xs
xsm
sm
md
lg

สรรพประโยชน์ของกฎกำลัง (Power Law)

เผยแพร่:   โดย: สุทัศน์ ยกส้าน



ยุคนี้ สมัยนี้ ถ้าใครมีโอกาสเดินเข้าไปในที่ทำงานของนักฟิสิกส์ เช่น Gene Stanley แห่งมหาวิทยาลัย Boston ในสหรัฐอเมริกา ก็อาจจะเห็นหนังสือหรือเอกสารที่เป็นงานวิจัย และบทความวิชาการที่มีเนื้อหาหลากหลายสาขา เป็นต้นว่า กลุ่มอาการของโรคหัวใจ คณิตศาสตร์การตลาด โครงสร้างโมเลกุลของน้ำตาล ปฏิกิริยาเคมีในกระบวนการย่อยอาหาร พฤติกรรมของไวรัส การสำรวจบ่อน้ำมันที่ขั้วโลก และการอพยพย้ายถิ่นของนก ฯลฯ ซึ่งในสายตาคนทั่วไป นี่คือห้องทำงานของคนที่สติแตก อีกทั้งเป็นคนจับจดที่ชอบอ่านหนังสือ และอ่านมากจนไม่มีเวลาจะลงลึกในเรื่องใด จึงทำอะไรๆ ก็ไม่สำเร็จหรือได้เป็นชิ้นเป็นอัน

แต่ในความเป็นจริง Stanley มิใช่นักวิชาการธรรมดา เพราะไม่ว่าจะอ่านเรื่องอะไร ก็จะเห็นช่องทาง ช่องว่าง หรือปัญหาที่นักวิชาการคนอื่นๆ ยังไม่ได้ทำ หรือทำไม่ได้ นั่นจึงเป็นโอกาสให้ Stanley สามารถนำความคิดและความสามารถของเขาเข้าไปแก้โจทย์ แล้วสร้างองค์ความรู้ใหม่ได้เรื่อยๆ

หลักการที่ Stanley ยึดมั่นเพื่อใช้แก้ปัญหาต่างๆ นั้น คือ “หลักของการเป็นอยู่อย่างกว้างขวาง” (principle of universality) หรือ PU ที่คนที่ไม่เป็นนักฟิสิกส์ ไม่รู้จัก แต่นักฟิสิกส์รู้จักดี และได้ใช้หลักการนี้ในการอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ตั้งแต่เหตุการณ์แผ่นดินไหว ทฤษฎีวิวัฒนาการของ Darwin ภาวะการณ์จราจรติดขัด การล้มละลายของธุรกิจ การล้มการปกครอง จนกระทั่งถึงการระบาดของโรค ฯลฯ

โลกมีปรากฏการณ์ง่ายๆ รูปแบบหนึ่งที่นักฟิสิกส์สามารถใช้เป็นตัวอย่างของการที่ธรรมชาติมี PU คือ เหตุการณ์แท่งแม่เหล็กดึงดูดคลิปกระดาษ ซึ่งถ้าแท่งแม่เหล็กได้รับความร้อน หรือถูกไฟลน จะเห็นได้ว่าภายในเวลาไม่นาน มันจะสูญเสียอำนาจแม่เหล็ก ซึ่งนักฟิสิกส์ก็อธิบายว่า การที่เป็นเช่นนั้นเพราะแท่งแม่เหล็กซึ่งประกอบด้วยอาณาบริเวณ (domain) ที่มีขนาดเล็กเท่าเม็ดทราย และภายใน domain มีแม่เหล็กขนาดจิ๋วอยู่มากมาย ที่อุณหภูมิปกติ เหล่าแม่เหล็กจิ๋วจะเรียงตัวอย่างเป็นระเบียบ คือ ขั้วเหนือของทุกแม่เหล็กจิ๋วจะชี้ไปในทิศเดียวกัน ความพร้อมเพียงเช่นนี้ ทำให้แท่งแม่เหล็กมีอำนาจแม่เหล็กสูง

แต่เมื่ออุณหภูมิของแท่งแม่เหล็กสูงขึ้น เพราะถูกเผา จนกระทั่งมีอุณหภูมิสูงกว่า 770 องศาเซลเซียส บรรดาแม่เหล็กจิ๋วที่อยู่ภายในแต่ละ domain จะมีพลังงานจลน์มากขึ้น การสั่นไหวของแม่เหล็กจิ๋วอย่างรุนแรง จะทำให้ทิศของมันสะเปะสะปะ คือไม่เป็นระเบียบ จนอำนาจแม่เหล็กลัพธ์หมดสิ้นไป นั่นคือ แท่งแม่เหล็กจะกลายสภาพเป็นเหล็กธรรมดาที่ไม่แสดงอำนาจแม่เหล็กเลย การเปลี่ยนแปลงสภาพของสสารจากแม่เหล็กเป็นเหล็กธรรมดา หรือ จากเหล็กธรรมดาเป็นแม่เหล็ก เป็นเหตุการณ์ที่นักฟิสิกส์เรียกว่า การเปลี่ยนเฟส (phase transition)

