ในการศึกษาจำนวนเชิงซ้อนนั้น Gauss ได้เจาะลึกลงไปกว่าการใช้กราฟ เพราะในปี 2374 Gauss เสนอให้แทน a + bi ด้วยคู่อันดับ (a, b) จากนั้น Gauss ก็ได้แสดงว่า
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) (c,d) =(ac - bd, ad + bc) เป็นต้นคุณค่าของการเขียน จำนวน เชิงซ้อนเป็นคู่อันดับนี้ก็ยังไม่มีใครสนใจ จนกระทั่ง William Rowan Hamilton นำแนวคิดของ Gauss ลงตีพิมพ์ในปี 2380 โลกจึงยอมรับจำนวนเชิงซ้อนอย่างเปิดใจ นอกจากนี้ Gauss ก็ยังได้ใช้จำนวนเชิงซ้อนในการพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต ที่เขานำเสนอในวิทยานิพนธ์ที่มหาวิทยาลัย Helmstedt ซึ่งมีใจความว่า สมการพหุนามที่มีกำลังมากกว่าศูนย์จะมีรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนหนึ่งราก และ Gauss ก็ได้พิสูจน์ให้เห็นความจริงนี้ โดยวิธีต่างๆ กันถึง 4 วิธี
ในปี 2354 Gauss ได้พบ Cauchy’s theorem ที่แถลงว่า การ integrate ฟังก์ชันที่ analytic รอบโค้งปิด ถ้าภายในโค้งไม่มีภาวะเอกฐาน ผลจะได้ค่า o ซึ่ง Augustin Louis Cauchy ได้ใช้ทฤษฎีนี้ ในการศึกษาปัญหา การวิเคราะห์จำนวนเชิงซ้อน แต่โลกไม่เรียกทฤษฎีบทนี้ว่า Gauss’ Theorem เพราะ Gauss ไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานที่เขาพบ แต่ Cauchy ตีพิมพ์
Gauss ยังได้พบวิธีแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะอีกด้วย โดยการใช้จำนวนเชิงซ้อน เช่น 2 = (1+i ) (1-i), 5 = (2+i) (2-i) และ 29 = (5+2i) (5-2i) และได้พบว่าสำหรับจำนวน 7, 11, 19 … นั้นจะเป็นตัวประกอบแยกแบบนี้ไม่ได้ ส่วนจำนวนเฉพาะที่เขียนแยกได้จะต้องอยู่ในรูป 4n+1 (5, 13, 17, 19….) ยกเว้น 2 เป็นกรณีพิเศษ
นอกเหนือจากงานคณิตศาสตร์บริสุทธิ์แล้ว Gauss ก็ยังสนใจคณิตศาสตร์ประยุกต์ด้วย โดยในปี 2344 Gauss ได้หันมาสนใจดาราศาสตร์ซึ่งต้องใช้การคำนวณที่ยาว ยาก และละเอียด ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 21 (ในสมัยนั้นยังไม่มีคอมพิวเตอร์ใช้) เพราะ Johann Titius ได้พบในปี 2319 ว่า เขาสามารถหาระยะทางที่ดาวเคราะห์ต่าง ๆ อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ได้ โดยเริ่มที่อนุกรมของเลขจำนวนเต็ม คือ 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 (เทอมหลังจะมีค่าสองเท่าของเทอมหน้าที่อยู่ติดกัน โดยเริ่มที่ 3) จากนั้นบวก 4 เข้ากับเลขทุกจำนวนจะได้ 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196 … ตัวเลขที่ได้เป็นตัวเลขที่ใกล้เคียงกับระยะทางที่ดาวพุธ ดาวศุกร์ โลก ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี และดาวเสาร์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ (ในแผนภาพตัวเลขปรากฏเป็น 4, 7, 10, 18, 55, 100) แต่ไม่มีดาวเคราะห์ดวงใดที่ระยะ 28 กฎนี้ Johann Bode ได้แถลง (โดยไม่อ้างถึง Titius แม้แต่คำเดียว) ในนาม Bode’s law ความตื่นเต้นเกี่ยวกับกฎนี้ได้เกิดในปี 2324 เมื่อ William Herschel พบดาวยูเรนัสที่ระยะ 196 หน่วย ซึ่งตรงกับคำทำนายของ Titius พอดี
นักดาราศาสตร์ทั่วโลกจึงหันมาสนใจค้นหา ดาวเคราะห์ที่อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ที่ระยะ 28 หน่วย
และในวันที่ 1 มกราคม พ.ศ. 2344 นั้นเอง Guizeppe Piazzi ก็ได้พบดาวเคราะห์ที่หายไป ชื่อ Ceres ว่าโคจรอยู่ระหว่างดาวพฤหัสบดี กับดาวอังคารที่ตำแหน่ง 28 พอดี แต่ดวงดาวนี้
