“หนูไซน์” เฉลยปัญหาความน่าจะเป็น ที่ซ่อนในช็อคโกแลตวาเลนไทน์

ไม่ทราบว่า “วันวาเลนไทน์” ที่ผ่านมา มีใครได้รับช็อคโกแลตและดอกกุหลาบกันบ้าง สำหรับวันแห่งความรักที่เพิ่งผ่านไป ทีมข่าววิทยาศาสตร์ ASTV-ผู้จัดการออนไลน์ ได้รับคำตอบที่ “หนูไซน์” ท้าผู้อ่านค้นหาความน่าจะเป็นหลังจากนำช็อคโกแลตไปซ่อนแล้วให้เพื่อน 10 คนช่วยกันหา เข้ามาจำนวนมาก

สำหรับเฉลยคำถามความน่าจะเป็นทั้ง 4 ข้อที่ “หนูไซน์” ได้ท้าทายผู้อ่านทุกคนในบทความ “หนูไซน์” ขอท้าหาความน่าจะเป็น ช่วยกันค้นช็อกโกแลตวาเลนไทน์ นั้น ทีมข่าววิทยาศาสตร์ ASTV-ผู้จัดการออนไลน์ได้รับความกรุณาจาก ผศ.ดร.กิตติกร นาคประสิทธิ์ อาจารย์จากภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น ช่วยพิจารณาความเหมาะสมของการตั้งโจทย์และเฉลยคำตอบทั้งหมด

จากโจทย์... เพื่อนๆ ของ “หนูไซน์” ทั้ง 10 คนจะได้โอกาสสุ่มหากล่องช็อกโกแลตคนละ 1 ครั้งเท่านั้น โดยการสุ่มแต่ละครั้ง เมื่อตรวจผลแล้ว จะนำกล่องที่หยิบสุ่มกลับไปคละกับ 3 กล่องที่เหลือ โดยเพื่อนทุกคนจะไม่ทราบว่ากล่องใดเป็นกล่องช็อกโกแลตเลย ถามว่า...

1.โอกาสที่เพื่อนหนูไซน์ทั้ง 10 คน จะสุ่มพบกล่องช็อกโกแลตทุกคนเป็นเท่าไหร่?

เฉลย  0.000 000 953 674 316 406 25 หรือ 0.000 095 367 431 640 625 %

 … เนื่องจากโอกาสที่คน 1 คนจะสุ่มพบกล่องช็อคโกแลตเป็น ¼ หรือ 0.25 ดังนั้น โอกาสที่ทั้งสิบคนจะสุ่มพบช็อกโกแลตทุกคนคือโอกาสที่คนหนึ่งคนสุ่มพบคูณกัน 10 ครั้ง ได้เป็น (¼)¹⁰ = 1/1,048,576 หรือ 0.000 000 953 674 316 406 25 ซึ่งเป็นโอกาสน้อยกว่า 1 ในล้าน คิดเป็น % ได้ 0.000 095 367 431 640 625 %

2.โอกาสที่เพื่อนหนูไซน์ทั้ง 10 คน จะสุ่มไม่พบกล่องบรรจุช็อกโกแลตสักครั้งเลยเป็นเท่าไหร่?

เฉลย 0.056 313 514 709 472 656 25 หรือ 5.631 351 470 947 265 625 %
 
… โจทย์ข้อนี้มีวิธีคิดคล้ายกับโจทย์ข้อแรก แต่พิจารณาโอกาสในการสุ่มไม่พบ ซึ่งโอกาสที่คน 1 คน จะสุ่มไม่พบกล่องช็อคโกแลตเป็น ¾ หรือ 0.75 ดังนั้น โอกาสที่ทั้งสิบคนจะสุ่มไม่พบช็อคโกแลตเลย คือ (3/4)¹⁰ = 59,049/1,048,576 หรือ 0.056 313 514 709 472 656 25 คิดเป็น % ได้ 5.631 351 470 947 265 625 %

3.โอกาสที่เพื่อนหนูไซน์ทั้ง 10 คน จะสุ่มพบกล่องช็อกโกแลต 50% เป็นเท่าไหร่?

เฉลย 0.058 399 200 439 453 125 หรือ 5.839 920 043 945 312 5 %

 
… โอกาสที่เพื่อนทั้งสิบคนจะสุ่มพบกล่องช็อคโกแลต 50% มีหลายกรณี เริ่มต้นง่ายๆ จากกรณีที่ 5 คนแรกสุ่มพบและ 5 คนสุดท้ายสุ่มไม่พบ จะได้โอกาสของกรณีนี้เป็น (1/4)⁵ (3/4)⁵ = 243/1,048,576

มีอีกหลายกรณีที่ 5 คนสุ่มพบและอีก 5 คนสุ่มไม่พบ เช่น คนแรกพบ คนที่สองไม่พบ คนที่สามพบ... สลับกันไปเรื่อยๆ และจากความรู้คณิตศาสตร์ระดับ ม.ปลาย บอกได้ว่า เราเลือก 5 คน ที่สุ่มพบจาก 10 คนได้เป็น 10!/(5!5!) = 252 วิธี 
ดังนั้น จึงได้โอกาสทั้งหมดเป็น 252(243/1,048,576) หรือ 0.058 399 200 439 453 125 คิดเป็น % ได้ 5.839 920 043 945 312 5 %

4.โอกาสที่เพื่อนหนูไซน์ทั้ง 10 คน จะสุ่มพบกล่องช็อกโกแลตมากกว่า 50% เป็นเท่าไหร่?