ปรากฏการณ์การเปลี่ยนแปลงเฟสนี้ สามารถพบเห็นได้ทั่วไป เช่น เวลาน้ำเหลวเปลี่ยนสถานะไปเป็นไอน้ำ ซึ่งเป็นแก๊ส หรือเวลาก้อนน้ำแข็งซึ่งเป็นของแข็ง ละลายในน้ำกลายเป็นน้ำเหลว หรือเวลาดีบุก ซึ่งเป็นตัวนำไฟฟ้าธรรมดาถูกทำให้มีอุณหภูมิต่ำถึง -270 องศาเซลเซียส มันจะกลายเป็นตัวนำยวดยิ่ง ปรากฏการณ์ทั้งหลายนี้เกิดจากความสามารถของโมเลกุลหรืออิเล็กตรอนที่มีอยู่ในสสาร ได้ “สื่อสาร” ถึงกัน แล้วปรับตัวจนทำให้เกิดความเป็นระเบียบในระบบ จากสภาพเดิมที่ไร้ระเบียบ และนี่คือสิ่งที่นักฟิสิกส์ได้ทุ่มเทความพยายามเพื่อศึกษามาเป็นเวลานานกว่าหนึ่งศตวรรษแล้ว

ในกรณีแท่งเหล็กที่มีอุณหภูมิใกล้ 770 องศาเซลเซียส อันเป็นอุณหภูมิที่แบ่งเขตแดนระหว่างความเป็นแม่เหล็กกับความไม่เป็นแม่เหล็ก เมื่อ domain ขนาดเล็กเริ่มจัดกลุ่ม เพื่อแสดงสมบัติความเป็นระเบียบ โดยการทำให้ทุก domain คล้ายคลึงกัน ไม่ใช่คล้ายกันในลักษณะทั่วไป แต่จะเหมือนกันทุกประการในเชิงคณิตศาสตร์ ทั้งๆ ที่แต่ละ domain มิได้เคลื่อนที่และมีอันตรกิริยาถึงกัน โดยใช้สนามแม่เหล็กที่มีในแต่ละ domain เป็นตัวเหนี่ยวนำในการทำให้เกิดความเป็นระเบียบ

ในปี 1970 Leo Kadanoff แห่งมหาวิทยาลัย Chicago ในสหรัฐอเมริกาได้พบความจริงนี้ว่า ในระบบที่กำลังจะมีการเปลี่ยนเฟส แม้ตามปกติอันตรกิริยาระหว่าง domain หรือ โมเลกุลจะเกิดขึ้นในช่วงระยะทางใกล้ๆ แต่เมื่อเกิดการเปลี่ยนแปลงเฟส อันตรกิริยาจะแผ่กระจายถึงกันไปทั่วสสารในทันที

ซึ่งหมายความว่า ที่จุดวิกฤต อันตรกิริยาระหว่างอิเล็กตรอน โมเลกุล อะตอม โมเมนต์แม่เหล็ก ฯลฯ จะทำให้อาณาบริเวณทุกส่วนของระบบยึดโยงถึงกัน โดยการก้าวข้ามไม่พิจารณารายละเอียดที่เกี่ยวกับโครงสร้างของสสารนั้นแต่อย่างใด เปรียบเสมือนกับการระบาดของโรค COVID-19 ซึ่งจะหนักหรือเบาเพียงใด ไม่ขึ้นกับตัวบุคคล แต่ขึ้นกับการติดต่อสัมผัสระหว่างคน และการติดต่อถึงกันนี้ยังขึ้นกับมิติของระบบด้วย เพราะใน 1 มิติ การติดต่อจะอยู่ในแนวเดียว แต่ใน 2 และ 3 มิติ การเชื่อมโยงสามารถเกิดขึ้นในหลายทิศทาง

