุบัน คือ นักฟิสิกส์พยายามจะสร้างทฤษฎีของสรรพสิ่งที่รวบรวมอันตรกิริยา (ไฟฟ้า นิวเคลียร์อย่างอ่อน และอย่างแข็ง ตลอดจนถึงแรงโน้มถ่วง) ให้เป็นทฤษฎีหนึ่งเดียว เราจำเป็นต้องใช้หลักสมมาตร

แต่ก่อนจะไปถึงจุดนั้น จะกล่าวถึงประวัติความเป็นมาของหลักสมมาตรที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ เป็นการปูความรู้พื้นฐานก่อน


ในปี 1611 คือ เมื่อ 413 ปีก่อน Johannes Kepler (1571-1630) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์แห่งราชสำนักในจักรพรรดิ Rudolf II (1552–1612) ณ กรุง Prague ในเชโกสโลวาเกีย ได้เรียบเรียงหนังสือชื่อ “On the Six-Cornered Snowflake” ที่มี 24 หน้า เพื่ออธิบายว่า เหตุใดเกล็ดหิมะทุกเกล็ด จึงมีสมมาตรเป็นรูปหกแฉก (hexagonal) มุมเท่า (คือ 60 องศา) โดยได้อ้างประสบการณ์จากการสังเกตของตนว่า ขณะเดินข้ามสะพาน Charles ในกรุง Prague เขาได้เห็นเกล็ดหิมะที่ตกลงบนเสื้อโค้ททุกเกล็ด มีโครงสร้างที่แตกต่างกัน แต่ก็มีเอกลักษณ์หนึ่งร่วมกัน คือ มี 6 แฉกที่เหมือนกันในแนวรัศมี ทั้งๆ ที่ก่อนจะกลายสภาพเป็นเกล็ดหิมะ ไอน้ำไม่ได้มีรูปลักษณ์อะไรเลย แต่เวลาตกจากฟ้าลงมาเป็นเกล็ดหิมะ มันกลับมีรูปร่างเป็นดาว 6 แฉกทุกครั้งไป Kepler ได้พยายามอธิบายสาเหตุนี้ โดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์เรื่อง เรขาคณิต


ความจริงก่อนที่ Kepler จะสังเกตเห็นความจริงนี้ นักประวัติศาสตร์จีน เมื่อ 200 ปีก่อนคริสตกาล ก็ได้เคยบันทึกความรู้เรื่องนี้ไว้แล้ว และเมื่อถึงคริสต์ศตวรรษที่ 13 นักปรัชญาชาวเยอรมัน Albertus Magnus (1200-1280) และนักคณิตศาสตร์ René Descartes (1596–1650) ก็ได้เคยกล่าวถึงความเป็นสมมาตรของเกล็ดหิมะเช่นกัน ส่วนนักฟิสิกส์ Robert Hooke (1635-1703) ก็ได้วาดภาพของเกล็ดหิมะลงในตำรา Micrograph ที่ตนเรียบเรียงเมื่อปี 1665 แต่ไม่มีใครพยายามอธิบายสาเหตุที่เกิดหิมะมีสมมาตร 6 แฉก นอกจาก Kepler ซึ่งได้อธิบายว่า เพราะหน่วยเล็กที่สุดของของเหลว (ที่ไม่ใช่อะตอม) ได้พยายามจัดเรียงตัวให้อยู่กันอย่างหนาแน่นมากที่สุด

โดย Kepler ได้แนวคิดนี้จากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อ Thomas Harriot (1560-1621) ซึ่งได้เคยนำทาง Walter Raleigh (1544–1618) เดินทางเรือไปโลกใหม่ (อเมริกา) เมื่อปี 1584-5 และมีวันหนึ่ง Raleigh ได้เอ่ยถาม Harriot ว่ามีวิธีบรรจุลูกกระสุนปืนใหญ่ที่เป็นทรงกลมขนานเท่ากัน ลงในภาชนะให้ได้จำนวนมากที่สุดหรือไม่


คำถามโลกแตกนี้ ได้ทำให้ Harriot ครุ่นคิดนานจนถึงปี 1606-8 Harriot ก็ได้พบว่า วิธีจัดวางกระสุนปืนใหญ่ที่ Raleigh ต้องการ คือ ต้องทำแบบแม่ค้าที่จัดเรียงส้มขายในตลาด โดยให้ส้มลูกหนึ่งถูกห้อมล้อมโดยส้มอีก 6 ลูก และเรียงติดต่อกันเป็นชั้นแรก แล้วในชั้นที่สองก็ให้วางส้มลงเหนือช่องว่างทุกช่องในชั้นแรก เป็นเช่นนี้ในทุกๆ ชั้น จากนั้น Harriot ก็ได้ส่งแนวคิดนี้ไปรายงานให้ Kepler ทราบ

