เมื่อ 70 ปีก่อน Eric Temple Bell นักคณิตศาสตร์แห่งสถาบัน California Institute of Technology ได้เคยกล่าวว่า เมื่ออารยธรรมของมนุษย์สิ้นสุด ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat (Fermat’s Last Theorem, FLT) ก็จะยังคงเป็นโจทย์คณิตศาสตร์ที่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ ถ้า Bell ยังมีชีวิตอยู่ต่ออีก 33 ปี เขาก็คงประหลาดใจสุดๆ เมื่อได้รู้ว่า ในปี 1993 Andrew John Wiles แห่งมหาวิทยาลัย Princeton ได้ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ FLT แล้ว
Pierre de Fermat คือทนายความชาวฝรั่งเศสผู้ถือกำเนิดในปี 1601 (ตรงกับรัชสมัยพระนเรศวรมหาราช) และใช้ชีวิตที่เมือง Toulouse ในยามว่าง Fermat จะสนุกสนานด้วยการคิดโจทย์คณิตศาสตร์ และค้นหาความรู้ด้วยการเขียนจดหมายวิชาการติดต่อกับปราชญ์ที่มีชื่อเสียงในสมัยนั้นเช่น Rene Descartes และ Blaise Pascal เป็นต้น
ในปี 1636 เมื่อ Fermat ได้อ่านตำรา Arithmetic ของ Diophantus แห่งเมือง Alexandria ที่ตีพิมพ์ตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 3 หนังสือเล่มนั้นมีแต่โจทย์พีชคณิต และคำตอบเท่านั้น ตามปกติเวลา Fermat อ่านไปๆ ก็จะจดบันทึกข้อคิดต่างๆ ลงบนหน้ากระดาษในเล่ม เพราะ Fermat มิได้เป็นนักคณิตศาสตร์อาชีพจึงไม่คิดจะตีพิมพ์ผลงานวิจัยใดๆ แต่ชอบเขียนโจทย์และคำตอบในจดหมายแล้วส่งไปให้เพื่อนฝูงอ่าน หลังจากที่ Fermat เสียชีวิตในปี 1665 ทายาทของ Fermat จึงนำจดหมาย และเอกสารต่างๆ ออกเผยแพร่ การตีพิมพ์ตำรา Arithmetica ในครั้งนั้น ทำให้นักคณิตศาสตร์ทั้งโลกรู้จักทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ที่แถลงว่า ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 0 (คือเลข 1, 2, 3, 4, ...) และ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 (คือเลข 3, 4, 5, ...) สมการ an + bn = cn จะไม่มีคำตอบให้ a, b, และ c เลย นั่นคือ FLT แถลงว่า ถ้า a, b, c ต่างมีค่ามากกว่า 0 และ n มีค่ามากกว่า 2 แม้แต่พระเจ้าก็ไม่สามารถหาคำตอบให้ a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มได้
ตั้งแต่ Fermat ตั้งโจทย์นี้ ในปี 1636 จนกระทั่งถึงปี 1993 รวมเวลา 357 ปี ก็ยังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดในโลกพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้
จนกระทั่งถึงยุคของ A.J. Wiles หลังจากที่ได้พยายามพิสูจน์เป็นเวลานาน 7 ปี Wiles ก็ทำได้สำเร็จ เหตุการณ์นี้ ทำให้หนังสือพิมพ์ The New York Times พาดข่าวความสำเร็จในหน้าหนึ่งว่า “At Last, shout of Eureka! in Age – Old Math Mystery.” (ในที่สุดปริศนาที่ยืนนานเป็นศตวรรษ ก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว)
A. J. Wiles เกิดเมื่อวันที่ 11 เมษายน ค.ศ.1953 ที่ Cambridge ในอังกฤษ บิดาเป็นอาจารย์สอนศาสนศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Oxford ในวัยเด็ก Wiles ไม่มีแววว่าเก่งคณิตศาสตร์เลย เขาเริ่มสนใจ FLT เป็นครั้งแรก เมื่อได้อ่านประวัติความเป็นมาของโจทย์นี้ในหนังสือห้องสมุด และสะดุดใจเมื่อรู้ว่าบรรดานักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ทั้งหลาย ไม่ว่าจะเป็น Carl Gauss, Leonhard Euler, David Hilbert, Auguste Cauchy และคนอื่นๆ อีกนับพันก็ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ ตลอดเวลากว่า 300 ปีที่ผ่านมา