ในกรณีโมเลกุลที่มีลักษณะเป็นทรงกลม ความเป็นระเบียบสามารถเกิดขึ้นได้ดีในทุกทิศทาง แต่ในกรณีแท่งแม่เหล็ก แม่เหล็กขนาดจิ๋วใน domain มีลักษณะเป็นท่อนๆ ความเป็นระเบียบจึงเกิดขึ้นได้ 2 ทิศทาง คือ ทิศเดียวกับท่อน และตั้งฉากกับท่อน สมมาตรจึงเป็นเงื่อนไขอีกหนึ่งประการที่ระบบจำเป็นต้องมี เวลาระบบจะเปลี่ยนเฟส เพื่อให้ทุกระบบมีพฤติกรรมที่คล้ายกัน แต่ไม่ว่าในลักษณะภายนอกระบบจะแตกต่างกันสักเพียงใด เมื่อ Stanley เริ่มศึกษาระบบแม่เหล็ก เขาก็ได้พบว่า ระบบอื่นๆ ก็มีพฤติกรรมที่คล้ายคลึงกัน เช่น การทำงานของเจ้าหน้าที่ในบริษัท หรือระบบเศรษฐกิจซึ่งต่างก็ต้องอาศัยบุคคลมาประกอบเป็นระบบ การบินอพยพของฝูงนก หรือการเคลื่อนที่ของกลุ่มแบคทีเรีย ก็ล้วนเป็นคนละเรื่องที่มีหลักการเปลี่ยนแปลงแบบเดียวกัน คือตามหลักของ PU ทั้งๆ ที่ธรรมชาติของนก ของแบคทีเรียและของคนไม่เหมือนกัน แต่ที่สำคัญคือ อันตรกิริยาระหว่างนก ระหว่างแบคทีเรียและระหว่างคน ซึ่งเป็นตัวกำหนดพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงของระบบ ขณะจะเกิดภาวะวิกฤต ที่สามารถเขียนเป็นสูตรหรือกฎได้ ในรูปของกำลัง เรียกกฎกำลัง (power law) เช่น ในระบบแม่เหล็กที่กำลังเปลี่ยนสภาพจากไม่เป็นแม่เหล็กไปเป็นแม่เหล็ก


ในปี 1995 Stanley ได้ศึกษาการเจริญเติบโตของบริษัทการผลิต และพบว่า เมื่อ 15 ปีก่อนบริษัทที่มีขนาดเล็กได้เติบโตจนเป็นบริษัทขนาดใหญ่ และจะเติบโตอย่างช้าๆ แต่ก็มีอนาคตที่มั่นคง ยิ่งกว่าบริษัทเล็ก ซึ่งหมายความว่า บริษัทเล็กอาจเติบโตขึ้น 2 หรือ 3 เท่า ภายในเวลา 1 ปี แต่ในปีต่อมาบริษัทเล็กก็อาจล้มละลายได้ ในขณะที่บริษัทใหญ่มีเสถียรภาพมากกว่า

การพบองค์ความรู้ใหม่ ที่ว่าอัตราการเจริญเติบโตของบริษัทลดตามขนาด เป็นเรื่องที่ขัดแย้งกับความเชื่อเดิมที่ว่า อัตราการเจริญเติบโตของบริษัทขึ้นกับเทคโนโลยีที่บริษัทใช้ในการผลิต

การค้นพบนี้ ได้ช่วยให้เราเข้าใจวิธีการจัดการขององค์การต่างๆ ด้วย เพราะตามปกติองค์การขนาดใหญ่มักประกอบด้วยองค์การเล็กๆ ที่มีระบบการทำงานเหมือนๆ กับองค์การใหญ่ และเพื่อจะได้เข้าใจว่าองค์การเล็กจำนวนมากนี้ประสานการทำงานกันได้ Stanley กับคณะ ได้สมมติรูปแบบการทำงาน โดยให้มีชั้นของการบริหารหลายระดับ และเวลาบุคคลในแต่ละระดับมีการตัดสินใจ บุคคลในระดับรองลงไป ก็จะได้รับผลกระทบในทันที แต่ก็ไม่จำเป็นว่าต้องปฏิบัติตาม 100% ดังนั้นในแบบจำลอง ของ Stanley จึงมี subservience parameter ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใช้แทนโอกาสที่ผู้อยู่ใต้บังคับบัญชาจะปฏิบัติตาม ถ้า subservience parameter = 0 นั่นแสดงว่า บริษัทอยู่ในสภาพจลาจล เพราะไม่มีใครรับ order จากใคร แต่ถ้า parameter = 1 นั่นแสดงว่าการปฏิบัติจะเป็นไปตามคำสั่งอย่างเคร่งครัด