Kepler จึงคาดการณ์ว่า วิธีการลักษณะนี้คงจะทำให้สามารถบรรจุกระสุนปืนได้เป็นจำนวนมากที่สุด การคาดการณ์ของ Kepler (Kepler’s conjecture) ต้องใช้เวลาอีกนาน 387 ปี จึงได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริง โดยนักคณิตศาสตร์ชื่อ Thomas C. Hales (1958-ปัจจุบัน) ด้วยการใช้คอมพิวเตอร์คำนวณ

ภาพโครงสร้างผลึกของเกล็ดหิมะ ที่ Kepler เสนอว่าเป็นการจัดเรียงอนุภาคให้อยู่กันหนาแน่นที่สุดนี้ ได้กลายมาเป็นทฤษฎีด้านผลึกแร่ของ René Just Haüy (1743–1822) ในคริสต์ศตวรรษที่ 18

แม้คำตอบของ Kepler จะไม่ได้ช่วยให้คนทั่วไปเข้าใจสาเหตุการที่เกล็ดหิมะมี 6 แฉก ก็มิใช่เป็นเพราะว่า Kepler โง่ แต่เพราะการจะตอบคำถามนี้ได้ จำเป็นต้องอาศัยความรู้เรื่องสมมาตรของผลึกน้ำแข็งที่เป็นรูป 6 เหลี่ยมด้านเท่า แล้วมีการเติบโตของผลึก โดยการแตกแขนงออกไปใน 6 ทิศทาง อันเป็นความรู้ในยุคปี 1980 ซึ่งก็คือในอีก 370 ปีต่อมา


ความเกี่ยวพันระหว่างสมบัติสมมาตรในคณิตศาสตร์กับกฎฟิสิกส์ ได้อุบัติในปี 1915 เมื่อนักคณิตศาสตร์สตรีชื่อ Amalie Emmy Noether (1882–1935) ที่มหาวิทยาลัย Göttingen ในเยอรมนี ซึ่งเป็นสำนักตักศิลาในสมัยนั้น เพราะมีเอกอัจฉริยะบุคคล เช่น David Hilbert (1862-1943), Felix Klein (1849-1925), Werner Heisenberg (1901-1976) และ Erwin Schrödinger (1887-1961) เป็นศาสตราจารย์ประจำอยู่ที่นั่น แต่เมื่อกองทัพนาซีเรืองอำนาจ Noether จำเป็นต้องหลบหนีออกจากเยอรมนี เพราะเธอมีเชื้อชาติยิว ไปทำงานที่วิทยาลัย Bryn Mawr ในสหรัฐอเมริกา

ผลงานสำคัญที่ทำให้ชื่อเธอเป็นที่จดจำของคนทั้งโลก คือ การได้พบว่า กฎอนุรักษ์ต่างๆ ที่ใช้ในฟิสิกส์ มีกำเนิดมาจากหลักสมมาตรในคณิตศาสตร์


การค้นพบที่สำคัญมากนี้ได้ทำให้ Albert Einstein เมื่อทราบว่า เธอถึงแก่กรรมได้เขียนคำอาลัยสดุดีเธอลงในหนังสือพิมพ์ The New York Times ว่า “Emmy Noether เป็นนักคณิตศาสตร์สตรีอัจฉริยะผู้มีผลงานสำคัญมากที่สุด ตั้งแต่โลกได้ยินยอมให้สตรีเข้ารับการศึกษาระดับสูง”เพราะถ้อยแถลงเรื่องหลักสมมาตรของเธอ เป็นสิ่งที่นักฟิสิกส์นำมาใช้ในการทำงาน คือ จะต้องอธิบายธรรมชาติ โดยใช้หลักการที่ง่ายที่สุด เท่าที่จะเป็นไปได้

ส่วนเหตุผลที่ทำให้คนค่อนโลกไม่รู้จักเธอมาก เพราะในปี 1915 นั้น Einstein ได้เสนอทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา คนทุกคนจึงหันไปสนใจทฤษฎีของ Einstein ที่แทบจะไม่มีใครเข้าใจ และเหตุผลอีกสองประการ คือ Noether เป็นผู้หญิง และเธอมีอายุสั้น คือ เพียง 53 ปี

ดังนั้นการเข้าใจธรรมชาติถึงระดับลึกว่า สมบัติสมมาตรของระบบทำให้เรามีกฎอนุรักษ์ ความจริงนี้จึงได้วางรากฐานการพัฒนาฟิสิกส์ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

แม้แต่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของ Einstein เอง ก็ยังตั้งอยู่บนรากฐานของหลักสมมาตร ซึ่งรู้จักในนามว่า หลักสมมูล (equivalence principle) ที่มีใจความว่า ธรรมชาติ ไม่สามารถบอกความแตกต่างระหว่างระบบที่มีความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงกับระบบที่มีความเร่งเดียวกันโดยเกิดจากสาเหตุอื่น ๆ เช่น โดยจรวดหรือโดยการหมุนเหวี่ยง

