สมมตินักประดิษฐ์คนหนึ่งได้สร้างหลอดไฟฟ้าขึ้นมา ทั้งๆ ที่ในเวลานั้นโลกยังไม่มีกระแสไฟฟ้าใช้เลย ดังนั้นผลงานของเขาจึงต้องคอยเป็นเวลานานมาก กว่าชาวโลกจะตระหนักในประโยชน์ และคุณค่าของสิ่งที่เขาสรรค์สร้าง
คณิตศาสตร์หลายสาขาก็มีธรรมชาติในลักษณะเดียวกัน คือ เวลานักคณิตศาสตร์สร้างวิชาพีชคณิต เรขาคณิต ทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีจำนวน เทนเสอร์ (tensor) ฯลฯ เขาไม่ได้คาดคิดหรือหวังว่าทฤษฎีต่างๆ ที่กล่าวมานี้จะมีประโยชน์ใดๆ ให้นักฟิสิกส์ใช้เขียนเป็นสมการที่บรรยายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคมูลฐาน หรือให้วิศวกรคำนวณวิถีโคจรของยานอวกาศ หรือให้นักชีววิทยาจัดลำดับรหัสพันธุกรรม ฯลฯ
กระนั้นนักวิทยาศาสตร์ทั้งหลายก็ตระหนักในคุณค่าของคณิตศาสตร์มาเป็นเวลานานแล้ว ตามความเชื่อของ Galileo Galilei ที่ว่า คณิตศาสตร์เป็นภาษาที่นักวิทยาศาสตร์ใช้ในการสื่อสาร และพระเจ้าทรงเป็นนักคณิตศาสตร์ เพราะพระองค์ทรงสร้างเอกภพโดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์เพื่อควบคุมปรากฏการณ์ต่างๆ หรือสามารถใช้พยากรณ์เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นในอนาคตก็ได้ด้วย
เช่น ในปี 1860 นักฟิสิกส์ชาวสก็อตชื่อ James Clerk Maxwell ได้ประสพความสำเร็จในการสังเคราะห์สมการทั้ง 4 ของวิชาแม่เหล็ก และไฟฟ้า ซึ่งใช้อธิบายการทดลองต่างๆ ที่นักเรียนวิทยาศาสตร์ทุกคนรู้จักดี จนได้สมการที่ระบุว่ามีคลื่นชนิดหนึ่ง ซึ่งอีก 20 ปีต่อมาเป็นที่รู้จักในนามคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เมื่อนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันชื่อ Heinrich Hertz ได้พบคลื่นนี้ในธรรมชาติ อีกทั้งยังสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันคือ คลื่นแสง
ตัวอย่างอื่นๆ ที่แสดงว่า คณิตศาสตร์มีประโยชน์ต่อวิทยาศาสตร์มีอีกมากมายเช่น ในต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เมื่อ Evariste Galois ได้พยายามหาสูตรสำเร็จสำหรับคำตอบของสมการพหุนาม (polynomial equation) ที่มีกำลัง 5 เขาได้พบว่า ไม่สามารถหาได้ เพราะสมการที่มีกำลัง 5 และสูงกว่าขึ้นไป ไม่มีสูตรสำเร็จเลย
ผลงานของ Galois เรื่องนี้ในระยะแรกดูมีประโยชน์และมีความสำคัญมาก สำหรับนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (คนที่คิดเฉพาะแต่ความสวยงามของทฤษฎี โดยไม่คำนึงถึงประโยชน์) แต่ในเวลาต่อมาพัฒนาการของทฤษฎีนี้ได้ทำให้เกิดทฤษฎีกลุ่ม (group theory) ซึ่งเมื่อถึงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 นักฟิสิกส์ได้ใช้ทฤษฎีกลุ่มของ Galois ในการแบ่งประเภท และชนิดของอนุภาคมูลฐานที่มีจำนวนมากมาย และนักฟิสิกส์ก็ใช้กลุ่ม SU(3) เพื่ออธิบายองค์ประกอบ โครงสร้างและสาเหตุที่ทำให้นิวเคลียสครองสภาพอยู่ได้ ทฤษฎีกลุ่มยังสามารถอธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาค hadron ซึ่งนำไปสู่การทำนายว่า ธรรมชาติมีอนุภาค omega minus และในเวลาต่อมาอีกไม่นานนักฟิสิกส์ก็ได้พบอนุภาคที่ว่านี้
