ย้อนอดีตไปจนถึงสมัยกรีกโบราณที่มีปราชญ์ เช่น Pythagoras, Exdoxus, Euclid, Apollonius และ Archimedes นักคณิตศาสตร์กรีกเหล่านี้ได้ตระหนักในความสำคัญของวิธีพิสูจน์ ภายใต้เงื่อนไขต่าง ๆ เช่นปริศนาเรขาคณิตที่กำหนดให้สร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า โดยใช้วงเวียนและไม้บรรทัดเท่านั้น เป็นต้น
Euclid ได้เคยแสดงให้โลกประจักษ์ว่า เขาสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และสิบห้าเหลี่ยมด้านเท่าได้โดยใช้วงเวียน และไม้บรรทัดเท่านั้น และตั้งแต่นั้นมา ก็ไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดรู้วิธีสร้างรูป 7, 9, 11, 13, 14 และ 17 เหลี่ยมด้านเท่าด้วยวงเวียนกับไม้บรรทัดเลย จนอีก 2,000 ปีต่อมา คือ เมื่อถึงสมัย Gauss
นอกจากจะพบวิธีสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าแล้ว Gauss ยังได้พิสูจน์ให้เห็นอีกว่า รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่จะสร้างได้ด้วยวงเวียนกับไม้บรรทัดต้องมีจำนวนด้านเท่ากับ 2n หรือ 2n x (1, 2, 3, 5 …จำนวนเฉพาะ) หรือ จำนวนด้านเป็นจำนวนเฉพาะของ Fermat (จำนวนเฉพาะ Fermat คือ 22 ยกกำลัง n + 1 ซึ่งได้แก่ 3, 5, 17, 257, 65537...) องค์ความรู้ที่สามารถสรุปได้จากการค้นพบของ Gauss นี้คือรูป 7, 9, 11, 13, 14 เหลี่ยมด้านเท่านั้น แม้แต่เทวดาก็ทำไม่ได้ และ Gauss ก็ได้แสดงวิธีพิสูจน์เรื่องนี้ให้ทุกคนดูโดยใช้วิชาพีชคณิต ผสมผสานกับวิชาเรขาคณิต เพราะ Gauss ได้พบว่า เวลาจะสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า
เขาจะต้องถอดสมการ x16 + x15 + x14 ….+ 1 = 0 เพราะ 17 เป็นจำนวนเฉพาะ และ 24 = 16 ดังนั้น สมการกำลัง 16 จึงสามารถลดรูปเป็นสมการกำลัง 2 ได้ ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นตัวเลขและ x เป็นค่าที่ต้องหา และเมื่อสมการกำลัง 2 สามารถหาคำตอบได้โดยใช้ไม้บรรทัดกับวงเวียน บทพิสูจน์ของ Gauss จึงสมบูรณ์ ความยิ่งใหญ่ของเทคนิคนี้ คือทำให้ Gauss ตัดสินใจมีอาชีพเป็นนักคณิตศาสตร์ และทำให้โลกรู้วิธีแก้ปัญหาเรขาคณิตโดยวิธีพีชคณิต
Gauss ได้เสนอผลงานนี้ ในวารสาร Disquisitiones Arithmeticae (Arithmetical Investigations) และชื่อเสียงก็เริ่มโด่งดังตั้งแต่นั้นมา จากนั้นท่าน Duke ก็สัญญาจะอุปถัมภ์ Gauss ต่อไป และได้ขอร้องให้ Gauss ทำดุษฎีบัณฑิตที่มหาวิทยาลัย Helmstedt Gauss จึงเสนอวิทยานิพนธ์เรื่อง ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra) ซึ่งวิทยานิพนธ์ได้รับการยอมรับ โดย Gauss ไม่ต้องไปสอบปกป้อง เมื่อมีปริญญา และมีเงินใช้ Gauss ก็ไม่มีความจำเป็นต้องหางานทำเป็นอาจารย์สอนหนังสือ เขาจึงทำแต่งานวิจัย เรื่อง Number Theory เพียงอย่างเดียว และได้ตีพิมพ์ผลงานเรื่อง Theory of Congruences ใน Disquisitiones Arithmeticae ผลงานนี้ทำให้โลกตระหนักว่า Gauss คือบิดาของทฤษฎีจำนวน เช่นเดียวกับที่ Euclid คือบิดาของเรขาคณิต
ในตำรา Disquisitiones Arithmeticae Gauss ได้ให้นิยามและสมบัติเบื้องต้นของ congruences หลายประการ เช่น เมื่อให้ m เป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ใด ๆ เรากล่าวว่า a congruence กับ b modulo m ถ้า m หาร a - b ลงตัว และเขียนแทนว่า a h b(mod m) ดังนั้นตามนิยามนี้ 16 h 23 (mod 27) จากนั้น Gauss ก็ได้ชี้ให้เห็นว่า เวลา มีจำนวนเต็ม a, b, c และ d ถ้า a h b (mod m) และ c h d (mod m) โดยที่ m เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ a + c h b + d (mod m) และ ac h bd (mod m) จากนั้น Gauss ได้ให้นิยามของส่วนตกค้างกำลังสอง (quadratic residue) ว่า ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวก และ a เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกับ m เราจะได้ a เป็นส่วนตกค้างกำลังสองของ m ถ้าเราสามารถหา x (ได้อย่างน้อยหนึ่งค่า) ที่ทำให้ x2 /m เหลือเศษ เท่ากับ a ดังนั้นตามนิยามนี้ 13 คือ ส่วนตกค้างกำลังสองของ 17 เพราะเมื่อ x2 h 13 (mod 17) ค่าที่เป็นไปได้ค่าหนึ่งของ x คือ 8 และจากนิยามนี้ Gauss ก็ได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ถ้า p และ q เป็นจำนวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน จะได้ว่า p เป็นส่วนตกค้างกำลังสองของ q ก็ต่อเมื่อ q เป็นตกค้างกำลังสองของ p เท่านั้น แต่มีข้อยกเว้นว่า ถ้า p และ q มีค่า 4n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม ก็จะได้ว่า มีจำนวนหนึ่งเป็นส่วนตกค้าง และอีกจำนวนหนึ่ง จะไม่เป็น
ทฤษฎีนี้ได้มีบทบาทสำคัญมากในการพัฒนาทฤษฎีจำนวน Gauss เอง ก็ตระหนักในความสำคัญของทฤษฎีนี้จึงได้พิสูจน์ทฤษฎีนี้โดยวิธีที่แตกต่างกันถึง 8 วิธี
ตำรา Disquisitiones ยังได้แสดงนิสัยทำงานของ Gauss ว่า ในการพิสูจน์ทฤษฎีคณิตศาสตร์ทุกเรื่อง Gauss จะไม่แสดงรายละเอียดทุกขั้นตอน วิธีพิสูจน์ของ Gauss จึงกระชับ และมีแต่เนื้อโดย Gauss ได้ตัดขั้นตอนที่ไม่สำคัญออกหมด และได้ให้เหตุผลในการทำเช่นนั้นว่าเหมือนเวลาสร้างตึก เมื่อสถาปนิกสร้างเสร็จ เขาก็จะเอาเศษหิน เศษดิน ไม้ค้ำ ร้านเหล็กอะไรต่าง ๆ ออกหมดให้เหลือแต่ตัวตึก วิธีการพิสูจน์ของ Gauss ก็เช่นกัน แต่นักวิชาการรุ่นหลังก็ยังไม่สบายใจนักเวลาอ่านผลงานของ Gauss เพราะ Gauss นอกจากจะรื้อเศษก่อสร้างต่าง ๆ ทิ้งแล้วเขายังฉีก พิมพ์เขียว ที่เขาใช้ในการทำงาน ทิ้งด้วย ดังนั้นนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังมักต้องใช้เวลานาน จึงจะเข้าใจงานของ Gauss สำหรับเรื่องนี้ แม้แต่ Niels Hendri Abel ก็ยังปรารภว่า Gauss ทำงานเหมือนสุนัขจิ้งจอกที่เดินไปบนหิมะแล้วเอาหางกลบรอยเดินหมด
สำหรับเหตุผลที่ Gauss ทำเช่นนั้น นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายคนคิดว่า เพราะ Gauss เป็นคนยากจน จึงต้องมัธยัสถ์การใช้กระดาษ และอีกเหตุผลหนึ่งคือ Gauss ไม่ชอบแสดงวิธีพิสูจน์ทั้งหมดให้ใครดู ถ้าการพิสูจน์นั้นยังไม่สมบูรณ์ เพราะกลัวการถูกหัวเราะเยาะ ถ้าทำผิด ซึ่งความกลัวเช่นนี้มีพบบ่อยในบรรดานักคณิตศาสตร์ดัง ๆ เช่น Newton ซึ่งต้องให้ Halley ชักนำเป็นเวลานาน จึงตีพิมพ์ผลงานใน Principia และ Georg Cantor เมื่อทฤษฎี Set เรื่อง transfinite numbers ของเขาถูกนักคณิตศาสตร์ร่วมรุ่น เยาะเย้ย Cantor ถึงกับคลั่งจนเสียสติ
สำหรับผลงาน เรื่องทฤษฎีจำนวนของ Gauss ที่ทุกคนรู้จักดีนั้น มักเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูป a + bi เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ i2 = -1 เมื่อ i คือ รากที่สองของ -1 ในความเป็นจริงนักคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัย Renaissance คือเมื่อ 500 ปีก่อน ได้รู้จักใช้จำนวนเชิงซ้อนแล้ว แต่ เมื่อ Leibniz เห็นจำนวนเชิงซ้อน เขารู้สึกประหลาดใจมากที่จำนวนนี้ไม่เป็นบวก หรือลบ เหมือนจำนวนทั่วไป Leibniz จึงรู้สึกว่า จำนวนเชิงซ้อนเป็นคณิตศาสตร์อปกติที่เหลวไหล แต่เมื่อ Gauss เริ่มศึกษาจำนวนเชิงซ้อน เขาได้เสนอแนะให้แทนจำนวนเชิงซ้อนด้วยจุดในระนาบ เหมือนกับที่ Casper Wessel ผู้ที่นักสำรวจชาวนอร์เวย์ได้เสนอความคิดนี้ในปี 2340 แต่ไม่มีใครสนใจ จนกระทั่งอีก 9 ปีต่อมา เมื่อ Jean Robert Argand นักบัญชีชาวสวิสได้นำแนวคิดนี้มาใช้บ้าง และโลกก็เริ่มรู้จักแผนภูมิ Argand ตั้งแต่นั้นมา (อ่านต่ออังคารหน้า)
สุทัศน์ ยกส้าน เมธีวิจัยอาวุโส สกว.
