วงการคณิตศาสตร์เมื่อ 150 ปีก่อน มีอัจฉริยะที่เด่นสุดยอดท่านหนึ่ง ชื่อ George Cantor ผู้ให้กำเนิดทฤษฎีเซ็ตที่มีอิทธิพลต่อคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 มาก ผลงานนี้ทำให้ David Hilbert กล่าวสรรเสริญ Cantor ว่า เขาคือผู้สร้างสวนสวรรค์ Eden ให้นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังได้อยู่ทำงานในสวนอย่างมีความสุข จนแม้แต่พระเจ้าก็ไม่ทรงสามารถอัปเปหิใครออกจากสวนได้ แต่ทว่าในช่วงที่มีชีวิตอยู่ Cantor ถูกนักคณิตศาสตร์อาวุโสหลายคนต่อต้าน และโจมตีเพราะคิดว่า Cantor ชอบเสนอแนวคิดเกี่ยวกับทฤษฎีเซ็ตและเรื่องอนันต์ (infinity) ที่ผิด แม้ชีวิตของ Cantor ต้องลำบากเพราะประสบอุปสรรคมากมาย แต่โลกทุกวันนี้ก็ยังระลึกถึง เขาผู้ให้กำเนิดวิชาคณิตศาสตร์แขนงใหม่ คือ ทฤษฎีเซ็ต
George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor เกิดเมื่อวันที่ 3 มีนาคม ค.ศ.1845 (ตรงกับรัชสมัยสมเด็จพระนั่งเกล้าอยู่หัว) ที่เมือง St.Petersburg (ปัจจุบันคือเมือง Leningrad) ในรัสเซีย บิดา Georg Waldemar เป็นนักธุรกิจชาวเดนมาร์กฐานะดีที่ได้อพยพมาอาศัยอยู่ในรัสเซีย ส่วนมารดา Maria Böhm มีความสามารถในการเล่นไวโอลิน Cantor เป็นบุตรคนหัวปีของครอบครัวที่มีทายาท 6 คน ถึงครอบครัวจะมีขนาดใหญ่ แต่พ่อแม่ของ Cantor ก็สามารถให้ความรักและความอบอุ่นแก่ลูกทุกคนได้เป็นอย่างดี
ในวัยเด็ก Cantor มีบุคลิกร่าเริง ชอบเล่นไวโอลิน และเล่นได้ดีจนครั้งหนึ่งคิดจะเป็นนักไวโอลินอาชีพ แต่บิดาไม่เห็นด้วย Cantor จึงต้องเลิกล้มความตั้งใจ และรู้สึกเสียใจมาก
ประเพณีปฏิบัติในสมัยนั้น คือ เด็กต้องเรียนหนังสือที่บ้านก่อนจะถูกส่งตัวเข้าโรงเรียนประถม Cantor ก็เช่นกัน เมื่อเข้าโรงเรียน Cantor ได้แสดงความสามารถเชิงคณิตศาสตร์มาก แต่บิดาไม่พอใจเลยที่จะให้ลูกชายมีอาชีพเป็นนักคณิตศาสตร์ เพราะต้องการให้เป็นวิศวกร
เมื่ออายุ 11 ปี ครอบครัว Cantor ได้อพยพย้ายไปเยอรมนี เพราะบิดามีปัญหาสุขภาพคือ ทนความหนาวจัดในรัสเซียไม่ได้ และสภาพอากาศที่เยอรมนีอบอุ่นกว่า Cantor จึงได้เข้าเรียนที่โรงเรียนในเมือง Wisbaden กับ Darmstadt จนสำเร็จการศึกษา เมื่ออายุ 17 ปี แล้วได้ไปเรียนต่อที่ Polytechnikum (ETH) ใน Zurich เพราะที่นั่นเป็นสถาบันการศึกษาที่มีชื่อเสียงโด่งดังด้านวิศวกรรมศาสตร์ตามความประสงค์ของบิดา
ในปี ค.ศ.1863 เมื่อบิดาของ Cantor เสียชีวิต Cantor วัย 18 ปีได้รับมรดกมูลค่ามหาศาลจากบิดา และเห็นโอกาสที่จะได้เรียนคณิตศาสตร์ตามที่ใจเรียกร้องแล้ว จึงขอย้ายสถานศึกษาไปเรียนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Berlin กับอาจารย์ที่มีชื่อเสียงระดับโลก เช่น Karl Weierstrass, Leopold Kronecker และ Ernst Kummer เมื่อถึงหน้าร้อน Cantor ไปฝึกวิจัยที่มหาวิทยาลัย Göttingen ซึ่งมี Karl Gauss เป็นอาจารย์ประจำ