ในปี 1907 เมื่อ Albert Einstein พบหลักสมมูลย์ (equivalence principle) ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญหนึ่งที่ใช้ในการใช้พัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป จากการตระหนักว่า ผลกระทบที่เกิดขึ้นในระบบที่มีความเร่ง จะมีค่าไม่แตกต่างจากการที่ระบบนั้นถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วงที่มีค่าสม่ำเสมอ ทั้งนี้เพราะมวลโน้มถ่วง (gravitational mass) มีค่าเท่ากับมวลเฉื่อย (inertial mass) การพบของ Einstein สำหรับเรื่องนี้ทำให้ทุกคนเข้าใจได้ว่าแรงโน้มถ่วงเกิดจากการบิดโค้งของอวกาศ-เวลาในบริเวณรอบมวล ดังสมการสนามของ Einstein และเมื่อ Einstein ตีพิมพ์ผลงานชิ้นนี้ในปี 1915 โลกก็เห็นชัดว่า เทคนิคการสร้างสมการสนามของ Einstein คือ การประยุกต์ผลงานของ Bernhard Riemann เรื่อง differential geometry (เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์) ในปริภูมิที่มี n มิติ (เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ) และสมการได้แสดงให้เห็นว่า ความโค้งเป็นปัจจัยที่ควบคุมสมบัติเชิงเรขาคณิตของอวกาศ-เวลา ซึ่งแนวคิดเรื่อง manifold ของ Riemann ในลักษณะนี้เป็นการต่อยอดวิชาเรขาคณิตของ Euclid โดย Riemann เองก็คงคาดไม่ถึงว่า หลังจากที่คิดได้เมื่อ 60 ปีก่อน Einstein จะนำผลงานของตนไปอธิบายกำเนิดและวิวัฒนาการของเอกภพ
แต่ในความเป็นจริง ผลงานเริ่มต้นของ Riemann ไม่สามารถช่วยให้ Einstein นำไปใช้ได้ในทันที เพราะได้มีนักคณิตศาสตร์อีกหลายคนที่ได้พัฒนาทฤษฎีนี้ จนอยู่ในสภาพพร้อมให้ Einstein นำไปใช้บุคคลเหล่านั้นได้แก่ Gregario Ricci-Curbastro และ Tullio Levi-Civita เมื่อถึงปี 1912 ด้วยความช่วยเหลือของ Marcel Grossman ซึ่งเป็นเพื่อนสนิท Einstein ก็ได้นำ Riemann manifolds ไปใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งปริภูมิ อวกาศ-เวลา มี 4 มิติ คือ 3 มิติของอวกาศและ 1 มิติของเวลา
อีกตัวอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ คือ ปัญหาสะพานที่ Leonhard Euler ได้พิสูจน์ให้ชาวเมือง Konigsberg ในเยอรมนีประจักษ์ในปี 1735 ว่า ถ้ามีสะพาน 7 สะพานเชื่อมโยงเกาะที่อยู่กลางแม่น้ำ Pregel โดยเกาะมี 2 เกาะคือเกาะ A กับเกาะ B และเกาะ A มี 4 สะพานที่โยงกับแผ่นดินใหญ่ ส่วนเกาะ B มี 2 สะพานที่โยงกับแผ่นดินใหญ่ เกาะทั้ง 2 ยังโยงกันด้วยสะพานอีก 1 สะพานด้วย Euler ได้แสดงให้เห็นว่าจะไม่มีใครสามารถเดินข้ามสะพานทั้ง 