Pythagoras เกิดเมื่อ 37 ปีก่อนพุทธกาลที่เกาะ Samos ซึ่งตั้งอยู่ในทะเลนอกฝั่งเมือง Miletus ของกรีซ โลกรู้จัก Pythagoras ในฐานะนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และถ้าเปรียบเทียบ Pythagoras กับนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เช่น Euclid และ Archimedes ผู้ซึ่งโลกมีหลักฐานที่เป็นผลงานเขียน แต่โลกไม่มีลายลักษณ์อักษรที่แสดงว่าเป็นผลงานของ Pythagoras เลย ทั้งนี้เพราะสังคมที่ Pythagoras ใช้ชีวิตอยู่เป็นสังคมที่เคร่งศาสนาซึ่งถือว่าความรู้ คือ ความลับ ประเพณีเช่นนี้นี่เองที่ทำให้ Pythagoras เป็นบุรุษลึกลับไม่เป็นที่รู้จักดีเท่า Euclid และ Archimedes
บิดาของ Pythagoras เป็นพ่อค้าชื่อ Mnesarchus แห่งเมือง Tyre และมารดาชื่อ Phythias แห่งเมือง Samos ครอบครัวนี้มีลูกสามคน เมื่อครั้งที่ชาวเกาะ Samos ประสบทุพภิกขภัย บิดาของ Pythagoras ได้นำข้าวโพดไปช่วยบรรเทาความขาดแคลน ชาวเมืองจึงยกย่องให้ Mnesarchus เป็นพลเมืองกิตติมศักดิ์ Pythagoras ได้ใช้ชีวิตในวัยเด็กบนเกาะนี้ และมีครูที่เป็นชาว Syria สอนวิชาการจนมีความสามารถสูงทั้งในการเล่นพิณ แต่งบทกวี และท่องบทประพันธ์ของ Homer ได้อย่างขึ้นใจ
อนึ่ง Pythagoras อาจมีครูสอนวิทยาการแขนงอื่นๆ อีกหลายคน แต่ครูที่มีอิทธิพลต่อความนึกคิดของ Pythagoras มากที่สุดคือ Thales แห่งเมือง Miletus และศิษย์เอกของ Thales ที่ชื่อ Anaximander เมื่ออายุ 18 ปี Pythagoras ได้เดินทางไป Miletus เพื่อพบ Thales ผู้ชรา การได้เรียนหนังสือกับ Thales ทำให้ Pythagoras รู้สึกสนใจคณิตศาสตร์ กับ ดาราศาสตร์มาก จึงเดินทางไปศึกษาวิชาทั้งสองนี้ต่อที่อียิปต์ ตามคำแนะนำของ Thales ประจวบกับขณะนั้นกษัตริย์ Polycrates ผู้ทรงปกครองเกาะ Samos ทรงเป็นกษัตริย์ที่โหดเหี้ยมและทารุณมาก การเดินทางออกนอกประเทศไปอียิปต์ จึงทำให้ Pythagoras รู้สึกปลอดภัยและยินดี
ขณะพำนักอยู่ในอียิปต์ Pythagoras ทำตนเสมือนเป็นชาวอียิปต์ เช่น ไปศาสนสถานศักดิ์สิทธิ์เพื่อนสนทนากับบรรดานักบวช ไม่บริโภคพืชประเภทถั่ว ไม่นุ่งห่มเสื้อผ้าที่ทำจากหนังสัตว์ ฯลฯ และเมื่อองค์กษัตริย์ Cambyses ที่ 2 แห่งอาณาจักรเปอร์เซียทรงรุกรานอียิปต์ โดยได้เข้ายึดเมือง Heliopolis กับเมือง Memphis ทหารของกษัตริย์ Cambyses ที่ 2 ได้จับ Pythagoras เป็นเชลยสงคราม และนำตัวไปขังที่กรุง Babylon จน Pythagoras อายุ 23 ปี ก็ถูกปล่อยเป็นไท เพราะกษัตริย์ Cambyses ทรงฆ่าตัวตาย Pythagoras จึงเดินทางกลับ Samos ซึ่งขณะนั้นอยู่ใต้การปกครองของจักรพรรดิ Darius แห่ง Persia แล้วได้เดินทางต่อไปที่เกาะ Crete เพื่อศึกษากฎหมาย เมื่อสำเร็จการศึกษาก็เดินทางกลับ Samos เพื่อตั้งสถาบันการศึกษาที่เรียกว่า semicircle ให้ชาวเกาะที่สนใจมาพบปะสนทนาการเมืองและจริยธรรม ความดีงามรวมถึงความยุติธรรมด้วย