ในช่วงที่เรียนที่ Berlin, Cantor เริ่มแสดงอาการของโรคซึมเศร้า แต่ก็สามารถประคองตัวได้จนสำเร็จการศึกษาปริญญาเอกในวัย 22 ปี ด้วยวิทยานิพนธ์เรื่อง “On Indeterminated Equations of the Second Degree”
แม้จะเป็นดอกเตอร์ แต่ Cantor ก็ยังหางานทำไม่ได้เป็นเวลานานถึง 2 ปี จึงรับงานเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนสตรีแห่งหนึ่งใน Berlin เพื่อหารายได้เล็กน้อยให้ตนเอง จนถึงปี 1869 Cantor วัย 24 ปี จึงได้เข้าทำงานที่มหาวิทยาลัย Halle แม้มหาวิทยาลัยนี้จะมิได้เป็นมหาวิทยาลัยที่ดีมาก แต่ก็อยู่ในเกณฑ์ดี ภายในเวลาเพียง 3 ปี Cantor ก็ได้เลื่อนตำแหน่งเป็นรองศาสตราจารย์ และเข้าพิธีสมรสกับ Vally Guttmann ผู้เป็นเพื่อนของน้องสาว เพราะภรรยาของ Cantor เป็นคนร่าเริง ดังนั้นจึงมีบุคลิกที่ตรงข้ามกับสามีที่เป็นคนจริงจัง และเครียด ครอบครัวนี้มีทายาท 5 คน และสามารถดำรงชีพอยู่ได้ไม่ดีนักโดยอาศัยมรดกจากบิดาของ Cantor กับเงินเดือนที่ Cantor ได้รับจากมหาวิทยาลัยที่ค่อนข้างน้อย
ในปี 1879 Cantor วัย 34 ปี ได้เลื่อนตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์ แต่ก็ยังคิดอยู่ตลอดเวลาว่าต้องการจะย้ายไปสอนที่มหาวิทยาลัยอื่นที่มีชื่อเสียงมากกว่า และได้เงินเดือนสูงกว่า
ตั้งแต่เริ่มงานเป็นอาจารย์สอนที่มหาวิทยาลัย Halle, Cantor รู้สึกสนใจปัญหาเรื่อง อสงไขย (infinity) โดยในปี 1874 Cantor ได้ตีพิมพ์งานวิจัยชิ้นหนึ่งที่แสดงว่า ทฤษฎีเซ็ตของเขาสามารถจัดลำดับของ infinity ได้ เพราะในความคิดเดิมๆ “อนันต์” เป็นปริมาณที่ไม่สามารถเขียนออกมาเป็นตัวเลขได้ แต่ในทฤษฎีของ Cantor อนันต์มีค่าเป็นตัวเลข ซึ่ง Cantor เรียกว่า “Transfinite Number” และตัวเลขเหล่านี้บอกลำดับต่างๆ ของปริมาณอสงไขยนั้นๆ
แนวคิดเช่นนี้ได้รับการต่อต้าน และถูกวิพากษ์วิจารณ์จากปราชญ์คณิตศาสตร์แทบทุกคน อาทิเช่น Jules-Henri Poincaré, Hermann Weyl และ Leopold Kronecker ผู้เคยเป็นอาจารย์สอน Cantor ที่ Zurich ซึ่งได้ทำให้ Cantor รู้สึกเสียใจมากที่เห็นอาจารย์พยายาม “ฆ่า” ลูกศิษย์ตลอดเวลา แต่ Cantor ก็ยังยืนกรานในวิธีคิดของตน
ผลงานของ Cantor เรื่องทฤษฎีเซ็ทนี้ ถูก Kronecker โจมตีในทุกสถานที่ และตลอดเวลาว่า เป็นงานเพี้ยนของคนเสียสติ และเมื่อ Kronecker เป็นอาจารย์อาวุโส คำวิจารณ์ทุกคำจึงมีน้ำหนัก นักประวัติศาสตร์ไม่รู้ว่า การที่ Kronecker ได้พยายามทำลายศิษย์ด้วยวิธีทับถมและดูแคลนนั้น เพราะ Kronecker อิจฉา หรือเพราะ Kronecker เชื่อว่า Cantor บ้าจริง
ตัว Cantor ตกอยู่ในสภาพมวยรอง เพราะ Kronecker เป็นอาจารย์ในมหาวิทยาลัยชั้นหนึ่ง และตนเป็นอาจารย์ในมหาวิทยาลัยชั้นสอง อีกทั้งมิได้มีชื่อเสียงโด่งดังเท่า Kronecker ดังนั้น เมื่อใดก็ตามที่ Cantor ขอสมัครงานเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัย Berlin เขาก็จะถูก Kronecker ขัดขวางทุกครั้งไป ด้วยข้อหาว่าเป็นศิษย์อกตัญญู จอมลวงโลกที่ชอบหลอกสังคมด้วยผลงานที่จะทำลายโลกคณิตศาสตร์