7 อย่างต่อเนื่อง โดยไม่ย้อนกลับทางเดิม เทคนิคการพิสูจน์ของ Euler เกี่ยวกับเรื่องนี้ดูไม่มีประโยชน์ และไม่น่าสนใจในสายตาของคนทั่วไป จนกระทั่งปี 1847 Johann Benedict Listing จึงได้เรียกวิชาที่ Euler บุกเบิกนี้ว่า วิชา topology กระนั้นธรรมชาติของวิชาก็ยังคงความเป็นนามธรรมอยู่อีกเป็นเวลานาน เช่น นัก topology มุ่งศึกษาธรรมชาติของปริภูมิ 11 มิติ ที่มีรู 5 มิติอยู่ภายใน หรือในบางกรณีก็ต้องการจะดูว่า ผิวของวัตถุมีสองหรือหนึ่งหรือกี่หน้า เป็นต้น
แต่เมื่อถึงปี 1990 การประยุกต์วิชา topology ในวิทยาศาสตร์ก็เริ่มอุบัติ เมื่อนักชีววิทยาใช้ทฤษฎีปม (knot theory) อันเป็นแขนงหนึ่งของ topology ในความพยายามที่จะเข้าใจโครงสร้างของ DNA ด้านวิศวกรก็ใช้ topology เรื่อง mobius strip ในการออกแบบสายพานส่งของ แพทย์ใช้ทฤษฎี homology (แขนงหนึ่งของ topology) ในการตรวจดูภาพถ่าย 3 มิติของสมอง และนักเอกภพวิทยาใช้ topology ในการอธิบายการถือกำเนิดของกาแล็กซี รวมถึงรูปทรงของเอกภพ เป็นต้น
ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 Leonhard Euler ทดลองใช้อนุกรมของ sine และ cosine ในการอธิบายธรรมชาติของการสั่นสะบัดของเส้นเชือก แต่คุณประโยชน์ที่สำคัญของเทคนิคนี้ก็ยังไม่เป็นที่รู้จักกันมาก จนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 เมื่อ Joseph Fourier เริ่มใช้อนุกรมตรีโกณมิติเดียวกันในการศึกษาปัญหาการนำความร้อนในตัวนำ จากนั้นโลกฟิสิกส์ก็ใช้อนุกรม Fourier ในการแก้ปัญหาทัศนศาสตร์ คลื่น กลศาสตร์ และวงจรไฟฟ้า ฯลฯ
พัฒนาการของเทคนิคนี้โดยนักคณิตศาสตร์ เช่น Gustav Lejeune Dirichlet กับ Henri Lebesgue และ Berhard Reimann ได้ทำให้ทฤษฎีฟังก์ชัน (theory of functions) มีหลักการที่เข้มงวดมาก ครั้นเมื่อนักคณิตศาสตร์ เช่น Augustin-Louis Cauchy กับ Karl Weierstrass และ George Cantor ได้พัฒนาเทคนิคนี้ต่อ โลกคณิตศาสตร์ก็เริ่มเข้าใจว่า ฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันที่สามารถแทนได้ด้วยอนุกรม Fourier เดียวกัน มีความแตกต่างกันได้เพราะสาเหตุใด อย่างไรก็ตามความสำเร็จสูงสุดยอดของวิชา analysis ได้เกิดขึ้น เมื่อ David Hilbert พัฒนาปริภูมิ Hilbert ขึ้นมา และ Hermann Weyl กับ Paul Dirac และ John von Neumann ได้พบว่าปริภูมิ Hilbert คือพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญจนนักฟิสิกส์จำเป็นต้องใช้ในการสร้างวิชากลศาสตร์ควอนตัม เพราะสถานะต่างๆ ที่เป็นไปได้ของระบบควอนตัมคือ สมาชิกต่างๆ ในปริภูมิ Hilbert
อีกตัวอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญในวิทยาศาสตร์ได้เกิดขึ้นในคริสต์ศตวรรษที่ 16 เมื่อนักคณิตศาสตร์ที่เป็นนักการพนันด้วยสัญชาติอิตาเลียนชื่อ Girolamo Cardano ประสบความล้มเหลวในการเล่นการพนันจนถึงกับสิ้นเนื้อประดาตัว แต่ Cardano ก็ได้สร้างคุณความดี โดยการตีพิมพ์ผลงานเรื่องทฤษฎีความเป็นไปได้เล่มแรกของโลกชื่อ Liber de Ludo aleae ซึ่งหนังสือนี้ได้ออกมาปรากฏในบรรณโลกเมื่อปี 1663 คือ 87 ปีหลังจากที่ Cardano ได้เสียชีวิตไปแล้ว
หลังจากนั้นวิชาคณิตศาสตร์ของความเป็นไปได้ก็ได้รับการพัฒนาโดย Blaise Pascal และ Pierre de Fermat ในการเขียนจดหมายโต้ตอบกัน ในที่สุดเอกสารที่ปราชญ์ทั้งสองเขียนถึงกันก็ถูกนำมาใช้ในการวางรากฐานของวิชาความน่าจะเป็น จนกระทั่งถึงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 17 Jacob Bernoulli จึงได้ตระหนักในความสำคัญของทฤษฎีความน่าจะเป็นว่า มีประโยชน์มากจะใช้ในการเล่นเกมส์ และการพนัน เมื่อเขาได้พบว่า ในการทอดลูกเต๋าที่มี 6 หน้า โอกาสที่หน้าหนึ่งๆ จะปรากฏนั้น มีค่า 1/6 แต่นั่นมิได้หมายความว่า ถ้าทอดลูกเต๋า 6 ครั้ง แล้วจะเห็นหน้า 1, 2, 3, 4, 5, 6 ปรากฏให้เห็นหนึ่งครั้งเท่ากัน จากนั้น Bernoulli ก็ได้พิสูจน์กฎของเลขจำนวนมาก (law of large numbers) ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ของเรื่องนี้ได้ถูกนำมาใช้ในเทคนิคการขายประกันภัยของบริษัทประกันภัยพิบัติต่างๆ
ในปี 1998 โลกได้ตื่นเต้นกับข่าวที่ว่า Thomas Hales แห่งมหาวิทยาลัย Pittsburgh ในรัฐ Pennsylvania สามารถพิสูจน์การคาดการณ์ของ Kepler ได้ว่า วิธีการที่แม่ค้าจัดเรียงผลส้มที่มีขนาดเท่ากันทุกประการเป็นรูปปิระมิดเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด เพราะเธอสามารถบรรจุส้มลงในภาชนะได้หนาแน่นที่สุด
ปัญหานี้เกิดขึ้นในปี 1611 เมื่อ Johannes Kepler ได้คาดการณ์ว่า วิธีที่แม่ค้าจัดเรียงผลส้มเพื่อวางขาย เป็นวิธีที่ดีที่สุด แต่เขาไม่สามารถพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดได้ว่าเป็นวิธีที่ประเสริฐที่สุดในกรณีที่ภาชนะบรรจุมี 3 มิติ จนกระทั่งอีก 387 ปีต่อมา Thomas Hales ก็สามารถพิสูจน์การคาดการณ์นี้ได้ โดยใช้คอมพิวเตอร์ที่ระดับความมั่นใจ 99% และอีก 16 ปี ต่อมาการพิสูจน์ก็บรรลุถึงความสมบูรณ์ 100%
ปริศนาคณิตศาสตร์เรื่องนี้ ดูไม่สำคัญหรือมีประโยชน์อันใด สำหรับคนทั่วไปที่ไม่ใช่แม่ค้าส้ม แต่ความสำคัญในเทคโนโลยีได้เริ่มปรากฏในปี 1965 เมื่อวิศวกร Gordan Lang ได้พบว่าเทคนิคการจัดส้มในภาชนะให้มีความหนาแน่นมากที่สุดนั้น ช่วยให้เขาสามารถส่งสัญญาณไฟฟ้าผ่านช่องต่างๆ ที่มีเสียงรบกวนมากได้ เมื่อเขาใช้ตัวเลขแทนเสียง และพยายามคำนวณหาว่า สัญญาณส่งใดจะคล้ายคลึงกับสัญญาณที่ได้รับมากที่สุด โดยการแทนสัญญาณด้วยทรงกลม (ส้ม) และให้ปริมาตรที่ผลส้มสามารถขยับเขยื้อนแทนสัญญาณรบกวน ผลที่ตามมาคือ ในการจะส่งข้อมูลไปให้ได้มากที่สุด มีรูปแบบเดียวกับที่ใช้ในการสื่อสารระหว่างยานอวกาศกับศูนย์บังคับบนโลก เพราะสัญญาณจะถูกอัดให้อยู่กันอย่างหนาแน่นมากที่สุด ในทำนองเดียวกับการจัดเรียงผลส้มเพื่อวางขายในตลาด