แม้มีอายุเพียง 10 ขวบ แต่ Wiles ก็เข้าใจว่า FLT ต้องการให้พิสูจน์อะไร เขาจึงสนใจจะหาวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
ตลอดเวลาที่เรียนหนังสือตั้งแต่ระดับมัธยม Wiles ครุ่นคิดแต่ FLT และได้เอ่ยบอกครูว่าต้องการจะเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกของโลกที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ แต่ครูผู้หวังดีได้ขอให้ Wiles เลิกล้มความตั้งใจนี้ เพราะเกรงจะเสียเวลา เสียสมอง เสียใจ และอาจเสียคน
หลังการศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Oxford Wiles ได้ไปศึกษาต่อระดับปริญญาโทที่ Clare College แห่งมหาวิทยาลัย Cambridge โดยทำวิทยานิพนธ์เรื่อง Elliptical curve (เส้นโค้งนี้ไม่เกี่ยวกับวงรี แต่มีชื่อเช่นนั้น เพราะเป็นโค้งที่มีสมการกำลังสามในรูป y2 = x3 + ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็ม และสมการนี้อาจมีคำตอบสำหรับ x, y ที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ก็ได้ขึ้นกับค่า a, b และ c) Wiles สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาโทเมื่ออายุ 24 ปี และได้รับปริญญาเอกในอีก 3 ปีต่อมา จากนั้นได้เดินทางไปอเมริกา เพื่อเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัย Princeton
ตามปกติ Wiles เป็นคนที่ชอบความท้าทายทางคณิตศาสตร์มาก เมื่อสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอกแล้ว เขาจึงมีเวลาทำสิ่งที่ตนใฝ่ฝันตั้งแต่เด็ก นั่นคือจะพิสูจน์ FLT ให้ได้
ความน่าสนใจของทฤษฎีบทนี้คือ มีรูปแบบทำนองเดียวกับทฤษฎีบทของ Pythagoras ที่แถลงว่า ถ้า a, b เป็นความยาวของด้านสองด้านที่ประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากแล้ว จะได้ a2 + b2 = c2 เสมอ และใครๆ ทั้งโลกก็รู้ว่าสมการนี้มีคำตอบสำหรับ a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มบวกมากมายนับไม่ถ้วนให้ เช่น 5, 12, 13 เพราะ 52 +122 = 132
แต่ FLT กลับแถลงว่า กรณีสมการ a3 + b3 = c3 จะไม่มี คำตอบสำหรับ a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
สมการ a4 + b4 = c4 ก็ไม่มีคำตอบสำหรับ a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มบวกอีกเช่นกัน
พูดง่ายๆ คือ สมการ an + bn = cn ถ้า n มีค่าตั้งแต่ 3 ขึ้นไปจะไม่มีค่า a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
นักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง Fermat ได้เพียรพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่านี้ แต่ไม่มีใครทำได้Wiles ได้ติดตามศึกษาประวัติความพยายามของนักคณิตศาสตร์ทุกคนตั้งแต่ในอดีต และพบว่าทุกเส้นทางของความพยายามที่ทุกคนใช้เป็นทางตัน ดังนั้น เขาจึงต้องคิดหาวิธีใหม่
ในปี 1982 Gerhard Frey นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันแห่งมหาวิทยาลัย Saarland ได้เสนอความเห็นว่า เส้นโค้ง elliptical curve ที่ไม่ให้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก อาจนำมาใช้พิสูจน์ FLT ได้ เพราะ Frey ได้ความคิดนี้ จากการคาดการณ์ของนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นชื่อ Yutaka Taniyama กับ Goro Shimura ที่ได้เสนอความคิดว่า elliptical curve อาจเกี่ยวข้องโดยตรงกับสมการบางสมการในพีชคณิต (คำว่า “การคาดการณ์” ในคณิตศาสตร์ คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์คิดในใจ แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าจริง 100%)
