xs
xsm
sm
md
lg

เรขาคณิตแบบ fractal ที่ B.B. Mandelbrot สร้าง

เผยแพร่:   โดย: สุทัศน์ ยกส้าน


เรขาคณิตที่เราเรียนในโรงเรียนเป็นวิชาที่นักคณิตศาสตร์เรียกเรขาคณิตแบบ Euclid (Euclidean geometry) ซึ่งเกี่ยวข้องกับสมบัติต่างๆ ของเส้นตรง วงรี พาราโบลา วงกลม ไฮเปอร์โบลา ทรงกลม กรวย รูปทรงสี่หน้า ลูกบาศก์ ฯลฯ แต่เมื่อประมาณ 40 ปีก่อนนี้โลกได้มีเรขาคณิตรูปแบบใหม่ที่เรียกว่า เรขาคณิตแบบ fractal (fractal geometry) ซึ่งใช้บรรยายรูปทรงของสิ่งต่างๆ ในธรรมชาติที่ผิว หรือขอบของสิ่งนั้นไม่เรียบคือ ขรุขระ เช่น ภูเขาซึ่งมิได้มีรูปทรงกรวย เมฆที่มิใช่เป็นทรงกลม ชายฝั่งทะเลที่มิใช่เป็นส่วนโค้งของวงกลม และรูปลักษณ์ของฟ้าแลบที่มิใช่เส้นตรง เป็นต้น

นักคณิตศาสตร์คนแรกที่บรรยายรูปทรงและลักษณะของเหตุการณ์ในธรรมชาติได้ คือ Benoit B. Mandelbrot และวิทยาการของ Mandelbrot ได้ถูกนำมาประยุกต์ใช้ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ ภาษาศาสตร์ ชีววิทยา แพทย์ศาสตร์ เคมี ฟิสิกส์ จักรวาลวิทยา โลกศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ ดาราศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ ศิลปะ และคณิตศาสตร์เอง

B.B. Mandelbrot เกิดเมื่อวันที่ 20 พฤศจิกายน ค.ศ.1924 ที่กรุง Warsaw ในโปแลนด์ บิดา-มารดา เป็นคนมีฐานะและได้รับการศึกษาดีจึงคาดหวังให้ Mandelbrot มีอาชีพเป็นอาจารย์มหาวิทยาลัยเท่านั้น แต่ถ้าจะเลือกอาชีพอื่น Mandelbrot จะต้องชี้แจงจนพ่อแม่พอใจ ในช่วงเวลานั้น กองทัพนาซีของเยอรมันกำลังเรืองอำนาจ เพราะครอบครัว Mandelbrot มีเชื้อชาติยิว ความหวาดกลัวที่จะถูกนาซีรังแก และทำร้ายได้ผลักดันให้ บิดาของ Mandelbrot ตัดสินใจ นำครอบครัวหนีไปปารีสในฝรั่งเศส แต่ก็กลัวว่านาซีจะตามมารังควานอีก จึงหนีต่อไปที่ Tulle ซึ่งเป็นเมืองเล็กๆ ที่อยู่ตอนกลางของประเทศ Mandelbrot จึงได้เริ่มเรียนหนังสือ ตลอดช่วงเวลาที่เกิดสงครามโลกครั้งที่ 2 Mandelbrot ต้องย้ายที่เรียนบ่อยและทำงานหาเงินด้วย เช่น เป็นพนักงานเลี้ยงม้า ประดิษฐ์ของใช้ในบ้านเพื่อขาย และเป็นพนักงานซ่อมทางรถไฟ เป็นต้น แต่ก็ยังใช้เวลาว่างอ่านหนังสือตลอดเวลาด้วยตนเอง

เมื่อสงครามโลกยุติ Mandelbrot เดินทางกลับปารีสและเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย Ecole Polytechnique ซึ่งเป็นสถาบันที่มีชื่อเสียงมาก แม้จะไม่ได้เรียนหนังสืออย่างต่อเนื่อง และไม่ได้เตรียมตัวพร้อมนัก แต่ Mandelbrot ก็สอบเข้าได้ และรู้สึกยินดีที่ได้เปลี่ยนสภาพจากนักเรียน “จรจัด” มาเป็นนิสิตวิชาเอกคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัยที่ดีที่สุดของประเทศ

ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 และ 20 พีชคณิตเป็นวิชาสำคัญและมีความเป็นนามธรรมมากที่สุด คือ แทบไม่มีใครสนใจว่า พีชคณิตมีความเกี่ยวข้องกับธรรมชาติอย่างไร ส่วนเรขาคณิตแบบ Euclid ก็เป็นวิชาที่ให้นักเรียนมัธยมเรียนเพื่อให้เป็นคนมีเหตุผล ซึ่งทำให้ Mandelbrot มีความเห็นว่า คณิตศาสตร์ที่เป็นไปในลักษณะนี้ เป็นวิชาที่แคบ และไม่ตื่นเต้นจึงมีความต้องการจะเห็นบทบาทของคณิตศาสตร์ที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น คือ ช่วยให้เข้าใจธรรมชาติที่ไม่เป็นระบบ หรือระเบียบ มากขึ้น หลังจากที่จบการศึกษาระดับปริญญาตรี และได้ทุนการศึกษาไปทำปริญญาโทที่ California Institute of Technology ในอเมริกา Mandelbrot จึงเรียนต่อในสาขาวิศวกรรมศาสตร์การบิน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในตัวกลางที่ปั่นป่วน รวมถึงได้เข้าเรียนชีววิทยาโมเลกุลจากกลุ่มวิจัยของ Max Delbuck (รางวัลโนเบลด้านสรีรวิทยาปี 1969) ด้วย

เมื่อสำเร็จการศึกษา Mandelbrot วัย 28 ปีได้เดินทางกลับปารีส และทำวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกที่มหาวิทยาลัยปารีส ซึ่งมีเนื้อหาที่แปลกแหวกแนวและแตกต่างไปจากวิทยานิพนธ์อื่นๆ ตรงที่ได้ศึกษากฎที่ใช้บรรยายความถี่ของคำต่างๆ ที่ใช้ในภาษา Mandelbrot ได้ความคิดนี้ หลังจากที่ได้อ่านตำราที่เขียนโดย George Zipf เรื่อง Human Behavior and the Principle of Least Effort ซึ่งกล่าวถึงกฏการแจกแจงความถี่ของพฤติกรรมมนุษย์ที่ไม่เป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบ Gauss ที่ตามปกติเป็นรูประฆังคว่ำอย่างสมมาตร

หลังจากที่ได้รับปริญญาดุษฎีบัณฑิต Mandelbrot รู้สึกอึดอัดใจที่จะวิจัยคณิตศาสตร์ต่อในลักษณะเดิมๆ ตามรูปแบบเก่าๆ ที่นักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศสนิยมทำ ที่ Mandelbrot คิดว่าเป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่ไม่มีทั้งชีวิตและจิตใจ จึงตัดสินใจไปอเมริกาเพื่อไปทำงานวิจัยที่บริษัท IBM ในหน่วย Research Center ในปี 1958 และพำนักที่นั่นเป็นเวลา 30 ปี เพราะที่นั่นให้เสรีภาพอย่างเต็มตัวในการทำงานตามที่หัวใจของ Mandelbrot เรียกร้อง

Mandelbrot ได้เริ่มศึกษาความแปรปรวนของตลาดหุ้น เพราะต้องการจะสร้างแบบจำลองคณิตศาสตร์ที่สามารถพยากรณ์การขึ้นๆ ลงๆ ของราคาหุ้นเป็นฟังก์ชันของเวลา และพบว่า ความแปรปรวนไม่มีรูปแบบที่แน่นอน คือ อลวนและอลหม่านมาก เช่นในบางเวลาราคาก็พุ่งขึ้นอย่างฉับพลัน และบางเวลาก็ดิ่งลงอย่างทันใด เพราะฉะนั้นกราฟการขึ้น-ลงของราคาหุ้นจึงมิได้เป็นเส้นโค้งที่เรียบ แต่มีการขึ้นๆลงๆ แบบขุรขระ และ Mandelbrot ได้พบว่าเมื่อ 20 ปีก่อนนั้น Ralph Elliott ได้เคยแสดงให้เห็นว่า การแปรปรวนรูปแบบนี้ จะซ้ำรอยเดิมไม่ว่าช่วงเวลาจะนานเพียงใด Mandelbrot จึงใช้ IBM คอมพิวเตอร์วิเคราะห์ข้อมูลราคาหุ้น และพบว่า รูปแบบของกราฟที่ปรากฏในช่วง 1 วัน “เหมือน” กับรูปแบบที่เกิดในช่วงเวลา 1 เดือน