แม้จะได้พบหลักการที่สำคัญมากนี้ Noether ก็ยังไม่มีงานทำ เพราะเธอเป็นผู้หญิง และได้เงินเพียงเล็กน้อยจากการเป็นอาจารย์รับเชิญในบางครั้ง โดย David Hilbert ด้าน Hermann Weyl (1885-1955) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ด้านทฤษฎี group และตรรกวิทยา แต่มีอายุน้อยกว่า Noether ซึ่งได้กล่าวว่า ตนรู้สึกละอายใจมาก ที่ได้ตำแหน่งศาสตราจารย์ก่อน Noether

กฎอนุรักษ์ (พลังงาน โมเมนตัม โมเมนตัมเชิงมุม) เป็นหลักการที่นักฟิสิกส์ทุกคนได้ยึดถือในการทำงานว่า ค่าเหล่านี้ เมื่อเริ่มต้นมีค่าเท่าไหร่ ก็จะมีค่านั้นๆ ในตอนสุดท้ายเสมอไป

กฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของ Newton ที่แถลงว่า เวลาไม่มีแรงภายนอกมากระทำ ที่วัตถุ วัตถุจะอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอตลอดไป และกฎนี้ก็มาจากหลักสมมาตรที่แสดงให้เห็นว่า เวลาเราอยู่ ณ ตำแหน่งต่าง ๆ กฎการเคลื่อนที่จะไม่เปลี่ยนรูปแบบ คือ ยังใช้กฎเดิมในการบรรยายสถานการณ์ คือ ไม่ว่าเราจะอยู่ที่อเมริกาหรือจีน หรือบนดวงจันทร์ เราก็จะใช้กฎบรรยายการแกว่งของลูกตุ้มเพนดูลัมเดียวกัน

นี่คือ หลักสมมาตรในการการเลื่อนตำแหน่ง (symmetry translation in space หรือ spatial symmetry)

และในกรณีที่กฎฟิสิกส์ต้องไม่เปลี่ยนแปลงตามกาลเวลา (เช่น ในวันจันทร์ต้องใช้สูตรหนึ่ง และในวันอื่น ๆ จะใช้อีกสูตรหนึ่งในเรื่องเดียวกันนั้นไม่ได้) นี่เป็นสมมาตรในการเลื่อนเวลา (symmetry translation in time หรือ temporal symmetry) ก็จะมีผลทำให้พลังงาน ทั้งหมดของระบบมีค่าคงตัว หรือระบบมีการอนุรักษ์พลังงาน โดยการทำให้เวลาลูกตุ้มแกว่ง มันจะแกว่งจนสุดถึงตำแหน่งเดิมเสมอ


สำหรับในกรณีแรงโน้มถ่วงนี้ที่ขึ้นกับระยะทางเพียงค่าเดียว โดยไม่ขึ้นกับมุมในพิกัดทรงกลมนั้น ก็เป็นระบบที่มีสมมาตรในการหมุน (symmetry rotation in space หรือ rotational symmetry) ซึ่งมีผลทำให้โมเมนตัมเชิงมุมของระบบนี้มีการอนุรักษ์ เช่น ทำให้ดาวหางเวลาโคจรเข้าใกล้ดวงอาทิตย์ ความเร็วของมันจะเพิ่มขึ้น และจะลดลงเวลาโคจรหนีจากดวงอาทิตย์ และการเปลี่ยนแปลงความเร็วนี้มีผลทำให้เส้นตรงที่โยงระหว่างดาวหางกับดวงอาทิตย์ได้กวาดออกไปเป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้งที่มีพื้นที่เท่ากัน ภายในเวลาที่เท่ากันเสมอ

กฎอนุรักษ์ทั้งสามเป็นกฎที่ใช้กันในชีวิตประจำวัน แต่โลกฟิสิกส์ยังมีอะตอมและโมเลกุลในสสารอีกมากที่จำเป็นต้องมีกฎอนุรักษ์กำกับ ซึ่งได้แก่ กฎอนุรักษ์ประจุที่ใช้ในทุกการเปลี่ยนแปลงของปฏิกิริยานิวเคลียร์ ซึ่งกฎนี้มีใจความว่า ประจุทั้งหมดจะไม่มีวันเปลี่ยนแปลง ดังเช่น ปฏิกิริยา




แม้แต่ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของ Einstein ก็ยังยึดหลักสมมาตรระหว่างผู้สังเกตสองคนที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมพัทธ์กัน ก็จะใช้สูตรกำกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในรูปแบบเดียวกัน จึงเป็นสมมาตรแบบ Lorenz (Lorenz symmetry)

อ่านเพิ่มเติมจาก “The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry” โดย Mario Livio สำนักพิมพ์ Simon & Schuster (September 1, 2006)


ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน - ราชบัณฑิตสำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย

อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์