ลุถึงปี 1986 เมื่อ Kenneth A. Ribet แห่งมหาวิทยาลัย California ที่ Berkeley ได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ข้อสันนิษฐานของ Frey ถูกต้อง Wiles จึงสนใจวิธีพิสูจน์ของ Ribet ทันที และคิดต่อไปว่า ถ้าการคาดการณ์ของ Taniyama และ Shimura ถูกต้อง ทฤษฎี FLT ก็จะต้องถูกต้องเช่นกัน เพราะ FLT เป็นเพียงบทแทรกบทหนึ่งในการคาดการณ์ของ Taniyama และ Shimura ที่ปรากฎในวิชา Arithmetic Algebraic Geometry
Wiles รู้สึกตื่นเต้นกับแนวคิดนี้มาก เมื่อรู้ว่า แทนที่จะพยายามพิสูจน์ FLT ตรงๆ เขาจะต้องพิสูจน์การคาดการณ์ของ Taniyama และ Shimura ว่าเป็นจริง และถ้าทำได้ เรื่องนี้ก็จบ
Wiles จึงเริ่มพิสูจน์การคาดการณ์ที่ดูร่วมสมัย แทนที่จะพยายามพิสูจน์ FLT ที่ดูโบราณ และคิดว่า ถ้าเขาบอกใครว่า เขากำลังจะพิสูจน์ FLT ทุกคนก็จะคิดว่า เขากำลังจะฆ่าตัวตาย Wiles ได้เก็บความฝันทุกอย่างของเขาเป็นความลับ โดยไม่บอกให้บุคคลภายนอกรู้ ยกเว้นภรรยา (ซึ่งก็รู้เมื่อไปดื่มน้ำผึ้งพระจันทร์) และเพื่อนสนิทที่สุดของเขาเท่านั้น
ส่วนอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำให้ Wiles ตั้งใจจะทำงานคนเดียวเงียบๆ คือ การแข่งขันอย่างเอาเป็นเอาตายระหว่างนักคณิตศาสตร์ด้วยกัน เพราะถ้าเขาประกาศให้โลกรู้ว่าเขากำลังพยายาม ทุกคนก็จะหันมาสนใจเขา และนักคณิตศาสตร์บางคนอาจขอเข้ามาร่วมทำงานด้วย ซึ่งจะทำให้แนวคิดของ Wiles ไขว้เขว
ตลอดเวลา 7 ปีที่ Wiles ซุ่มเงียบเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท FLT เขาได้ทำงานสอนบ้างตามหน้าที่ของอาจารย์มหาวิทยาลัย แต่ไม่มีงานวิจัยตีพิมพ์เลย เพราะเขากำลังทุ่มเทชีวิตและจิตใจให้เรื่อง FLT แต่เพียงเรื่องเดียว
หลังจากที่ทำงานหนักเป็นเวลา 7 ปี ลุถึงเดือนพฤษภาคม ค.ศ.1993 Wiles ก็รู้ว่าเขาได้ก้าวข้ามอุปสรรคสุดท้ายแล้ว จึงกระซิบบอกภรรยาว่า เขาพิสูจน์ FLT ได้แล้ว และจะจัดสัมมนาวิชาการ 3 ครั้ง เพื่ออธิบายสิ่งที่เขาทำที่สถาบัน Newton Institute ใน Cambridge
เพราะ Wiles ได้หายสาบสูญไปจากวงการคณิตศาสตร์เป็นเวลานาน ดังนั้นการออกมาปรากฏตัวในที่สาธารณะอีกครั้งหนึ่งด้วยข่าว FLT จึงเป็นข่าวใหญ่สำหรับทุกคนในวงการ
ในการบรรยายครั้งที่ 1 และ 2 Wiles ไม่ได้กล่าวถึง FLT เลย จนกระทั่งถึงการบรรยายครั้งสุดท้าย เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน ค.ศ.1993 Wiles จึงกล่าวโดยสรุปว่า เขาพิสูจน์ FLT ได้แล้ว
แต่เมื่อ Nicholas M. Katz แห่งมหาวิทยาลัย Princeton ได้อ่านผลงานที่มีความหนาร่วม 200 หน้าของ Wiles เขาได้พบจุดบกพร่องในวิธีพิสูจน์บางตอน
ข้อบกพร่องที่ Katz พบทำให้ Wiles รู้สึกใจหายวาบ เสมือนอยู่ในเหตุการณ์เรือล่มเมื่อจอด เขาจึงต้องแก้ไขวิธีพิสูจน์ที่ยังไม่สมบูรณ์ โดยได้ร่วมมือทำงานกับศิษย์ชื่อ Richard Taylor อีก 18 เดือนต่อมา คือในวันที่ 19 กันยายน ค.ศ.1994 Wiles ก็บอกภรรยาว่า “I’ve got it, I think. I’ve found it.” ภรรยาถามกลับว่า “Got what?” Wiles จึงตอบว่า “I’ve found my proof. I’ve got it.”
