คดีฆ่านักท่องเที่ยวต่างชาติที่เกาะเต่า และอีกหลายคดีอาชญากรรมมีการใช้หลักฐานทางนิติเวชมาช่วยค้นหาความจริงและดำเนินคดี เคยสงสัยหรือไม่ว่า หลักฐานไม่ว่าจะเป็นลายมือ ลายนิ้วมือ หรือเทคโนโลยี DNA เหล่านี้สามารถนำมามัดตัวฆาตกร ได้น่าเชื่อถือมากน้อยเพียงไร? สามารถพิสูจน์ตัวฆาตกรได้ 100% เลยเชียวหรือ? เรามักได้ยินตรรกะที่ว่า “ถ้าเป็นผู้บริสุทธิ์แล้วโอกาสมี DNA ตรงกับในที่เกิดเหตุ มีค่าน้อยมากจนแทบเป็นไปไม่ได้เลย” ดังนั้น “การที่ผู้ต้องสงสัยมี DNA ตรงกับหลักฐาน เราจึงมั่นใจได้เกือบ 100% เลยว่าเขาไม่ใช่ผู้บริสุทธิ์” นี่เป็นตัวอย่างของตรรกะวิบัติของผู้กล่าวหา (Prosecutor’s Fallacy/Paradox) ซึ่งเกิดมาจากความสับสนในหลักความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
ความน่าจะเป็น (probability) ใช้บอกถึงโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น เป็นทศนิยมระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง หากใกล้หนึ่งแสดงว่าเหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นสูง หากใกล้ศูนย์แสดงว่าโอกาสเกิดน้อย ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (conditional probability) คือความน่าจะเป็นเมื่อเราทราบว่ามีเหตุการณ์หรือเงื่อนไขบางอย่างเกิดขึ้นแล้ว หรือหลังจากที่เรามีข้อมูลบางอย่างเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราพบนักท่องเที่ยวคนหนึ่งที่วัดพระแก้ว ถ้าเราเห็นเขาถือ UK passport โอกาสที่เขาจะพูดภาษาอังกฤษ น่าจะมีค่าสูงมากใกล้หนึ่ง (แถวที่ 1) ในทางกลับกัน ถ้าเราได้ยินเขาพูดภาษาอังกฤษ โอกาสที่เขาจะถือ UK passport นั้นคงไม่สูงมาก (แถวที่ 2) เมื่อเทียบกับกรณีแรก เพราะมีอีกหลายประเทศนอกเหนือไปจาก UK ที่ประชากรพูดภาษาอังกฤษ เช่น สหรัฐอเมริกา ออสเตรเลีย เป็นต้น
จากข้ออภิปรายข้างต้น จะเห็นได้ว่า “ถ้าเป็นคนถือ UK passport แล้วโอกาสพูดภาษาอังกฤษ”สูงมาก (ข้อ 1) ไม่ได้แปลว่า “ถ้าพูดภาษาอังกฤษแล้วโอกาสที่เขาถือ UK passport” จะต้องสูงมากตามไปด้วย (ข้อ 2) ในข้อ 1 เงื่อนไขที่เราทราบคือถือ UK passport แต่ในข้อ 2 เงื่อนไขที่เราทราบคือ พูดภาษาอังกฤษ ทั้งสองกรณีมีเงื่อนไขที่แตกต่างกัน ความน่าจะเป็นจึงไม่จำเป็นต้องมีค่าเท่ากัน แต่หากเราไม่ระมัดระวังถึงเงื่อนไขที่แตกต่างกันนี้ เราอาจตกหลุมพรางและทึกทักไปว่า ในเมื่อคนถือ UK passport โอกาสพูดอังกฤษสูง ต้องแปลว่า ถ้าเขาพูดอังกฤษแล้วเขาต้องถือ UK passport แน่นอนทีเดียว นี่เป็นตัวอย่างของตรรกะวิบัติ
ทำนองเดียวกัน หากเราอ่านข่าวอาชญากรรมโดยขาดความระมัดระวัง หรือไม่ได้พิจารณาโดยหลักความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอย่างรอบคอบ เราอาจคิดว่า โอกาสที่ผู้บริสุทธิ์คนหนึ่งจะมี DNA ตรงกับในที่เกิดเหตุนั้นน้อยมาก ดังนั้นเมื่อจำเลยมี DNA ตรงกับในที่เกิดเหตุ เราจึงสรุปว่าเขาต้องเป็นฆาตกรอย่างแน่นอน นี่เป็นอีกตัวอย่างของตรรกะวิบัติของผู้กล่าวหา ซึ่งเกิดมาจากความสับสนในเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ DNA ตรงกับที่เกิดเหตุหากทราบว่าเขาเป็นฆาตรกร (แถวที่ 4 เงื่อนไขที่ทราบคือเขาเป็นฆาตกร) ไม่ใช่สิ่งเดียวกับ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เขาเป็นฆาตกรหากทราบว่า DNA ตรงกับในที่เกิดเหตุ (แถวที่ 3 เงื่อนไขที่ทราบคือ DNA ตรง)