เมื่ออายุ 35 ปี Pythagoras ได้เดินทางไปเมือง Crotone ซึ่งตั้งอยู่ทางตอนใต้ของอิตาลี เพราะที่นั่น ขณะนั้นเป็นเมืองขึ้นของกรีซ และรัฐบาลกรีกได้จัดตั้งโรงเรียนสอนศาสนาและปรัชญาให้แก่ชาวเมือง Pythagoras จึงมีสานุศิษย์หลายคน และศิษย์ทุกคนต่างก็บำเพ็ญตนเสมือนเป็นนักพรต เช่น กินอาหารมังสวิรัติ ไม่นิยมมีทรัพย์สมบัติและมีความเชื่อแปลกๆ เช่น ไม่ให้นกนางแอ่นมาทำรังบนหลังคาบ้าน เป็นต้น นอกจากนี้ผู้คนก็ยังเชื่อตาม Pythagoras อีกว่า ธรรมชาติกับคณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกัน และจำนวนเลขมีความสำคัญ คือ มีตัวตน เช่น เรือ 2 ลำ กับเรือ 3 ลำ รวมเป็น 5 ลำ หรือถ้าจะพูดเชิงนามธรรมว่า 2 + 3 = 5 ก็เป็นจริงทุกกรณี ไม่ว่าสิ่งที่นับเป็น ช้าง ม้า หรือเก้าอี้ ฯลฯ ด้วยเหตุนี้จำนวน 2, 3 จึงมีตัวตน เหมือนปากกา หรือเรือ ดังนั้น ในมุมมองของ Pythagoras จำนวนเลขทุกจำนวนมีบุคลิกภาพ คือ สมบูรณ์ หรือบกพร่อง สวย หรือน่าเกลียด คู่ หรือคี่ เป็นต้น
ทุกวันนี้เราทุกคนรู้จักทฤษฎีสามเหลี่ยมมุมฉากที่ว่า a² = b² + c² ของ Pythagoras เมื่อ a คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ b กับ c เป็นด้านประกอบมุมฉาก ถึงชาว Babylon จะรู้ทฤษฎีนี้เมื่อ 1,000 ปีก่อนก็ตาม แต่ Pythagoras อาจเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีนี้ได้ และตำนานก็เล่าว่า เมื่อเขาพบสมการนี้เขาได้ฆ่าวัว เพื่อถวายเป็นพลีแด่พระเจ้า
นอกจากทฤษฎีที่โด่งดังนี้แล้ว Pythagoras ก็ยังมีผลงานอื่นอีก เช่น
1) การได้พบว่า ผลบวกมุมภายในของสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 2 มุมฉากเสมอ และในกรณีรูป n เหลี่ยม ผลบวกของมุมภายใน = (2n - 4) มุมฉาก ส่วนผลบวกของมุมภายนอก = 2 มุมฉากเสมอ
2) สามารถแก้สมการ (a – x) = x² ได้โดยใช้วิธีเรขาคณิต
3) เป็นปราชญ์คนแรกที่เสนอความคิดว่าโลกกลม โดยได้ข้อสรุปนี้ จากการเห็นเงาของโลกที่ทาบบนดวงจันทร์ในปรากฏการณ์จันทรุปราคาว่ามีลักษณะโค้งเสมอ นอกจากนี้ Pythagoras ก็ยังรู้อีกว่าระนาบโคจรของดวงจันทร์ของโลกเอียงทำมุมเล็กๆ กับแนวเส้นศูนย์สูตรของโลก
4) เป็นบุคคลแรกที่พบว่า ดาวประกายพฤกษ์ และดาวประจำเมือง คือ ดาวดวงเดียวกัน
5) เสนอความคิดว่าโลก คือ จุดศูนย์กลางของเอกภพที่ถูกห่อหุ้มด้วยทรงกลมใสมากมาย และทรงกลมมีดาวฤกษ์ติดอยู่ที่ผิว โดยทุกทรงกลมจะหมุนอย่างช้าๆ รอบโลกด้วยความเร็วสม่ำเสมอ