Wiles ได้เรียบเรียงผลงานเพื่อนำเสนอในวารสาร Annals of Mathematics ฉบับพิเศษที่ 141 โดยแยกเป็นสองส่วน ส่วนแรกเป็นของ Wiles แต่เพียงผู้เดียว และส่วนที่สองเป็นของ Wiles กับ Taylor
ความสำเร็จของ Wiles ได้เป็นข่าวฮือฮาไปทั่วโลก และทำให้เขาเป็นซูเปอร์เซเล็บของโลกไปในทันที หนังสือพิมพ์ The New York Times ได้สดุดีความสำเร็จของ Wiles ในหน้าหนึ่ง นิตยสาร People ได้ยกย่องให้ Wiles เป็นอัจฉริยะที่น่าสนใจที่สุดคนหนึ่งของโลก รายการโทรทัศน์หลายช่องได้มาขอสัมภาษณ์ และสร้างละครชีวิตของ Wiles หนังสือชีวประวัติของ Wiles ได้ถูกนำออกวางขายจน Wiles เป็นบุคคลคนหนึ่งที่คนทั่วโลกรู้จัก (แต่ Yutaka Taniyama ไม่รู้เห็นเหตุการณ์นี้ เพราะได้ฆ่าตัวตายตั้งแต่ 17 พฤศจิกายน ค.ศ.1958)
Wiles อธิบายว่า สาเหตุที่นักคณิตศาสตร์ในอดีต ไม่สามารถพิสูจน์ FLT ได้ เพราะไม่มีเทคนิคทางคณิตศาสตร์อย่างเพียงพอ แต่เมื่อถึงคริสต์ศตวรรษที่ 20 Wiles มีเทคนิคต่างๆ ที่พร้อมใช้ สำหรับเกียรติยศที่ Wiles ได้รับนั้นมีมากมาย เช่น ในปี 1998 ได้รับโล่เงิน Fields เป็นกรณีพิเศษ (เพราะ Wiles มีอายุเกิน 40 ปี) ซึ่งโล่มีศักดิ์ศรีเทียบเท่ารางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์จาก International Center for Mathematical Sciences และ International Mathematical Union และในปี 1998 Wiles ก็ได้รับรางวัล King Faisal International Prize เป็นเงิน 200,000 เหรียญสหรัฐ นอกจากนี้ดาวเคราะห์น้อยดวงที่ 9999 ก็ได้รับการตั้งชื่อว่า Wiles
เมื่อวันที่ 15 มีนาคมที่ผ่านมานี้ สถาบัน Norwegian Academy of Sciences and Letters แห่งนอร์เวย์ได้ประกาศมอบรางวัล Abel ให้แก่ Sir Andrew Wiles แห่งสถาบัน Mathematical Institute ของมหาวิทยาลัย Oxford ในฐานะที่เป็นผู้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ได้ เมื่อ Wiles ได้นำการคาดการณ์ modular มาใช้ในกรณีของเส้นโค้งแบบวงรีที่กึ่งเสถียร (semistable elliptic curve) ทำให้ได้ทฤษฎีจำนวนที่มีรูปแบบใหม่ ให้นักคณิตศาสตร์ได้วิจัยต่ออีกพันปี และเมื่อวันที่ 24 พฤษภาคมที่ผ่านมานี้ Wiles ก็ได้เข้ารับเหรียญพร้อมเงินรางวัลมูลค่า 7 แสนดอลลาร์จากพระหัตถ์ของเจ้าชาย Haaken มกุฎราชกุมารแห่งนอร์เวย์เป็นที่เรียบร้อย