เพื่อความชัดเจน สมมติว่าในเมืองซึ่งมีประชากร 2,000,000 คน ทุกคนมีภาพสแกนลายนิ้วมืออยู่ในระบบสารสนเทศของสำนักงานตำรวจ คืนหนึ่งมีเหตุฆาตกรรมเกิดขึ้นและฆาตกรมีเพียงคนเดียว จากการลงพื้นที่เกิดเหตุ ตำรวจพบหลักฐานสำคัญคือลายนิ้วมือ จากการสืบค้นภาพสแกนลายนิ้วมือในฐานข้อมูล ได้คล้ายกับในที่เกิดเหตุ 5 คน ซึ่งกลายเป็นผู้ต้องสงสัย ท้ายที่สุดแล้วนายแพะซึ่งเป็นหนึ่งในผู้ต้องสงสัยถูกดำเนินคดี ผู้พิพากษาเห็นว่า ถ้าจำเลยเป็นผู้บริสุทธิ์โอกาสที่เขาจะมีลายนิ้วมือตรงนั้นน้อยมาก ดังนั้น การที่จำเลยมีลายนิ้วมือตรงจึงเป็น ข้อพิสูจน์ ว่าจำเลยเป็นฆาตกร ตรรกะวิบัติของผู้กล่าวหา!! อย่างไร? อธิบายได้ดังนี้
ความน่าจะเป็นที่ผู้บริสุทธิ์มีลายนิ้วมือตรง นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ลายนิ้วมือตรงถ้าเขาเป็นผู้บริสุทธิ์จริงๆ (แถวที่ 5) ได้เท่ากับ 4/(2000000-1) = 4/1999999 0.000002 ประมาณสองในล้าน ซึ่งมีค่าต่ำมาก (ที่มาของตัวเลขคือ ประชากร 2,000,000 คนเป็นฆาตกร 1 คน ดังนั้นเหลือเป็นผู้บริสุทธิ์ 2,000,000-1 = 1,999,999 คน ในจำนวนนั้นมีลายนิ้วมือตรง 4 คน) ค่านี้อยู่ ภายใต้เงื่อนไข ของการเป็นผู้บริสุทธิ์ แต่…เราไม่ทราบว่าเงื่อนไขนี้จริงหรือไม่ เหตุการณ์นายแพะเป็นผู้บริสุทธิ์เป็นสิ่งที่เราไม่รู้ ข้อมูลที่เราทราบคือนายแพะมีลายนิ้วมือตรง ดังนั้น เราต้องสนใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่นายแพะเป็นผู้บริสุทธิ์ถ้าเขามีลายนิ้วมือตรง (แถวที่ 6) คำนวณได้เท่ากับ 4/5 = 0.8 หรือ 80 เปอร์เซ็นต์ (ที่มาของตัวเลขคือ จากจำนวนคนลายนิ้วมือตรง 5 คน มีผู้บริสุทธิ์อยู่ 4 คน) เมื่อมีลายนิ้วมือตรง โอกาสที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์คือ 80 เปอร์เซ็นต์ และจะได้ว่าโอกาสที่เขาเป็นฆาตรกร (แถวที่ 7) คือ 20 เปอร์เซ็นต์ (ที่มาของตัวเลขคือ ความน่าจะเป็นที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์หรือเป็นฆาตกร รวมกันได้ 100 เปอร์เซ็นต์) เราเชื่อมั่นเพียงร้อยละ 20 ว่าจำเลยเป็นคนผิด ร้อยละ 20 ไม่มากพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าจำเลยมีความผิดโดยปราศจากข้อสงสัย (beyond a reasonable doubt)
เรายังสามารถใช้แผนภาพต้นไม้ช่วยในการหาค่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เงื่อนไขที่เกิดขึ้นหรือข้อมูลที่เราทราบแสดงอยู่ทางด้านซ้ายสุดของภาพ ส่วนเหตุการณ์ที่เราสนใจหรือต้องการหาคำตอบแสดงอยู่ทางขวาสุดของภาพ ในภาพด้านล่าง กิ่งบนสุด การที่เหตุการณ์ E ที่สนใจอยู่ทางขวาของเงื่อนไข C เป็นการบอกถึงว่า เราสนใจค่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ E หลังจาก ทราบว่าเงื่อนไข C ได้เกิดขึ้นแล้ว