หลังจากนั้นไม่นาน บริษัท IBM ได้ขอให้ Mandelbrot แก้ไขปัญหาการส่งสัญญาณคอมพิวเตอร์ไปตามสาย เพราะสัญญาณมักถูกรบกวนตลอดเวลาเสมือนมีคนแกล้ง และ Mandelbrot ก็ได้พบว่า ในการวิเคราะห์สัญญาณรบกวน (noise) อย่างละเอียด รูปแบบของสัญญาณรบกวน noise ประกอบด้วยการไม่มีอะไรรบกวนเลย ในช่วงเวลาหนึ่งกับช่วงเวลาที่มีสัญญาณรบกวนย่อยซึ่งมีขนาดเล็กลงไปอีก Mandelbrot จึงสรุปว่า กราฟการกระจายของสัญญาณรบกวนเป็นไปในแบบซ้ำเดิม นั่นคือ ไม่ว่าช่วงเวลาจะนานเพียงใด อัตราส่วนระหว่างช่วงเวลาที่มีสัญญาณรบกวนกับช่วงเวลาที่ปลอดสัญญาณรบกวนจะมีค่าคงตัวนั่นคือ สัญญาณรบกวนมิได้เกิดจากการกระทำของคน แต่เป็นความแปรปรวนที่มีในธรรมชาติ

การศึกษาธรรมชาติที่มีความซับซ้อนลักษณะนี้ทำให้ Mandelbrot มีความประสงค์จะใช้คณิตศาสตร์อธิบายเหตุการณ์ต่างๆ มากขึ้น

ครั้นเมื่อได้อ่านงานวิจัยของ Lewis F. Richardson เรื่องความยาวของเส้นพรมแดนระหว่างสเปนกับโปรตุเกส ซึ่งตำราภาษาสเปนและโปรตุเกสได้อ้างตัวเลขที่แตกต่างกันมาก และในกรณีของพรมแดนระหว่างเบลเยี่ยมกับเนเธอร์แลนด์ ความยาวของพรมแดนที่มีการวัดโดยคนบางก็แตกต่างกันถึง 20%

Mandelbrot จึงหันมาวิจัยเรื่องทำนองนี้บ้าง และตั้งชื่อผลงานว่า “How long in the coast of Britain?” เพื่อลงเผยแพร่ในนิตยสาร Science ในปี 1967 โดยการนำสมบัติความคล้ายเดิม และปริภูมิที่มีมิติเป็นเศษส่วนแบบ Hausdorff ในการบรรยายความยาวของชายฝั่งทะเลรอบเกาะอังกฤษ และพบว่า คำตอบขึ้นกับความยาวของไม้บรรทัดที่ใช้วัด เช่น ไม้บรรทัดที่ยาว 30 เซนติเมตรจะให้คำตอบมากกว่าไม้บรรทัดที่ยาว 1 เมตร และความยาวของฝั่งทะเลอาจจะมากถึงอนันต์ได้ ถ้าไม้บรรทัดมีขนาดเล็กลงๆ แต่ความจริงไม่เป็นเช่นนั้น เพราะความยาวของไม้บรรทัดถูกจำกัดด้วยขนาดของก้อนกรวดบนฝั่ง จากนั้น Mandelbrot ก็ได้ร่วมกับนักเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อให้สร้างรูปชายฝั่ง (ในจินตนาการ) ขึ้นมา หลายๆ รูปแบบ โดยการเปลี่ยนตัวแปรในโปรแกรม ซึ่งตัวเลขนั้นบ่งบอกความขรุขระของเส้นขรุขระที่เรารู้จักในนาม fractal curve