ในสถานการณ์จริง subservience parameter จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0.7-.09 และตามปกติในบริษัทขนาดเล็ก คนที่มีพฤติกรรมต่อต้านจะมีผลกระทบต่อองค์การมากกว่า ในบริษัทขนาดใหญ่ จะอย่างไรก็ตามบริษัทก็ยังสามารถเติบโตได้ เพราะบริษัทมีระบบบริหารที่เป็นลำดับชั้น ให้คนบริหารในระดับล่าง รับคำสั่งจากผู้บริหารระดับบน แม้จะรับไม่หมด คือ ตั้งแต่ 75-80% ก็ตาม และนี่ก็คือหลักการทั่วไป ที่ใช้ในการบริหารองค์การ

ในขณะที่กฎกำลังได้ถูกนำไปใช้ในวงการธุรกิจ นักวิจัย เช่น Jean Carlson แห่งมหาวิทยาลัย California ที่ Santa Barbara ก็สนใจการใช้กฎกำลังศึกษาปรากฏการณ์แผ่นดินไหว ซึ่งเป็นไปตามกฎของ Gutenberg-Richter ที่แถลงว่า ภายในช่วงเวลาหนึ่ง จำนวนเหตุการณ์แผ่นดินไหวที่ปลดปล่อยพลังงาน E ออกมา จะแปรผกผันกับ E ยกกำลัง r เมื่อ r เป็นตัวเลข หรือ N(E) = B/E ยกกำลัง r ซึ่ง B เป็นค่าคงตัว ตามกฎนี้ แผ่นดินไหวที่รุนแรง (E มาก) จะเกิดขึ้นน้อย และแผ่นดินไหวที่รุนแรงน้อย (E น้อย) จะเกิดขึ้นบ่อย การสำรวจและวัดพลังงาน พร้อมจำนวนครั้งของเหตุการณ์แผ่นดินไหวที่เกิดขึ้น แสดงให้เห็นว่า กฎนี้ใช้อธิบายความเสียหายได้ดี ซึ่งเป็นการเน้นอีกครั้งว่า รายละเอียดของความเครียดที่เกิดจากการเลื่อนตัวของเปลือกทวีป มิได้มีบทบาทมากในการจุดชนวนให้เกิดเหตุการณ์แผ่นดินไหว

ด้าน Per Bak แห่ง Niels Bohr Institute, ที่กรุง Copenhagen ในประเทศเดนมาร์กก็ได้พบว่า เหตุการณ์สูญพันธ์ครั้งใหญ่ของสิ่งมีชีวิตมักเกิดไม่บ่อย ในทำนองเดียวกันกับเหตุการณ์แผ่นดินไหวที่รุนแรง นั่นคือ เป็นไปตามกฎกำลัง ซึ่งถ้าเขียนกราฟแสดงความถี่ของการสูญพันธุ์ครั้งใหญ่กับปริมาณของการสูญพันธุ์ กราฟที่ได้จะเป็นรูป hyperbola

ในความเป็นจริง นักวิทยาศาสตร์ เช่น นักฟิสิกส์ นักชีววิทยา นักอุตุนิยมวิทยา ฯลฯ ได้ใช้กฎกำลังมาเป็นเวลานานแล้ว แต่มักไม่รู้สาเหตุว่า เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น เช่น กฎของ Kepler ซึ่งแถลงว่า คาบ (T) ของการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ยกกำลังสอง แปรผกผันกับครึ่งหนึ่งของความยาวแกนหลักของวงรี (R) ยกกำลัง 3 คือ T = KR ยกกำลัง 3/2 เมื่อ K เป็นค่าคงตัว และ Isaac Newton คือผู้ที่สามารถอธิบายที่มาของสูตรนี้ได้ว่า เกิดจากการที่ดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ดึงดูดกันด้วยแรงโน้มถ่วงที่แปรผกผันกับระยะห่างยกกำลังสอง

สำหรับกฎการแผ่รังสีของ Stefan-Boltzmann ก็เช่นกัน คือเป็นไปตามสูตร E = σT ยกกำลัง 4 เมื่อ E คือพลังงานของรังสีที่วัตถุแผ่ออกมา T คืออุณหภูมิสมบูรณ์ของวัตถุนั้น และ σ คือค่าคงตัว Stefan สำหรับการอธิบายที่มาของสูตรกำลังนี้ นักฟิสิกส์ต้องใช้ทฤษฎีควอนตัมและหลักการของวิชา Statistical Mechanics