เมื่ออายุ 35 ปี สมาคม Pythagoras ถูกชนเผ่า Cylon โจมตี Pythagoras จึงต้องหนีไปเมือง Metapontium และเสียชีวิตที่นั่นเมื่อ พ.ศ. 43 สิริอายุได้ 80ปี
ดังได้กล่าวมาแล้วว่า ทฤษฎี Pythagoras เป็นทฤษฎีคณิตศาสตร์ที่นักเรียนทุกคนรู้วิธีพิสูจน์ ถึงกระนั้น หนังสือ The Pythagorean Proposition ของ Elisha S. Loomis ก็ได้แสดงวิธีพิสูจน์ทฤษฎีนี้บทนี้ถึง 367 วิธี โดยได้พิสูจน์แบบพีชคณิต 109 วิธี และพิสูจน์แบบเรขาคณิต 235 วิธี และวิธีอื่นๆ อีก
เช่น ถ้าพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก RST ที่มี RT เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และลากเส้น SD ให้ตั้งฉากกับ RT ที่ D เพราะสามเหลี่ยม RSD มีพื้นที่ ½a² cosθ sinθ
เมื่อ a คือ ความยาวของด้าน RSและ θ คือ มุม TRS
ในทำนองเดียวกันเราก็จะได้ว่า
สามเหลี่ยม SDT มีพื้นที่ ½b² cosθ sinθ และสามเหลี่ยม RST มีพื้นที่ ½ c²cosθ sinθ ด้วย แต่พื้นที่สามเหลี่ยม RST = พ.ท.สามเหลี่ยม RSD + พ.ท. สามเหลี่ยม SDT
ดังนั้น c² = a² + b²
ผลกระทบหนึ่งที่เกิดจากการใช้ทฤษฎีนี้ คือ ถ้าบนด้าน a, b, c ของสามเหลี่ยมมุมฉาก แทนที่จะสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส Loomis ได้สร้างรูปอะไรก็ได้ โดยให้ด้านๆ หนึ่งของรูปนั้น เป็นเส้นตรงที่ยาว a, b และ c และให้รูปทั้งสามมีขนาดที่เป็นปฏิภาคโดยตรงกับความยาวของด้าน a, b, c
เมื่อให้ Fa, Fb และ Fc คือ พื้นที่ของรูปทั้ง 3
เพราะ พ.ท. Fa = Ka² จากความจริงที่ว่าพื้นที่แปรโดยตรงกับความยาวยกกำลังสอง
ดังนั้น พ.ท. Fb = Kb²
และ พ.ท. Fc = Kc²
จากทฤษฎี Pythagoras ที่ว่า a² + b² = c²
แสดงว่า Ka² + Kb² = Kc²
นั่นคือ Fa + Fb = Fc
หนังสือเล่มนี้ยังได้เสนอวิธีค้นหาชุดของจำนวนเลขที่มีสมบัติตามทฤษฎีของ Pythagoras ด้วยว่าถ้าให้
x = a² – b²
y = 2ab
z = a² + b²
แล้ว x² + y² จะเท่ากับ z² เสมอ ไม่ว่า a, b จะเป็นจำนวนเต็มใดก็ตาม เช่น ถ้าให้ a = 7, b = 4 เราจะได้
x = 49 – 16 = 33
y = 2 × 4 × 7 = 56
z = 49 + 16 = 65
นั่นคือ 33²+ 56² = 65² ดังนั้น a, b ในที่นี้จึงถูกเรียกเป็นจำนวนกำเนิด
สมบัติอื่นๆ ที่น่าสนใจของสามเหลี่ยมมุมฉากมีมากมาย เช่น ในกรณีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว 6, 8, 10 กับ 5, 12, 13 เราก็จะพบว่าสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนี้มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากับพื้นที่พอดี คือ 24 กับ 30