การวิเคราะห์ในรูปด้านซ้าย ผู้วิเคราะห์ได้สมมติว่าเหตุการณ์ที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว ดังจะเห็นว่าเงื่อนไข “ความบริสุทธิ์” แสดงอยู่วงกลมทางด้านซ้ายสุดของภาพ การวิเคราะห์นี้ผิดจากหลักความจริง เพราะในความเป็นจริง ความบริสุทธิ์เป็นสิ่งที่เราต้องค้นหา การวิเคราะห์ทางด้านซ้ายดังกล่าวเป็นการวิเคราะห์ที่ผิด การวิเคราะห์ที่ถูกต้องสอดคล้องกับสถานการณ์เป็นตามรูปด้านขวา ข้อมูลที่ทราบหรือเงื่อนไขที่เกิดขึ้นแล้วคือ “ผลตรวจ” ดังแสดงอยู่ในวงกลมด้านซ้ายสุดของภาพขวา เหตุการณ์ที่เราสนใจและต้องการทราบคือ “ความบริสุทธิ์” เราจะได้ว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์ถ้าเขามีลายมือตรงมีค่าสูงถึง 80%
การตัดสินที่ผิดพลาดจากความสับสนของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขนี้เกิดขึ้นแล้วหลายครั้ง เช่น คดี People of the State of California v. Collins (1968) คณะลูกขุนเห็นว่ามีโอกาสน้อยมาก ๆ ที่ผู้บริสุทธิ์จะมีรูปพรรณสัณฐานตรงกับที่พบในที่เกิดเหตุ นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์รูปพรรณสัณฐานตรงกับที่เกิดเหตุถ้าเขาเป็นผู้บริสุทธิ์ มีค่าน้อยมาก ๆ คณะลูกขุนจึงสรุปว่าจำเลยที่มีรูปพรรณสัณฐานตรงนั้นไม่บริสุทธิ์และทำความผิด คณะลูกขุนตกหลุมพรางตรรกะวิบัติ ที่จริงแล้วคณะลูกขุนไม่ทราบข้อมูลเลยว่าเขาเป็นผู้บริสุทธิ์หรือไม่ สิ่งที่ต้องใช้เป็นเงื่อนไขคือเหตุการณ์ที่รูปพรรณสัณฐานตรง (ทำนองเดียวกับในแถว 3 6 หรือ 7 หรือภาพด้านขวา) หลังจากคดีนี้ถูกอุทธรณ์ต่อ Supreme Court of California คำตัดสินของคณะลูกขุนในศาลชั้นต้นถูกลบล้าง ให้จำเลยพ้นผิด
ความน่าจะเป็น (probability) ใช้บอกถึงโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น เป็นทศนิยมระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง หากใกล้หนึ่งแสดงว่าเหตุการณ์นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นสูง หากใกล้ศูนย์แสดงว่าโอกาสเกิดน้อย ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (conditional probability) คือความน่าจะเป็นเมื่อเราทราบว่ามีเหตุการณ์หรือเงื่อนไขบางอย่างเกิดขึ้นแล้ว หรือหลังจากที่เรามีข้อมูลบางอย่างเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราพบนักท่องเที่ยวคนหนึ่งที่วัดพระแก้ว ถ้าเราเห็นเขาถือ UK passport โอกาสที่เขาจะพูดภาษาอังกฤษ น่าจะมีค่าสูงมากใกล้หนึ่ง (แถวที่ 1) ในทางกลับกัน ถ้าเราได้ยินเขาพูดภาษาอังกฤษ โอกาสที่เขาจะถือ UK passport นั้นคงไม่สูงมาก (แถวที่ 2) เมื่อเทียบกับกรณีแรก เพราะมีอีกหลายประเทศนอกเหนือไปจาก UK ที่ประชากรพูดภาษาอังกฤษ เช่น สหรัฐอเมริกา ออสเตรเลีย เป็นต้น