รางวัล Abel เป็นรางวัลที่รัฐบาลนอร์เวย์มอบให้แก่นักคณิตศาสตร์ผู้มีผลงานโดดเด่นที่สุดทุกปี ชื่อรางวัลตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ชื่อ Niels Henrik Abel ความคิดในการจัดตั้งรางวัลนี้เกิดขึ้นเมื่อ Sophus Lie นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์พบว่า Alfred Nobel ในปี 1899 ได้จัดตั้งรางวัลโนเบลขึ้นมาหลายรางวัล แต่ไม่มีรางวัลสำหรับนักคณิตศาสตร์ เขาจึงคิดจะมีรางวัล “โนเบล” สำหรับนักคณิตศาสตร์บ้าง แต่ยังไม่ทันสำเร็จ Lie ก็เสียชีวิตก่อน
ความสนใจเรื่องรางวัลได้เกิดขึ้นอีกในปี 2001 เพราะบรรดานักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ต้องการจะเฉลิมฉลองวาระครบ 2 ศตวรรษแห่งชาตกาลของ Abel และได้จัดพิธีมอบรางวัล Abel เป็นครั้งแรก ในปี 2003 ให้แก่ Jean-Pierre Serre นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสแห่ง College de France จากการมีผลงานคณิตศาสตร์ที่สำคัญในหลายสาขา เช่น topology, algebraic geometry และ number theory สำหรับในปี 2015 ผู้พิชิตรางวัลท่านหนึ่งคือ John F. Nash Jr. ซึ่งมีผลงานด้านทฤษฎีสมการอนุพันธ์แบบแยกส่วน
สำหรับเกณฑ์การเลือกผู้ชนะรางวัล Abel นั้นคณะกรรมการรางวัลซึ่งประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์คนสำคัญของโลก 5 คน จะเป็นคนตัดสิน โดยเลือกจากคนที่ได้รับการเสนอชื่อ แต่ไม่รับพิจารณาคนที่เสนอชื่อตนเอง และผลการตัดสินจะประกาศในเดือนมีนาคมของทุกปี ส่วนรางวัลจะแจกที่ห้องประชุมของมหาวิทยาลัย Oslo ซึ่งเป็นสถานที่ๆ เคยแจกรางวัลโนเบลสาขาสันติภาพระหว่างปี 1947-1989 วัน ณ วันนี้รางวัล Abel จึงมีสถานสภาพเทียบเท่ารางวัล Nobel ของวงการวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ไม่ยิ่งหย่อนกว่าเหรียญ Fields ซึ่งแจกกันทุก 4 ปี รางวัลนี้นับเป็นอนุสรณ์แก่ Abel ผู้สามารถพิสูจน์ได้ว่า สมการกำลัง 5 ไม่มีคำตอบที่เป็นสูตรสำเร็จ หลังจากที่ปัญหานี้ได้สยบสมองของนักคณิตศาสตร์มานานร่วม 250 ปี แต่ Abel ก็ต้องจากโลกไปในวัยเพียง 26 ปี
อ่านเพิ่มเติมจาก The Equation That Couldn’t be Solved โดย Mario Livio จัดพิมพ์โดย Simon and Schuster, New York ในปี 2005
เกี่ยวกับผู้เขียน
สุทัศน์ ยกส้าน
ประวัติการทำงาน-ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ สุทัศน์ ยกส้าน ได้ทุกวันศุกร์