ส่วน Fermat ในปี ค.ศ. 1643 ก็ได้พบว่า ถ้าให้ด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้วด้านที่ประกอบมุมฉากรวมกัน จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วย และรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ใหญ่ที่สุด มีด้านทั้งสามยาว 4,565,486,027,761 กับ 1,061,652,293,520 และ 4,657,298,610,289
ในกรณีสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 693 กับ 1924 และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 2045 เราก็จะได้ว่า สามเหลี่ยมนี้มีพื้นที่ 666,666
ถึงโดยทั่วไปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ถ้าจะให้ใกล้เคียงที่สุด สามเหลี่ยมหน้าจั่วนั้นก็จะมีด้านๆ หนึ่งยาว 21, 669, 693, 148, 613, 788, 330, 547, 979, 729, 286, 307, 164, 015, 202, 768, 699, 465, 346, 081, 691, 992, 338, 845, 992, 696 ส่วนด้านที่ตรงข้ามมุมฉากก็จะยาวเท่ากับด้านๆ หนึ่ง +1
นอกจากนี้เราก็ยังพบอีกว่า มีสามเหลี่ยมมุมฉาก สามรูป คือ (1) (1380 ; 19,019 : 19,069) (2) (3,059 ; 8,580 : 9109) และ (3) (4,485 ; 5,852 : 7373) ที่มีพื้นที่เท่ากัน คือ 13,123,110 คำถามมีต่อว่า มีสามเหลี่ยมมุมฉากอื่นใดอีกที่มีพื้นที่ 13,123,110
ถ้ากำหนดจำนวนเต็มมาให้จำนวนหนึ่ง คำถามมีว่าจำนวนนี้ คือ พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ หรือไม่
ยกตัวอย่างจำนวนเต็ม 6 นี่คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว 3, 4, 5 และสำหรับจำนวนเต็ม 5 นั้น นี่ก็คือ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว 3/2, 20/3 และ 41/6
สำหรับ 1, 2, 3, 4 นั้นไม่ใช่พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ความยาวของด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะเลย
ดังนั้น โจทย์ยาก คือ ถ้ากำหนดพื้นที่ N ของสามเหลี่ยมมุมฉากมาให้ ซึ่ง N เป็นจำนวนเต็ม จงหาด้านทั้งสามที่เป็นจำนวนตรรกยะของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น
ในการตอบโจทย์ข้อนี้ นักคณิตศาสตร์ด้านทฤษฎีจำนวน ได้รู้มานานแล้วว่า
คำตอบจะหาได้จากการแก้สมการ y² = x³ - N²x ซึ่งถ้า a, b เป็นด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจะได้ x =(c/2)² และ y = (a² - b²)c/8
เช่นในกรณี N = 6 ด้านที่ยาว 3, 4, 5 คือ a = 4, b = 3 และ c = 5 นั้น จะให้ x = 25/4 และ y = 35/8 เป็นคำตอบของสมการ y² = x³ - 36x
แต่จนกระทั่งวันนี้ นักคณิตศาสตร์ก็ยังไม่มีสูตรทั่วไปที่ใช้ในการตัดสินว่า สมการ y² = x³ - N²x จะมีคำตอบของ x กับ y ที่เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่ เมื่อกำหนดค่า N ที่เป็นจำนวนเต็มมาให้
ถ้ามีใครรู้คำตอบนี้ Pythagoras เอง ก็คงรู้สึกเป็นสุขด้วย
สุทัศน์ ยกส้าน เมธีวิจัยอาวุโส สกว.