ในวิชาชีววิทยาก็มีกฎของ Kleiber ที่แถลงว่า อัตราการเผาผลาญพลังงานของสิ่งมีชีวิตขณะอยู่นิ่ง จะแปรโดยตรงกับมวลของสัตว์นั้น ยกกำลัง ¾ กฎกำลังนี้จึงแสดงให้เห็นว่า เพราะวาฬจะหนักประมาณ 10 ยกกำลัง 6 เท่าของหนู และช้างจะหนักประมาณ 10 ยกกำลัง 3 เท่าของหนู


นั่นคือ ในตัววาฬจะมีการเผาผลาญพลังงานมากประมาณ 180 เท่าของช้าง และในทำนองเดียวกัน แมวซึ่งหนักประมาณ 100 เท่าของหนูก็มีอัตราการเผาผลาญพลังงาน= 100 ยกกำลัง ¾ หรือประมาณ 32 เท่าของหนู


ประสบการณ์ที่ผ่านมาได้แสดงให้นักวิชาการเห็นว่า กฎนี้ใช้ได้ในหลายสถานการณ์ เช่น ใช้หาความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของหลุมอุกกาบาตบนดวงจันทร์ กับขนาดของหลุม ความรุนแรงในการระเบิดของภูเขาไฟกับจำนวนครั้งที่ระเบิด รวมถึงที่การมี กฎ Lotka, กฎ Pareto, กฎ Zipf และกฎ Gibrat

จากกฎของ Lotka ที่ตั้งตามชื่อของ Alfred Lotka ซึ่งแถลงเป็นตัวอย่างการใช้ว่า เปอร์เซ็นต์ของนักวิจัยที่ตีพิมพ์งานวิจัย x เรื่อง เป็นไปตามสูตร N(x) = A/x ยกกำลัง α เมื่อ A, α เป็นค่าคงตัว สูตรนี้แสดงให้เห็นว่า เมื่อจำนวนบทความวิจัยเพิ่ม จำนวนนักวิจัยที่ตีพิมพ์ได้ x บทความจะลด

ด้านกฎของ Zipf ที่ George Kingsley Zipf พบ ก็ได้แถลงเป็นตัวอย่างว่า จากคำต่างๆ ที่ใช้ในภาษาหนึ่ง ความถี่ของคำแต่ละคำที่ใช้ เป็นปฏิภาคผกผันกับลำดับของคำนั้นในตารางแจกแจงความถี่ เช่น ในภาษาอังกฤษ คำ “the” เป็นคำที่ใช้บ่อยที่สุด คือ 7% คำ “of” ใช้บ่อยเป็นที่สอง คือประมาณ 3.5% และคำ “and” จะใช้บ่อยเป็นลำดับที่สาม คือประมาณ 1.7%

กฎของ Zipf ยังสามารถใช้กับขนาดขององค์การและการจัดลำดับความถี่ของคนที่มีรายได้ได้ด้วย

ด้านกฎ Pareto ที่ตั้งตามชื่อของนักเศรษฐศาสตร์ ชื่อ Vilfredo Pareto ได้แถลงเป็นตัวอย่างว่า ในการวิเคราะห์พื้นที่การครอบครองของคนอิตาลีเมื่อปี 1896 เขาได้พบว่า 80% ของพื้นที่มีคน 20% เป็นเจ้าของ ตัวเลข 80/20 นี้ ยังสามารถใช้ได้ในการแข่งกีฬาและวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้วย

และสุดท้ายคือ กฎของ Gibrat ที่ Robert Gibrat พบ ซึ่งแถลงเป็นตัวอย่างว่า อัตราการเจริญเติบโตของบริษัท ไม่ขึ้นกับขนาดของบริษัท

ปัจจุบันนักวิจัยหลายคนกำลังใช้กฎกำลังนี้ ในการอธิบายพฤติกรรมของดาวนิวตรอน การจราจรที่ติดขัด การกัดเซาะชายฝั่ง การเฟ้อของเอกภพ การเป็นโรคอัลไซเมอร์ รวมถึงเหตุการณ์หิมะถล่มโดยไม่รู้ตัว ฯลฯ

จึงเป็นว่าเหตุการณ์ต่างๆ ทั้งหลายทั้งปวงในธรรมชาติเป็นไปตามกฎกำลัง กฎเดียว

อ่านเพิ่มเติมจาก “Concepts : Power Law” โดย Yaneer Bar-Yam จัดพิมพ์โดย New England Complex Systems Institute ปี 2015


สุทัศน์ ยกส้าน

ประวัติการทำงาน-ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย

อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" จาก "ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน" ได้ทุกวันศุกร์
กำลังโหลดความคิดเห็น...