ในการคิดคำ fractal ขึ้นมาใช้นั้น Mandelbrot เล่าว่า เขาใช้พจนานุกรมภาษาละตินของลูกชาย และเห็นคำว่า fractus ซึ่งแปลว่าชิ้นส่วนที่ไม่สม่ำเสมอ รวมถึงคำกริยา frangere ที่แปลว่า แตก หลังการสมาสคำทั้งสอง Mandelbrot ก็ได้คำใหม่คือ fractal

แฟร็กตัล จึงเป็นรูปเรขาคณิตที่มีสมบัติสำคัญ ซึ่งเรียกว่าเหมือนตัวเอง (self-similar) ในระดับต่างๆ นั่นหมายความว่า การพิจารณากราฟของราคาหุ้นกับเวลา ถ้าลบหน่วยเวลาออกจากกราฟ จะไม่มีใครบอกได้ว่า กราฟดังกล่าวนั้นครอบคลุมเวลา 1 สัปดาห์หรือ 1 เดือนหรือ 1 ปี หรือในกรณีภาพใบเฟิร์นก็จะเห็นแขนงย่อยของใบเฟิร์นมีรูปร่างเหมือนตัวมันเอง แฟร็กตัลที่พบในธรรมชาติ นอกจากใบไม้แล้ว ยังมีเกล็ดหิมะ สายฟ้าแลบ และหลอดเลือดในร่างกาย ฯลฯ จนทำให้หลายคนคิดว่าพระเจ้าได้ทรงออกแบบให้ใบไม้เป็นเช่นนั้น เพราะต้นพืชจะได้รับประโยชน์สูงสุดจากแสงแดด และหลอดเลือดมีรูปแบบเช่นนั้น เพราะสามารถลำเลียงออกซิเจนไปสู่ส่วนต่างๆ ของร่างกายได้อย่างมีประสิทธิภาพสูงสุด

ในการกล่าวถึงที่มาของแรงดลใจที่ทำให้ Mandelbrot คิดเรื่องแฟ็รกตัล Mandelbrot บอกว่าได้ศึกษาคณิตศาสตร์ของ Felix Hausdorff, Paul Levy, Gaston Julia และ Pierre Fatou จนความคิดตกผลึก โดยเฉพาะจากรูปแบบเฉพาะของ Julia และ Fatou ที่อาศัยการทำซ้ำ (iteration) และมิติแบบ Hausdorff ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม วิทยาการ fracted geometry จึงบังเกิด

หลังจากนั้น การใช้ประโยชน์จากแฟร็กตัลก็ได้เป็นที่ยอมรับมากขึ้น นักออกแบบ graphic ใช้ fractal ในการสร้างภาพเสมือนจริงในภาพยนตร์และเกมคอมพิวเตอร์ โดยเริ่มจากรูปง่ายๆ แล้วทำซ้ำๆ จนได้ภาพที่ซับซ้อน ในภาพยนตร์ Return of the Jedi ใช้แฟร็กตัลสร้างภาพของผิวดวงจันทร์ Endor ในภาพยนตร์ Star TrekII : The Wrath of Khan ก็มีการใช้แฟร็กตัลเช่นกัน

ในด้านเทคโนโลยีสื่อสาร บริษัท Fractal Antenna System ในสหรัฐอเมริกาได้ออกแบบระบบสื่อสารไร้สาย โดยใช้วัสดุรับสัญญาณที่มีขนาดเล็ก แต่มีความยาวเส้นรอบรูปแบบแฟร็กตัลเพื่อให้การรับ-ส่งสัญญาณมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้น