จากข้ออภิปรายข้างต้น จะเห็นได้ว่า “ถ้าเป็นคนถือ UK passport แล้วโอกาสพูดภาษาอังกฤษ”สูงมาก (ข้อ 1) ไม่ได้แปลว่า “ถ้าพูดภาษาอังกฤษแล้วโอกาสที่เขาถือ UK passport” จะต้องสูงมากตามไปด้วย (ข้อ 2) ในข้อ 1 เงื่อนไขที่เราทราบคือถือ UK passport แต่ในข้อ 2 เงื่อนไขที่เราทราบคือ พูดภาษาอังกฤษ ทั้งสองกรณีมีเงื่อนไขที่แตกต่างกัน ความน่าจะเป็นจึงไม่จำเป็นต้องมีค่าเท่ากัน แต่หากเราไม่ระมัดระวังถึงเงื่อนไขที่แตกต่างกันนี้ เราอาจตกหลุมพรางและทึกทักไปว่า ในเมื่อคนถือ UK passport โอกาสพูดอังกฤษสูง ต้องแปลว่า ถ้าเขาพูดอังกฤษแล้วเขาต้องถือ UK passport แน่นอนทีเดียว นี่เป็นตัวอย่างของตรรกะวิบัติ
ทำนองเดียวกัน หากเราอ่านข่าวอาชญากรรมโดยขาดความระมัดระวัง หรือไม่ได้พิจารณาโดยหลักความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอย่างรอบคอบ เราอาจคิดว่า โอกาสที่ผู้บริสุทธิ์คนหนึ่งจะมี DNA ตรงกับในที่เกิดเหตุนั้นน้อยมาก ดังนั้นเมื่อจำเลยมี DNA ตรงกับในที่เกิดเหตุ เราจึงสรุปว่าเขาต้องเป็นฆาตกรอย่างแน่นอน นี่เป็นอีกตัวอย่างของตรรกะวิบัติของผู้กล่าวหา ซึ่งเกิดมาจากความสับสนในเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ DNA ตรงกับที่เกิดเหตุหากทราบว่าเขาเป็นฆาตรกร (แถวที่ 4 เงื่อนไขที่ทราบคือเขาเป็นฆาตกร) ไม่ใช่สิ่งเดียวกับ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เขาเป็นฆาตกรหากทราบว่า DNA ตรงกับในที่เกิดเหตุ (แถวที่ 3 เงื่อนไขที่ทราบคือ DNA ตรง)
เพื่อความชัดเจน สมมติว่าในเมืองซึ่งมีประชากร 2,000,000 คน ทุกคนมีภาพสแกนลายนิ้วมืออยู่ในระบบสารสนเทศของสำนักงานตำรวจ คืนหนึ่งมีเหตุฆาตกรรมเกิดขึ้นและฆาตกรมีเพียงคนเดียว จากการลงพื้นที่เกิดเหตุ ตำรวจพบหลักฐานสำคัญคือลายนิ้วมือ จากการสืบค้นภาพสแกนลายนิ้วมือในฐานข้อมูล ได้คล้ายกับในที่เกิดเหตุ 5 คน ซึ่งกลายเป็นผู้ต้องสงสัย ท้ายที่สุดแล้วนายแพะซึ่งเป็นหนึ่งในผู้ต้องสงสัยถูกดำเนินคดี ผู้พิพากษาเห็นว่า ถ้าจำเลยเป็นผู้บริสุทธิ์โอกาสที่เขาจะมีลายนิ้วมือตรงนั้นน้อยมาก ดังนั้น การที่จำเลยมีลายนิ้วมือตรงจึงเป็น ข้อพิสูจน์ ว่าจำเลยเป็นฆาตกร ตรรกะวิบัติของผู้กล่าวหา!! อย่างไร? อธิบายได้ดังนี้
ความน่าจะเป็นที่ผู้บริสุทธิ์มีลายนิ้วมือตรง นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ลายนิ้วมือตรงถ้าเขาเป็นผู้บริสุทธิ์จริงๆ (แถวที่ 5) ได้เท่ากับ 4/(2000000-1) = 4/1999999 0.000002 ประมาณสองในล้าน ซึ่งมีค่าต่ำมาก (ที่มาของตัวเลขคือ ประชากร 2,000,000 คนเป็นฆาตกร 1 คน ดังนั้นเหลือเป็นผู้บริสุทธิ์ 2,000,000-1 = 1,999,999 คน ในจำนวนนั้นมีลายนิ้วมือตรง 4 คน) ค่านี้อยู่ ภายใต้เงื่อนไข ของการเป็นผู้บริสุทธิ์ แต่…เราไม่ทราบว่าเงื่อนไขนี้จริงหรือไม่ เหตุการณ์นายแพะเป็นผู้บริสุทธิ์เป็นสิ่งที่เราไม่รู้ ข้อมูลที่เราทราบคือนายแพะมีลายนิ้วมือตรง ดังนั้น เราต้องสนใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่นายแพะเป็นผู้บริสุทธิ์ถ้าเขามีลายนิ้วมือตรง (แถวที่ 6) คำนวณได้เท่ากับ 4/5 = 0.8 หรือ 80 เปอร์เซ็นต์ (ที่มาของตัวเลขคือ จากจำนวนคนลายนิ้วมือตรง 5 คน มีผู้บริสุทธิ์อยู่ 4 คน) เมื่อมีลายนิ้วมือตรง โอกาสที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์คือ 80 เปอร์เซ็นต์ และจะได้ว่าโอกาสที่เขาเป็นฆาตรกร (แถวที่ 7) คือ 20 เปอร์เซ็นต์ (ที่มาของตัวเลขคือ ความน่าจะเป็นที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์หรือเป็นฆาตกร รวมกันได้ 100 เปอร์เซ็นต์) เราเชื่อมั่นเพียงร้อยละ 20 ว่าจำเลยเป็นคนผิด ร้อยละ 20 ไม่มากพอที่จะใช้พิสูจน์ว่าจำเลยมีความผิดโดยปราศจากข้อสงสัย (beyond a reasonable doubt)
เรายังสามารถใช้แผนภาพต้นไม้ช่วยในการหาค่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เงื่อนไขที่เกิดขึ้นหรือข้อมูลที่เราทราบแสดงอยู่ทางด้านซ้ายสุดของภาพ ส่วนเหตุการณ์ที่เราสนใจหรือต้องการหาคำตอบแสดงอยู่ทางขวาสุดของภาพ ในภาพด้านล่าง กิ่งบนสุด การที่เหตุการณ์ E ที่สนใจอยู่ทางขวาของเงื่อนไข C เป็นการบอกถึงว่า เราสนใจค่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ E หลังจาก ทราบว่าเงื่อนไข C ได้เกิดขึ้นแล้ว
การวิเคราะห์ในรูปด้านซ้าย ผู้วิเคราะห์ได้สมมติว่าเหตุการณ์ที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว ดังจะเห็นว่าเงื่อนไข “ความบริสุทธิ์” แสดงอยู่วงกลมทางด้านซ้ายสุดของภาพ การวิเคราะห์นี้ผิดจากหลักความจริง เพราะในความเป็นจริง ความบริสุทธิ์เป็นสิ่งที่เราต้องค้นหา การวิเคราะห์ทางด้านซ้ายดังกล่าวเป็นการวิเคราะห์ที่ผิด การวิเคราะห์ที่ถูกต้องสอดคล้องกับสถานการณ์เป็นตามรูปด้านขวา ข้อมูลที่ทราบหรือเงื่อนไขที่เกิดขึ้นแล้วคือ “ผลตรวจ” ดังแสดงอยู่ในวงกลมด้านซ้ายสุดของภาพขวา เหตุการณ์ที่เราสนใจและต้องการทราบคือ “ความบริสุทธิ์” เราจะได้ว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่เขาเป็นผู้บริสุทธิ์ถ้าเขามีลายมือตรงมีค่าสูงถึง 80%
การตัดสินที่ผิดพลาดจากความสับสนของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขนี้เกิดขึ้นแล้วหลายครั้ง เช่น คดี People of the State of California v. Collins (1968) คณะลูกขุนเห็นว่ามีโอกาสน้อยมาก ๆ ที่ผู้บริสุทธิ์จะมีรูปพรรณสัณฐานตรงกับที่พบในที่เกิดเหตุ นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์รูปพรรณสัณฐานตรงกับที่เกิดเหตุถ้าเขาเป็นผู้บริสุทธิ์ มีค่าน้อยมาก ๆ คณะลูกขุนจึงสรุปว่าจำเลยที่มีรูปพรรณสัณฐานตรงนั้นไม่บริสุทธิ์และทำความผิด คณะลูกขุนตกหลุมพรางตรรกะวิบัติ ที่จริงแล้วคณะลูกขุนไม่ทราบข้อมูลเลยว่าเขาเป็นผู้บริสุทธิ์หรือไม่ สิ่งที่ต้องใช้เป็นเงื่อนไขคือเหตุการณ์ที่รูปพรรณสัณฐานตรง (ทำนองเดียวกับในแถว 3 6 หรือ 7 หรือภาพด้านขวา) หลังจากคดีนี้ถูกอุทธรณ์ต่อ Supreme Court of California คำตัดสินของคณะลูกขุนในศาลชั้นต้นถูกลบล้าง ให้จำเลยพ้นผิด
