G.F.B. Riemann เกิดเมื่อวันที่ 17 กันยายน ค.ศ.1826 (ตรงกับรัชสมัยสมเด็จพระนั่งเกล้าเจ้าอยู่หัว) ที่หมู่บ้าน Breselenz ใกล้เมือง Dannenberg ในเยอรมนี บิดาเป็นนักบวชผู้เคยรับราชการทหารในสงครามระหว่างเยอรมนีกับฝรั่งเศส เมื่อบิดาสมรสกับมารดานั้น เขาอยู่ในวัยกลางคนแล้ว ครอบครัวนี้มีบุตรชาย 2 คน และบุตรสาว 4 คน โดย Riemann เป็นบุตรคนที่สอง
Riemann ในวัยเด็กมีสุขภาพไม่ดี และล้มป่วยบ่อย เมื่ออายุ 5 ขวบ เขาสนใจวิชาประวัติศาสตร์มาก โดยเฉพาะประวัติศาสตร์ของโปแลนด์ (Carl Friedrich Gauss ในวัยเด็กก็สนใจปรัชญา และคณิตศาสตร์ ส่วน Carl Gustav Jacobi ขณะเป็นเด็กสนใจภาษาโบราณ) ต่อมาบิดาเริ่มสังเกตเห็นว่า Riemann สามารถคิดเลขได้เร็ว จึงให้เริ่มเรียนเลข เมื่ออายุ 10 ขวบ ครูประจำชั้นของ Riemann ที่ชื่อ H. Schulz ได้พบว่า ลูกศิษย์คนนี้คิดเลขเก่งกว่าครูเสียอีก จนอายุ 14 ปี Riemann ก็ได้เข้าเรียนระดับมัธยมปลายที่เมือง Hanover แต่รู้สึกว่าเรียนไม่สนุก เพราะรู้คณิตศาสตร์ที่ครูสอนหมดแล้ว จึงย้ายไปเรียนต่อที่เมือง Luneburg แม้จะเป็นคนที่เรียนหนังสือไม่เก่งทุกวิชา แต่สำหรับวิชาคณิตศาสตร์ Riemann รู้ดีและมากกว่าเพื่อนทุกคนในชั้น
ขณะเรียนที่ Luneberg เมื่อผู้อำนวยการโรงเรียนชื่อ Schmalfuss เห็นหน่วยก้านทางคณิตศาสตร์ของ Riemann ว่าโดดเด่นมากเป็นพิเศษ จึงอนุญาตให้ Riemann ใช้ห้องสมุดของตนที่บ้าน Riemann ได้ศึกษาตำราคณิตศาสตร์ของ Legendre ที่หนาประมาณ 900 หน้าเรื่อง ทฤษฎีจำนวน โดยได้ใช้เวลาอ่านและเข้าใจตำราเล่มนี้รวดเดียวจบในเวลา 6 วัน
เมื่ออายุ 20 ปี Riemann ได้กำพร้ามารดา ในเวลาต่อมาพี่ชายและน้องสาว 3 คนก็เสียชีวิตตาม อาการป่วยของคนเหล่านี้แสดงว่าทุกคนเสียชีวิตด้วยวัณโรค ซึ่งเป็นโรคที่แพทย์ในสมัยนั้นไม่มีวิธีรักษา เพื่อนบ้านจึงพากันสรุปว่า การที่สมาชิกในครอบครัวนี้อายุสั้นเพราะพันธุกรรม หลังจากที่มารดาและพี่น้องเสียชีวิตแล้ว Riemann ซึ่งเป็นคนที่ผูกพันกับครอบครัวมากก็เริ่มมีอาการซึมเศร้า เขาจะนิ่งเฉยและไม่พูดจาเวลาอยู่ท่ามกลางคนแปลกหน้า แต่จะโอภาปราศรัยดีเวลาอยู่ท่ามกลางบรรดาหมู่ญาติ
หลังสำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษา บิดาต้องการให้ Riemann สอบเข้ามหาวิทยาลัย Georgia Augusta เพื่อเรียนวิชาเทววิทยาเป็นวิชาเอก แต่ Riemann สนใจคณิตศาสตร์มากกว่า จึงขออนุญาตบิดาเรียนคณิตศาสตร์แทน เพราะที่นั่นมี Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt สอนดาราศาสตร์ และ Moritz Stern สอนคณิตศาสตร์ นอกจากนี้มหาวิทยาลัยยังได้เชิญ Karl Gauss มาบรรยายเรื่อง Methods of Least Squares ให้อาจารย์และนิสิตฟังด้วย หลังจากเรียนที่มหาวิทยาลัย Georgia Augusta ได้นานหนึ่งปี Riemann ได้ย้ายไปเรียนต่อที่มหาวิทยาลัย Berlin เพราะที่นั่นมี P.G.L. Dirichlet, F.G.M. Eisenstein, C.G.Jacobi และ J. Steiner เป็นอาจารย์ซึ่งล้วนมีชื่อเสียงยิ่งกว่าอาจารย์ที่ Georgia Augusta และในบรรดาอาจารย์ทั้งหมด Riemann รู้สึกประทับใจในวิธีสอนของ Dirichlet มากที่สุด