ถึงวันนี้งานของ Mandelbrot ได้เข้ามามีบทบาทในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์แล้ว และโลกวิชาการได้ยอมรับและยกย่องเขา เช่น ในปี 1986 Mandelbrot ได้รับเหรียญ Franklin จากผลงาน fractal geometry ปี 1993 ได้รับรางวัล Wolf ด้านฟิสิกส์จากรัฐบาลอิสราเอล จากผลงานแฟร็กตัลเช่นกัน เพราะเขาได้ทำให้โลกเห็นธรรมชาติในรูปแบบใหม่

Mandelbrot เสียชีวิตเมื่อวันที่ 14 ตุลาคม ค.ศ.2010 สิริอายุ 86 ปี

เมื่อครั้งที่ให้สัมภาษณ์ผู้สื่อข่าวนิตยสาร New Scientist เมื่อปี 2004 Mandelbrot เล่าว่า

ในวัยเด็กเขาไม่เคยท่องสูตรคูณ และเมื่อได้รู้กฎของ Johannes Kepler เกี่ยวกับการโคจรของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรเป็นวงรีตามแบบคณิตศาสตร์ของกรีก จึงรู้สึกอยากจะสร้างคณิตศาสตร์รูปแบบใหม่ที่ไม่มีใครเคยสร้างมาก่อนบ้าง และพบว่าความรู้คณิตศาสตร์นั้นไม่มีวันตาย แม้บางหัวข้อจะมีอายุ 150 ปีก็ตาม ในขณะที่เรื่องทางฟิสิกส์ ถ้าไม่มีใครพูดถึง หรืออ้างถึงเลยในช่วง 100 ปี องค์ความรู้นั้นจะตายสนิท

Mandelbrot ยอมรับว่า ตนเองมีพรสวรรค์ในการเห็นสมการต่างๆ เป็นรูปทรงเรขาคณิต แต่คณิตศาสตร์มิใช่วิทยาศาสตร์ เพราะเป็นเพียงสิ่งที่วิทยาศาสตร์ใช้ในความพยายามจะเข้าใจธรรมชาติ ในขณะเดียวกันคณิตศาสตร์ก็มิใช่ศิลปะเหมือนภาพวาด ดนตรี หรือบทประพันธ์ แต่ Mandelbrot ก็สามารถนำคณิตศาสตร์ที่เรียก Mandelbrot set มาแสดงเป็นศิลปะในรูปแบบใหม่ ซึ่งประกอบด้วยจุดต่างๆ ในระนาบเชิงซ้อน เช่น กำหนดสูตรในการคำนวณเป็น

Zn+1 = Zn 2 + C

เมื่อ C เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ n เป็นเลขจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง ∞ ในการหา set ให้เริ่มจาก C และ Z1 ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนอะไรก็ได้ แล้วหา Z2 จาก Zn 2 + C จากนั้นนำ Z2 ที่ได้ไปแทนค่า ในสมการข้างบน ก็จะได้ Z 3 = Z2 2 + C
ไปเรื่อยๆ การ plot จุด Z ต่างๆ จะทำให้ได้ภาพ fractal

ก่อนเสียชีวิต Mandelbrot ได้ศึกษาระบบที่มีมิติเป็นลบ

เมื่อครั้งที่ผู้สื่อข่าวอ้างถึง Ludwig Boltzmann ว่า ได้จารึกสูตร S = k log W (เมื่อ S คือ entropy และ k คือค่าคงตัวของ Boltzmann และ W คือจำนวนสถานะที่เป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขว่า พลังงานทั้งหมดของระบบต้องมีค่าคงตัว) ผู้สื่อข่าวถามว่า บนป้ายหลุมฝังศพของ Mandelbrot จะจารึกอะไร Mandelbrot ได้ตอบว่า สำหรับของเขาเอง ให้เขียนว่า Mandelbrot set แม้จะมีสูตรสั้นๆ แต่มีความหมายและประโยชน์นานับประการ

อ่านเพิ่มเติมจาก The Fractal Geometry of Nature โดย B. Mandelbrot จัดพิมพ์โดย W.H. Freeman 1982

เกี่ยวกับผู้เขียน สุทัศน์ ยกส้าน

ประวัติการทำงาน-ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย

อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" จาก "ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน" ได้ทุกวันศุกร์


กำลังโหลดความคิดเห็น...