ส่วนตัวอย่างอื่นๆ ที่สำคัญมากก็มีอีกเช่น การพยากรณ์เรื่อง การมีอนุภาค Higgs boson ในธรรมชาติ และการพบคลื่นโน้มถ่วง ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งการค้นพบทั้ง 2 นี้ได้แสดงให้เห็นอีกว่า คณิตศาสตร์ได้ชี้นำฟิสิกส์อีกคำรบหนึ่ง
คำถามที่นักปรัชญาวิทยาศาสตร์สนใจ และใคร่รู้คำตอบคือเหตุใด เรขาคณิตของ Euclid และ René Descartes ทฤษฎีความน่าจะเป็นของ Pierre-Simon Laplace ทฤษฎีเซ็ทของ Georg Cantor ทฤษฎีจำนวนของ Richard Dedekin หรือแม้แต่ทฤษฎีรหัสของ Alan Turing ฯลฯ จึงมีความสำคัญถึงระดับที่สามารถปฏิรูปความคิดของมนุษย์ได้ ในขณะที่วิชาดนตรีหรือวรรณคดีไม่สามารถทำนายผลการทดลองที่ CERN หรือ วิชาสมาธิก็ไม่สามารถอธิบายที่มาของตารางธาตุในวิชาเคมีได้
ในส่วนของฟิสิกส์นั้น นักฟิสิกส์เชื่อว่า การที่คณิตศาสตร์ประสบความสำเร็จ เพราะการทดลองต่างๆ ในฟิสิกส์ไม่ขึ้นกับสถานที่หรือเวลา เช่น ไม่ว่า เราจะทดลองที่อินเดีย ญี่ปุ่น หรือบราซิล ไม่ว่าจะเป็นเวลาใดของวันหรือวันใดของปี สูตรต่างๆ ของฟิสิกส์ที่ใช้บรรยายการทดลองนั้นๆ จะต้องมีรูปแบบเดียวกัน อีกทั้งไม่ว่าใครจะทดลอง เขาจะอยู่นิ่งหรือกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอ ผลการทดลองก็จะได้ค่าเท่ากัน นั่นคือ เอกภพของฟิสิกส์มีสมมาตรเชิงสถานที่ที่ทำให้เรามีกฎทรงโมเมนตัม และสมมาตรเชิงเวลา ทำให้เรามีกฎทรงพลังงาน และสมมาตรเป็นกรอบความคิดหนึ่งของคณิตศาสตร์
สมบัติสมมาตรอีกประการหนึ่งที่นักฟิสิกส์ยึดถือคือ สมมาตรเกจ (gauge symmetry) ในการบรรยายธรรมชาติของอนุภาคมูลฐาน เช่น มีอนุภาคโปรตอนที่มีประจุบวก และอิเล็กตรอนที่มีประจุลบ ถ้ามีการแทนโปรตอนด้วยอิเล็กตรอน สูตรฟิสิกส์ที่ใช้ก็ยังคงรูปเดิม
ณ วันนี้ ความพยายามของนักฟิสิกส์ปัจจุบัน คือ การพยายามสังเคราะห์อันตรกริยาทั้ง 4 รูปแบบเข้าเป็นหนึ่งเดียว และในความพยายามนี้นักฟิสิกส์จำต้องใช้สมมาตรอีกรูปแบบหนึ่งคือ supersymmetry ซึ่งทำนายว่า ทุกอนุภาคที่มีในเอกภพจะต้องมีคู่ของมัน เช่น electron ก็จะมี selectron และ quark ก็จะมี squark เป็นต้น
ดังนั้น ถ้ามีการพบอนุภาค s ทั้งหลายในเครื่องเร่ง LHC ที่ CERN นั่นก็จะย้ำให้เราเห็นประสิทธิ์ภาพที่มหัศจรรย์ของคณิตศาสตร์อีกคำรบหนึ่งว่า ถ้าไม่มีหลักซุปเปอร์สมมาตรแล้ว สิ่งมีชีวิตก็คงไม่อุบัติบนโลก
อ่านเพิ่มเติมจาก Is God a Mathematician? โดย Mario Livio จัดพิมพ์โดย Simon and Schuster ปี 2010
เกี่ยวกับผู้เขียน
สุทัศน์ ยกส้าน
ประวัติการทำงาน-ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ สุทัศน์ ยกส้าน ได้ทุกวันศุกร์