อีก 3 ปีต่อมา Riemann ได้ย้ายไปเรียนต่อที่มหาวิทยาลัย Göttingen ซึ่งตั้งมาตั้งแต่ปี ค.ศ.1734 โดยสมเด็จพระเจ้า George ที่ 2 แห่งอังกฤษ และมหาวิทยาลัยนี้มี Gauss ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงโด่งดังระดับโลก เป็นศาสตราจารย์ประจำ ขณะเรียนที่ Gottingen Riemann ได้เข้าฟังการบรรยายวิชาแม่เหล็กไฟฟ้าโดย Wilhelm Eduard Weber ผู้เป็นศิษย์ของ Gauss ด้วย Riemann จึงเริ่มสนใจฟิสิกส์และได้ทำงานเป็นผู้ช่วยวิจัยของ Weber นานหนึ่งปีครึ่ง ตามปกติมหาวิทยาลัย Göttingen มักมีการจัดสัมมนาบ่อย โดยผู้จัดคือ Weber ดังนั้น Riemann จึงมีโอกาสได้พบและสนทนากับนักวิชาการที่สามารถหลายคน เช่น Eisenstein, Jacobi เรื่องการใช้ตัวแปรเชิงซ้อนในทฤษฎี Elliptic Functions
Riemann สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกเมื่ออายุ 25 ปี ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่อง Foundations for a General Theory of Functions of One Complex Variable ซึ่ง Riemann ได้แสดงสมบัติเชิงเรขาคณิตของ Analytic Functions โดยไม่รู้ว่า Cauchy ได้เคยศึกษาเรื่องเดียวกันนี้ ผลงานของ Riemann ช่วยทำให้ผลงานของ Cauchy สมบูรณ์ขึ้น ณ วันนี้ โลกรู้จักเงื่อนไขของ Analytic Function ในนามว่า Cauchy – Riemann Conditions
เมื่อ Gauss ได้อ่านวิทยานิพนธ์ของ Riemann Gauss ซึ่งตามปกติเป็นคนที่เย็นชา เก็บตัว และไม่ชอบสังคม เพราะชอบทำงานตามลำพัง และเวลาประเมินผลงานของนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เมื่อใดที่ Gauss พบที่ผิด หรือไม่สมบูรณ์ เขาก็จะให้ความเห็นเชิงลบที่รุนแรง แต่ในกรณีของ Riemann Gauss ได้เขียนคำชื่นชมผลงานวิทยานิพนธ์ของ Riemann ว่า มีคุณค่ายิ่งกว่าปริญญา Ph.D. ที่ Riemann ได้รับเสียอีก เพราะผลงานนี้ได้ทำให้เกิดองค์ความรู้ใหม่ๆ มากมาย เช่น Riemann Surfaces, Theory of Holomorphic Functions, Topology, Algebraic Geometry และ Differential Geometry
เมื่อสำเร็จการศึกษาใหม่ๆ Riemann ยังไม่มีงานทำ จึงต้องสอบแข่งขันเพื่อรับ Habilitationsschrift ซึ่งเป็นประกาศนียบัตรที่อนุญาตให้ผู้ที่ได้รับสามารถสอนในสถาบันการศึกษาได้ และในการสอบรับประกาศนียบัตร Riemann ได้บรรยายเรื่อง Partial Differential Equations โดยมีผู้เข้าฟัง 8 คน เช่น Gauss และ Dedekind เมื่อผู้เข้าฟังทุกคนเข้าใจและชื่นชมในคำบรรยาย Riemann ก็รู้สึกมั่นใจขึ้น หลังจากที่ทำงานอาจารย์ได้ 2 ปี Riemann ได้ตีพิมพ์งานวิจัยเรื่อง On the Representability of a Function by Trigonometric Series ซึ่งผลงานนี้ให้แนวคิดใหม่เรื่อง Riemann Integral และ Foundation of Geometry