เฉลย 0.019 727 706 909 179 687 5 หรือ 1.972 770 690 917 968 75 %

... แนวทางในการเฉลยโจทย์ข้อนี้คล้ายกับโจทย์ข้อ 3. ทั้งนี้ โอกาสสุ่มพบกล่องช็อคโกแลตมากกว่า 50% เป็นได้ตั้งแต่โอกาสสุ่มพบ 6 คน, 7คน, 8 คน, 9คน และ 10 คน

- กรณี สุ่มพบ 6 คน คิดเป็น 210x(1/4)⁶ (3/4)⁴ = 210 x( 81/1,048,576) หรือ 0.016 222 000 122 070 312 5 …(*210 คือ วิธีเลือก 6 คนที่สุ่มพบจาก 10 คน = 10!/(6!4!))

- กรณี สุ่มพบ 7 คน คิดเป็น 120 x(1/4)⁷ (3/4)³ = 120 x( 27/1,048,576) หรือ 0.003 089 904 785 156 25 …(*120 คือ วิธีเลือก 7 คนที่สุ่มพบจาก 10 คน = 10!/(7!3!))

- กรณี สุ่มพบ 8 คน คิดเป็น 45x(1/4)⁸ (3/4)² = 45 x( 9/1,048,576) หรือ 0.000 386 238 098 144 531 25 …(* 45คือ วิธีเลือก 6 คนที่สุ่มพบจาก 10 คน = 10!/(8!2!))

- กรณี สุ่มพบ 9 คน คิดเป็น 10 x(1/4)⁹ (3/4)¹ = 10x( 3/1,048,576) หรือ 0.000 028 610 229 492 187 5 …(*10 คือ วิธีเลือก 6 คนที่สุ่มพบจาก 10 คน = 10!/(9!1!))

- กรณี สุ่มพบ 10 คน ซึ่งเราได้คำนวณแล้วในข้อ 1 คือ คิดเป็น (1/4)¹⁰ = (1/1,048,576) หรือ 0.000 000 953 674 316 406 25

ดังนั้นโอกาสสุ่มพบจึงเท่ากับโอกาสทั้งหมดรวมกัน เท่ากับ 0.019 727 706 909 179 687 5 หรือ คิดเป็น % ได้ 1.972 770 690 917 968 75 %

นอกจากนี้ ผศ.ดร.กิตติกร นาคประสิทธิ์ ยังได้ช่วยคำนวณอีกว่า โอกาสที่เพื่อนหนูไซน์ทั้ง 10 คน จะสุ่มพบกล่องช็อกโกแลตน้อยกว่า 50% เป็นเท่าไหร่? ซึ่งมีวิธีคิดได้ 2 วิธี

วิธีแรก คิดได้เหมือนการคำนวณในข้อ 4 คือ หาผลรวมทั้งหมดของโอกาสที่จะสุ่มพบกล่องช็อคโกแลตน้อยกว่า 50% ซึ่งมีโอกาสสุ่มพบตั้งแต่ 0 คน ,1 คน ,2 คน ,3 คน และ 4คน ได้เป็น

(3/4)¹⁰ + 10(1/4)¹(3/4)⁹ + 45(1/4)²(3/4)⁸ + 120(1/4)³(3/4)⁷ + 210 (1/4)⁴(3/4)⁶ =  0.9218730926513671875 หรือ คิดเป็น % ได้ 92.18730926513671875 %

วิธีที่ 2 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เท่ากับ 1 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สุ่มได้เท่ากับ 50 % บวกกับ ความน่าจะเป็นที่สุ่มได้มากกว่า 50 % บวกกับ ความน่าจะเป็นที่สุ่มได้น้อยกว่า 50 % จะต้องเท่ากับ 1 เพราะฉะนั้น

ความน่าจะเป็นที่สุ่มได้น้อยกว่า 50 % = 1 – ความน่าจะเป็นในข้อ 3 – ความน่าจะเป็นในข้อ 4

ความน่าจะเป็นที่สุ่มได้น้อยกว่า 50 % = 1 - 0.058 399 200 439 453 125- 0.019 727 706 909 179 687 5

ความน่าจะเป็นที่สุ่มได้น้อยกว่า 50 % = 0.921 873 092 651 367 187 5 หรือ คิดเป็น % ได้ 92.187 309 265 136 718 75 %


หลังจากตรวจสอบคำตอบของผู้ร่วมสนุกทั้งหมด มีเพียง 2 ท่านที่ตอบโจทย์ได้ถูกต้อง ได้แก่


1. คุณอมรศรี อมรวัชรพงศ์
2. คุณณัฐวุฒิ อดุลยานุโกศล


ทั้งนี้ ผู้ร่วมสนุกส่วนใหญ่ตอบข้อ 1 และ 2 ได้ถูกต้อง แต่ตอบผิดในข้อ 3 และ 4 ซึ่งทีมข่าววิทยาศาสตร์ฯ คาดว่าหลายท่านคงพลาดตรงที่ไม่ได้คำนวณการเลือกผู้สุ่มพบในแต่ละกรณี อย่างไรก็ดี เราหวังว่าผู้อ่านจะได้รับความรู้ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับ “ความน่าจะเป็น” จากโจทย์ของ “หนูไซน์” พอสมควร และเราจะพยายามสรรหากิจกรรมร่วมสนุกให้ผู้อ่านได้ เรียนรู้วิทยาศาสตร์-คณิตศาสตร์เช่นนี้มานำเสนออีก

สำหรับผู้ได้รับรางวัลทั้ง 2 ท่าน ทีมงานจะจัดส่งของรางวัลให้ภายในวันที่ 17 ก.พ.53 นี้ หากเลยกำหนดแล้วยังไม่ได้ รับรางวัล กรุณาติดต่อทีมข่าววิทยาศาสตร์ฯ ที่ astvscience@gmail.com ส่วนผู้พลาดรางวัลในครั้งนี้ ยังมีโอกาสในการร่วมสนุกครั้งต่อๆ ไป