จะมีก็แต่ Mittag-Leffler นักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดนผู้เป็นบรรณาธิการของวารสาร Meta Mathematica เท่านั้นที่กล้านำผลงานเรื่อง “Transfinite Number” ของ Cantor ลงตีพิมพ์เป็นภาษาเยอรมัน ถึงปี 1884 ผลงานที่เกี่ยวกับเรื่องนี้ทุกชิ้นก็ถูกตีพิมพ์หมด แต่แทบไม่มีใครอ่านและสนใจ
เมื่อ Cantor ตระหนักว่า ตนแพ้สงครามวิชาการ เพราะศัตรูมีพลังมากกว่า Cantor เริ่มสูญเสียความมั่นใจในตนเอง และหมดความศรัทธาในระบบ เขาเริ่มเป็นโรคซึมเศร้า จนต้องเข้ารับการบำบัดรักษาในโรงพยาบาล และแม้ Kronecker จะตายไปในปี 1891 แต่ Cantor ก็ไม่หายเป็นปรกติ และไม่สามารถคิดอะไรที่ยิ่งใหญ่ได้อีกเลย
ในความเป็นจริง ก่อนที่ Cantor จะเสียชีวิต นักคณิตศาสตร์รุ่นหลังของเขา เช่น David Hilbert ได้ให้ความเห็นว่า Transfinite Set Theory เป็นผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ Cantor และเป็นความคิดสำคัญที่สุดที่สมองมนุษย์จะสามารถคิดได้ เพราะทฤษฎีนี้ได้บุกเบิกคณิตศาสตร์สาขาใหม่ๆ อีกมากมาย เช่น Topology และ Abstract Space เป็นต้น
อย่างไรก็ดีในช่วงที่พลังใจกำลังถดถอยและความรู้สึกกำลังสลดหดหู่ Cantor ได้หันมาสนใจทฤษฎีอนุกรม Fourier ของ Jean Baptiste Joseph Fourier ซึ่งนักคณิตศาสตร์นำไปใช้โดยไม่มีใครมั่นใจว่า ฟังก์ชันที่เป็นคาบทุกฟังก์ชันสามารถแทนได้ด้วยอนุกรมตรีโกณมิติหนึ่งเดียวเท่านั้น และ Cantor ก็วิจัยจนสามารถพิสูจน์ได้ว่า แนวคิดของ Fourier ถูกต้อง จึงเขียนจดหมายถึง Richard Dédekind ว่า ตนประสบความสำเร็จในเรื่องนี้ เพราะได้อาศัยเทคนิคการพิสูจน์แบบ Reductio ad Absurdum ของ Dédekind
ในจดหมายที่ Cantor เขียนติดต่อกับ Dédekind เขาได้เล่าเรื่องความสนใจของเขาเรื่อง Hyperspace จำนวนจริงที่ไม่สามารถนับได้ และ Theory of Manifolds นอกจากคณิตศาสตร์แล้ว Cantor ก็ยังสนใจวิชาปรัชญาตามแนวความคิดของ Leibniz ด้วย แต่พบว่า เวลา Cantor สอนวิชานี้ นิสิตมักไม่สนใจ จากตอนเริ่มต้นที่มีนิสิตเข้าฟัง 25 คน จนกระทั่งจบชั่วโมงมีคนนั่งฟังเพียงคนเดียว ภรรยาของ Cantor จึงได้ขอร้อง Cantor ไม่ให้สอนปรัชญาอีกเลย
ในปี 1895 Cantor ได้หันมาสนใจ Transfinite Set Theory อีกคำรบหนึ่ง และได้ตีพิมพ์ตำรา “Contributions to the Foundation of Transfinite Set Theory” ซึ่งมีสองส่วน คือ “Ordered Set” กับ “Well-Ordered Set”
แม้จะมีงานสอนมาก และงานวิจัยหนัก แต่ Cantor ก็มีเวลาที่จะสร้างความแข็งแกร่งให้วงการคณิตศาสตร์ของเยอรมัน โดยในปี 1889 ได้ช่วยจัดตั้ง German Mathematical Society และเป็นหัวเรี่ยวหัวแรงในการจัดประชุม International Congress of Mathematicians ครั้งแรกที่ Zurich ในปี 1897 อีกทั้งยังได้เป็นตัวตั้งตัวตีในการออกวารสารสำหรับให้นักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ได้ตีพิมพ์งานวิจัย เวลาถูกนักคณิตศาสตร์รุ่นเก่าขัดขวาง ทั้งนี้เพราะ Cantor เข้าใจความรู้สึกของคนที่ถูกกีดกันเป็นอย่างดี