มีขนาดเล็กกว่าดาวเคราะห์อื่น ๆ มาก (Ceres มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 930 กิโลเมตร เส้นผ่าศูนย์กลางของโลกยาว 12,756 กิโลเมตร) เขาจึงเรียกมันว่า ดาวเคราะห์น้อย และทันทีที่พบนักดาราศาสตร์ก็ต้องคำนวณหาวงโคจรของมัน ก่อนที่ดาวเคราะห์น้อยที่เห็นได้ยากนี้จะ “หายตัวไป” ซึ่ง Gauss ก็ได้คิดเทคนิคการหาวงโคจร จากการรู้ข้อมูลไม่มาก โดยใช้วิธี least square fit และ Gaussian distribution และได้เสนอผลงานในปี 2344 เรื่อง Theory of the motion of the heavenly bodies revolving around the sun in conic sections ที่นักดาราศาสตร์ทั่วโลกยังใช้จนทุกวันนี้ นอกจาก Ceres แล้ว Gauss ยังได้คำนวณวิถีโคจรของดาวเคราะห์น้อยชื่อ Pallas ด้วย โดยพิจารณาแรงดึงดูดโน้มถ่วงของดาวพฤหัสบดีที่เข้ามารบกวน นอกเหนือจากแรงดึงดูดของดวงอาทิตย์ที่เป็นแรงหลัก ความสำเร็จนี้ได้ทำให้ Gauss ได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ดาราศาสตร์ และผู้อำนวยการแห่งหอดูดาวของมหาวิทยาลัย Gottingen และ Gauss ก็ได้ทำงานที่นี่ จนตลอดชีวิต
ในปี 2363 Gauss เริ่มสนใจปัญหาการหาสัณฐาน ขนาดและรูปร่างของโลก จนทำให้ต้องสร้างทฤษฎีของเส้นโค้ง วิธีวัดความยาวของเส้นโค้ง และรัศมีของเส้นโค้งนั้น ในการนี้ Gauss ได้ประดิษฐ์อุปกรณ์ helioscope ซึ่งทำหน้าที่สะท้อนแสงอาทิตย์ไปในทิศที่ต้องการ และด้วยเทคนิคตรีโกณมิติทรงกลม (spherical trigonometry) กับการใช้อุปกรณ์นี้ Gauss ได้รับแต่งตั้งให้เป็นที่ปรึกษาของรัฐบาลเยอรมันและเดนมาร์ก ในการสำรวจเมือง Hannover ผลงานการหาสัณฐานของโลกนี้ ยังชี้นำให้ศิษย์ของ Gauss ที่ชื่อ Bernhard Riemann พัฒนาวิชาเรขาคณิตที่มีมิติมากกว่า 3 ขึ้นในเวลาต่อมา
ในปี 2374 นักฟิสิกส์ชื่อ Wilhelm Weber ได้เดินทางมาร่วมทำงานกับ Gauss อย่างใกล้ชิดที่มหาวิทยาลัย Gottingen คนทั้งสองได้ร่วมกันศึกษาปรากฏการณ์แม่เหล็กโลก ผลงานนี้ทำให้
ทุกคนรู้ว่า สนามแม่เหล็กโลก เกิดจากเหล็กที่อยู่ใต้โลก และเพื่อเป็นเกียรติสำหรับผลงานนี้ หน่วยวัดความหนาแน่นสนามแม่เหล็ก จึงมีชื่อว่า gauss
ในด้านชีวิตส่วนตัว เมื่ออายุ 28 ปี Gauss ได้แต่งงานกับ Johanna Osthoff และมีลูก 2 คน เมื่อ Johanna เสียชีวิต Gauss รู้สึกเสียใจมาก แต่ก็ได้แต่งงานใหม่อีกกับ Friderica Waldeck และมีลูกอีก 3 คน คราวนี้ชีวิตสมรสไม่ราบรื่นเลย หลังจากคลอดลูกคนที่ 3 ภรรยาก็พิการ และตายในอีก 15 ปีต่อมา ส่วนบรรดาลูกชายของ Gauss ต่างก็ไม่ได้ทำให้พ่อภูมิใจเลย โดยคนแรกเป็นวิศวกร
ลูกชายคนที่สองและสามได้อพยพไปอเมริกาและมีความเห็นขัดแย้งกับพ่อในทุก ๆ เรื่อง แต่ลูกสาวได้ดูแลพ่อจนตลอดชีวิต
เมื่อภรรยาคนที่สองของ Gauss ตาย Gauss ขณะนั้นมีอายุ 54 ปี เริ่มปลีกตัวตัดขาดจากสังคม และมีอาการเศร้าซึมมากขึ้นจนเพื่อนที่มาเยี่ยมบอกว่า Gauss ชอบพูดแต่เรื่องในอดีต และเวลาใครเอ่ยว่า ขณะนี้วิชาคณิตศาสตร์ได้ก้าวหน้าไปไหนต่อไหนแล้ว Gauss ก็มักตัดบท โดยกล่าวว่า เขารู้เรื่องนั้นๆ ก่อนนี้นานแล้ว หรือเวลา Niels Abel ส่งวิธีพิสูจน์เรื่องการแก้สมการกำลังห้า
ว่าไม่มีสูตรสำเร็จมาให้ Gauss อ่าน Gauss ไม่ตอบจดหมายของ Abel เลย
ตามปกติ Gauss ไม่ชอบสอนหนังสือ และเป็นที่เลื่องลือว่าเป็นคนที่ถือตัวมาก และในความเป็นจริง Gauss มีเพื่อนไม่มาก คนที่สนิทก็เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีอายุน้อยกว่า เช่น Eisenstein, Dedekind, Mobius, Riemann และ Weber ซึ่ง Gauss ชอบพอเสมือนเป็นลูกในไส้ แต่ถึงจะชอบใครเพียงใด Gauss ก็ชอบทำงานคนเดียวมากกว่า สำหรับการสอนหนังสือนั้น สิ่งที่ Gauss สอนมักเป็นความรู้ขั้นต้นที่ไม่สัมพันธ์กับสิ่งที่ Gauss วิจัย ซึ่งเป็นความรู้ลึกและ Gauss ไม่ชอบให้นิสิตจดเลกเชอร์ แต่ให้ตั้งใจฟังมากกว่า (อ่านต่ออังคารหน้า)
สุทัศน์ ยกส้าน เมธีวิจัยอาวุโส สกว.