เมื่ออายุ 29 ปี บิดาของ Riemann ได้เสียชีวิต และเมื่อ Gauss ตาย Dirichlet ก็ได้ขึ้นครองตำแหน่งศาสตราจารย์แทน และได้พยายามหาตำแหน่งอาจารย์สอนในมหาวิทยาลัยให้ Riemann เพื่อให้มีรายได้บ้าง ทั้งนี้เพราะ Riemann ยังไม่มีงานประจำทำ ในช่วงเวลานี้ชีวิตของ Riemann ต้องตกยากลำบากมาก และเมื่อพี่ชายเสียชีวิตอีกคน Riemann ก็ยิ่งทำงานหนักจนมีอาการซึมเศร้า และชอบหลบเลี่ยงสังคม ถึงจะครองตำแหน่งรองศาสตราจารย์คณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Göttingen แล้วก็ตาม แต่ Riemann ก็ยังรู้สึกหดหู่ และเริ่มมีความรู้สึกดีขึ้นเมื่อได้รับแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์แทน Dirichlet และได้รับเลือกเป็นสมาชิกของ Berlin Academy ซึ่งมีเกียรติ เพราะได้ Kronecker และ Weierstrass เป็นผู้ให้คำรับรอง
ขณะนั้น Riemann มีอายุย่างเข้า 36 ปีแล้ว และมีฐานะดีพอจะมีครอบครัวได้แล้ว จึงแต่งงานกับ Elise Koch ผู้เป็นเพื่อนของน้องสาว แต่สุขภาพของ Riemann ทรุดโทรมมากแล้ว เพราะป่วยเป็นหวัดบ่อย จนเยื่อหุ้มปอดอักเสบ นี่แสดงอาการของคนเป็นวัณโรค เมื่อโรคกำเริบ Riemann จึงรู้สึกเหนื่อยง่าย อิดโรย และความจำบกพร่อง แม้จะให้ Riemann อธิบายเรื่องง่ายๆ เขาก็ทำไม่ได้
ในบั้นปลายชีวิต Riemann กับภรรยาได้เดินทางไปอิตาลีเพื่อพักรักษาตัว และรู้สึกเพลิดเพลินยามเดินชมงานศิลปกรรมของอิตาลี ในขณะเดียวกัน Weber ก็ได้ขอให้รัฐบาลเยอรมนีอนุมัติเงินค่ารักษาพยาบาลให้ Riemann ด้วยในฐานะที่เป็นปราชญ์แห่งชาติ
ในฤดูหนาวปี ค.ศ.1862 ขณะพำนักอยู่ที่เกาะ Sicily Riemann ได้ตัดสินใจเดินทางกลับเยอรมนี ขากลับได้แวะเที่ยวเมือง Palermo, Naples, Rome, Leghorn, Pisa, Florence และ Milan แม้จะได้รับข้อเสนอให้เป็นศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัย Pisa แต่ Riemann ก็ปฏิเสธเพราะไม่อยากรบกวนเพื่อนฝูง
เมื่อกลับถึง Göttingen Riemann ตัดสินใจเลิกสอนหนังสือ เพราะรู้สึกอ่อนเพลียมาก ใน ค.ศ.1866 Riemann ได้รับเลือกเป็นสมาชิกต่างชาติของทั้ง Paris Academy of Sciences และ Royal Society ของอังกฤษ แต่สุขภาพก็ไม่ดีขึ้นเลย Riemann จึงเดินทางย้อนกลับอิตาลีอีกพร้อมภรรยาและลูกสาวอายุ 3 ขวบ ชื่อ Ida โดยไปพักที่หมู่บ้าน Selasca ใกล้ทะเลสาบ Maggiore ขณะนอนพักใต้ต้นไม้และทอดสายตาดูน้ำในทะเลสาบ Riemann ได้ครุ่นคิดเรื่อง Mechanism of the Ear ที่เคยมีคนอธิบายโดยใช้ทฤษฎีของ Helmholtz Riemann รู้สึกไร้เรี่ยวแรง และรู้ตัวว่าใกล้จะตาย แต่จิตใจก็ยังดี ในที่สุด Riemann ก็เสียชีวิตเมื่อวันที่ 20 กรกฎาคม ค.ศ.1866 สิริอายุ 40 ปี ศพของเขาถูกนำไปฝังที่หมู่บ้าน Biganzola และบนหลุมฝังศพมีคำจารึกง่ายๆ เพียงว่า “Here lies in God, Georg Friedrich Bernhard Riemann”
ข่าวการเสียชีวิตของ Riemann ได้นำมาซึ่งความโศกเศร้าอาลัยของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลก เช่น George Lichtenby ซึ่งได้กล่าวถึงการจากไปของ Riemann ในวัยยังน้อยว่า
“I am saddened when talented people die, because earth needs them more than heaven does.”