ในปี 1890* ในที่ประชุม Third International Congress of Mathematicians นักคณิตศาสตร์ชื่อ Julius Konig ได้ออกมาโจมตีทฤษฎีเซ็ทของ Cantor กลางที่ประชุมต่อหน้าลูกและเพื่อนๆ ของ Cantor เหตุการณ์นี้ทำให้ Cantor รู้สึกท้อแท้ที่คนเหล่านี้จงใจและตั้งใจจะทำลายชื่อเสียงของตน ความแค้นนี้ทำให้ Cantor ถึงกับคลั่ง ครั้นเมื่อลูกคนสุดท้องของ Cantor ประสบอุบัติเหตุเสียชีวิต นี่เป็นฟางเส้นสุดท้ายที่ทำให้ Cantor ต้องเข้ารับการบำบัดในโรงพยาบาลโรคจิต
เมื่อชีวิตวิชาการใกล้จะสิ้นสุด โลกก็เริ่มเห็นคุณค่าของ Cantor ในปี 1904 Cantor ได้รับเหรียญ Sylvester ของ Royal Society ซึ่งเป็นเหรียญรางวัลคณิตศาสตร์ที่มีเกียรติสูงสุดของสมาคม และได้รับเลือกเป็นสมาชิกกิตติมศักดิ์ของ London Mathematical Society
ตลอดเวลา 15 ปี สุดท้ายของชีวิต Cantor ต้องล้มป่วยด้วยโรคขาดอาหาร โรคหัวใจ และโรคซึมเศร้า บ่อยๆ และเสียชีวิตเมื่อวันที่ 6 มกราคม 1918 ที่โรงพยาบาลโรคจิตของมหาวิทยาลัย Halle ในวัย 73 ปี
หลังจากที่ Cantor เสียชีวิตไปแล้ว 10 ปี ทางมหาวิทยาลัยได้ติดตั้งรูปปั้นเท่าตัวจริงของ Cantor ที่มหาวิทยาลัย เพื่อเป็นอนุสรณ์แก่ Cantor ผู้ไม่เคยสอนที่ใดเลยนอกจากที่มหาวิทยาลัย Halle
ปัจจุบันนี้ นักคณิตศาสตร์รู้จักผลงานของ Cantor ในหลายเรื่องเช่น Cantor cube, Cantor space, Cantor function, Heine-Cantor Theorem และรู้ว่า Cantor คือคนที่ให้คำจำกัดความของ Infinite Set, Well-Ordered Set, Cardinal และ Ordinal Numbers เป็นต้น ซึ่งวิธีคิดเหล่านี้ล้วนเป็นพื้นฐานที่สำคัญของวิชาคณิตศาสตร์ที่ Cantor ได้มอบให้แก่โลก
ชีวิตของ Cantor เป็นชีวิตที่เศร้า ทั้งๆ ที่เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนหนึ่งของโลก ผู้มีความคิดสร้างสรรค์ที่สำคัญ โดย Cantor ได้ยึดมั่นว่า “ในวิชาคณิตศาสตร์ การตั้งโจทย์เป็นมีคุณค่า และความสำคัญยิ่งกว่าการแก้โจทย์” และ “ทฤษฎีที่ยิ่งใหญ่ไม่สามารถวัดความลึกซึ้งได้ด้วยความยาวของวิธีพิสูจน์”
ในการวิเคราะห์ความผิดปรกติของจิตใจ (โรคซึมเศร้า) ที่เกิดขึ้นกับ Cantor นั้น Ivor Grattan-Guinness นักประวัติศาสตร์ชาวอังกฤษได้วินิจฉัยอาการป่วยของ Cantor ที่โรงพยาบาล Halle Nervenklinik และพบว่า Cantor ป่วยเป็นโรคซึมเศร้าระดับรุนแรงแบบ bipolar ซึ่งอาการนี้เขาสันนิษฐานว่า อาจจะเกิดจากความขัดแย้งกับบิดาในการเลือกอาชีพ และการถูก Kronecker ผู้เป็นอาจารย์พยายามทำลายชื่อเสียงเมื่อ Cantor เสนอทฤษฎี Transfinite Set Theory
อ่านเพิ่มเติมจาก Everything and More: A Compact History of ∞ โดย David Foster Wellace จัดพิมพ์โดย Norton, New York ในปี 2003
*แก้ไข
เกี่ยวกับผู้เขียน
สุทัศน์ ยกส้าน
ประวัติการทำงาน-ภาคีสมาชิกราชบัณฑิตยสถาน และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์
ประวัติการศึกษา - ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ สุทัศน์ ยกส้าน ได้ทุกวันศุกร์