ทุกวันนี้โลกรู้จัก Riemann ในฐานะนักคณิตศาสตร์ผู้มีผลงานสำคัญมากมาย เช่น เรื่อง Riemann Manifold ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังต้องใช้เวลาถึง 50 ปีจึงเข้าใจ ส่วน Albert Einstein ได้นำ Riemann Geometry ไปใช้ในการสร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เพื่อใช้อธิบายที่มาของแรงโน้มถ่วง นอกจากคณิตศาสตร์แล้ว Riemann ยังสนใจฟิสิกส์ด้วย ดังจะเห็นได้จากผลงานเรื่อง Theory of Gases, Fluid Dynamics, Heat, Light, Magnetism, Acoustics และที่มาของกฎฟิสิกส์
ในปี ค.ศ.2003 John Derbyshire ได้เรียบเรียงหนังสือชื่อ Prime Obsession: Berhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics หนา 438 หน้า และจัดพิมพ์โดย Joseph Henry Press
เนื้อหาหลักของหนังสือเล่มนี้ คือ การพยายามอธิบายสมมติฐานที่ Riemann วัย 33 ปีได้นำเสนอต่อ Berlin Academy ในปี ค.ศ.1859 จนกระทั่งถึงวันนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์สมมติฐานนี้ได้ โจทย์นี้จึงเป็นโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดโจทย์หนึ่งของโลก ดังในการประชุมคณิตศาสตร์ประจำปี ค.ศ.1900 ของ International Congress of Mathematicians ที่กรุง Paris ซึ่ง David Hilbert ได้แถลงยอมรับว่า Riemann Hypothesis เป็นโจทย์คณิตศาสตร์โจทย์ 1 ใน 23 โจทย์ที่ยากที่สุดในโลก อีก 30 ปีต่อมา Hilbert ก็ยังยืนยันย้ำอีกว่า ถ้าเขานอนหลับไปหลายศตวรรษแล้วตื่นขึ้นมา คำถามแรกที่เขาจะถามผู้คนรอบข้างคือ มีใครพิสูจน์ Riemann Hypothesis ได้แล้วบ้าง ถึงวันนี้ถ้าใครพิสูจน์สมมติฐานนี้ได้ สถาบัน Clay Mathematics Institute ก็จะมอบเงินรางวัล 1 ล้านเหรียญให้แก่ผู้นั้น และเขาคนนั้นก็อาจได้รับ Fields Medal ด้วย
สมมติฐาน Riemann เกิดจากความประสงค์ของ Riemann ที่ต้องการจะหาสูตรบอกจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า เลขที่กำหนดให้เลขหนึ่ง เช่น กำหนดจำนวน 10 มาให้ จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 10 มี 4 จำนวน คือ 2, 3, 5, 7 หรือเมื่อกำหนดจำนวน 100 มาให้จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 100 มี 25 จำนวน คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41........97 และถ้ากำหนด 1,000 มาให้ เราก็จะพบว่า จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 1,000 มี 168 จำนวน Riemann ต้องการจะรู้สูตรการหาจำนวนเฉพาะว่าเลขเหล่านี้อยู่เรียงกระจัดกระจายอย่างไร และได้พบว่า ในการที่จะตอบคำถามนี้ได้ ตนต้องเข้าใจฟังก์ชันหนึ่ง ชื่อ zeta function ซึ่งมีคำจำกัดความว่า
โดย s เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีทั้งค่าจริงและค่าจินตภาพ และ Riemann ก็ได้พบว่า คำตอบของสมการ zeta function ที่เท่ากับศูนย์มีความเกี่ยวข้องโดยตรงกับลักษณะการกระจายของจำนวนเฉพาะ และเมื่อเขาใช้สมบัติสมมาตรของฟังก์ชัน Riemann ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า zeta function ที่ s กับ 1-s (0 < s < 1) มีค่าเท่ากัน
นั่นทำให้ Riemann คาดการณ์ว่า ค่าศูนย์ของ zeta function ทุกคำตอบจะมีค่าจริงคือ s = 1/2 เสมอ การคาดการณ์นี้จึงมีชื่อเรียกว่า สมมติฐานของ Riemann ที่โด่งดังกระฉ่อนโลก และยังไม่มีใครตลอดเวลา 153 ปีที่ผ่านมาสามารถพิสูจน์สมมติฐานนี้ได้
ปัจจุบัน นักคณิตศาสตร์ได้พบว่า เทคนิคการวิเคราะห์ Riemann Hypothesis สามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาอื่นๆ ได้อีกหลายเรื่องด้วยเช่นเรื่อง Quantum Chaos, Cryptography และ Network Design
สำหรับคนที่สนใจ และอยากจะมีชื่อเสียงว่าเป็นผู้สามารถพิสูจน์ Riemann Hypothesis ได้เป็นคนแรก อาจอ่านเพิ่มเติมได้จาก The Riemann Hypothesis: The Greatest, Unsolved Problem in Mathematics ของ K. Sabbagh ที่จัดพิมพ์โดย Farrar, Strauss and Giroux, New York 2003
*********************
เกี่ยวกับผู้เขียน
สุทัศน์ ยกส้าน
ประวัติการทำงาน - ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์
ประวัติการศึกษา - ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ สุทัศน์ ยกส้าน ได้ทุกวันศุกร์
