ในปี ค.ศ.1998 Thomas C. Hales นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยพิตส์เบิร์ก ในอเมริกาได้ทำให้โลกตะลึงด้วยการประกาศว่า เขาประสบความสำเร็จในการแก้โจทย์คณิตศาสตร์ที่ไม่มีใครสามารถแก้ได้นานถึง 387 ปีแล้ว โจทย์ดังกล่าวนี้ คือ วิธีที่จะจัดทรงกลมที่มีขนาดเท่ากันทุกลูก ลงในภาชนะให้ได้จำนวนมากที่สุดอย่างไร
วงการคณิตศาสตร์รู้จักโจทย์นี้ในนาม “ปัญหา Kepler” (Kepler conjecture) ตามชื่อของ โยฮันเนส เคปเลอร์ (Johannes Kepler) ผู้พบกฎการโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ใน ค.ศ.1611 เนื่องจาก Thomas Harriot ถามเคปเลอร์เกี่ยวกับปัญหาทำนองเดียวกันนี้ว่า จะมีวิธีจัดกระสุนปืนใหญ่ลงในเรืออย่างไร จึงจะคุ้มค่าที่สุด
ในหนังสือ The Six-Cornered Snowflake ของเคปเลอร์ เขาได้ตอบว่า วิธีที่แม่ค้าวางส้มเรียงกันในตลาดเป็นวิธีที่ดีที่สุด นั่นคือ เรียงเป็นชั้นๆ อย่างเป็นระเบียบ โดยในการจัดเรียงชั้นแรกให้วางส้มลูกหนึ่งลง แล้ววางส้มอีก 6 ลูกรอบๆ ให้แตะส้มลูกแรก จากนั้นก็วางส้มลูกอื่นๆ ลงไป โดยให้ผลส้มลูกหนึ่งแตะสัมผัสกับส้มอีก 6 ลูกทุกครั้งไป สำหรับส้มชั้นที่ 2 ให้วางผลส้มลงเหนือช่องว่างระหว่างส้ม 3 ลูก จากนั้นก็วางส้มลูกอื่นๆ ในทำนองเดียวกับชั้นแรก นี่รวมถึงการจัดวางส้มในชั้น 3, 4, 5 ... ต่อๆ ไปด้วย รูปแบบการจัดลักษณะนี้ นักคณิตศาสตร์เรียก การจัดแบบ face-centered cubic lattice (fcc) และได้คำนวณพบว่า ถ้ากล่องมีปริมาตร 100 หน่วย ปริมาตรของส้มทั้งหมดที่จัดแบบ fcc จะมีค่า p /(18)1/2= 74.05 หน่วย
แต่คำตอบของเคปเลอร์เป็นเพียงรูปแบบหนึ่ง เพราะวิธีการจัดส้มมีได้อสงไขยวิธี ทั้งที่เป็นระเบียบ และเป็นแบบสะเปะสะปะ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงยังไม่ยอมรับการคาดการณ์นี้ จนกว่าจะได้พิสูจน์อย่างไร้ข้อกังขาว่า รูปแบบอื่นๆ ทั้งหลายทั้งปวงนั้นต่างก็มีประสิทธิภาพในการจัดน้อยกว่าแบบ fcc ทั้งสิ้น นั่นคือ ส้มที่จัดรูปแบบอื่นจะมีปริมาตรทั้งหมดน้อยกว่า p /(18) หน่วยเสมอ
จากโจทย์ที่ดูง่าย แต่แก้ยากมากนี้ต้องใช้เวลานาน (เกือบ 4 ศตวรรษ) เพราะจำต้องพึ่งพาอาศัยคอมพิวเตอร์ จึงทำให้โทมัส เฮลส์ (Thomas Hales) สามารถพิสูจน์ได้ว่าในการจัดเรียงทรงกลมที่มีขนาดเท่ากันลงภาชนะ รูปแบบการจัดแบบ fcc มีประสิทธิภาพเหนือรูปแบบอื่นใดทั้งหมด
วิธีการพิสูจน์ของเฮลส์ในเรื่องนี้ต้องอาศัยเทคนิคคณิตศาสตร์ของ Lászlo Fejes Tóth ที่พบในปี 1953 เป็นหลัก และต้องใช้กระดาษถึง 250 หน้า เพื่อแสดงขั้นตอนการพิสูจน์ แต่กว่าวิธีพิสูจน์นี้จะเป็นที่ยอมรับ คณะกรรมการประเมิน 6 ท่าน ก็ต้องใช้เวลาตรวจสอบ พินิจพิเคราะห์แนวคิด วิธีทำ วิธีวิเคราะห์ การอ้างอิง เหตุผล และการสรุปทุกบรรทัด และเอกสารทุกหน้านานถึง 6 ปี จึงลงความเห็นว่า ถึงจะไม่ได้ตรวจสอบอย่างละเอียดทุกตัวอักษรและทุกสมการ แต่คณะกรรมการก็มั่นใจเกือบ 100 % ว่า วิธีพิสูจน์ของเฮลส์ “สมบูรณ์” ดังนั้นจึงประเมินให้ผลงานได้รับการตีพิมพ์เผยแพร่ในวารสารคณิตศาสตร์ชั้นนำของโลกชื่อ Annals of Mathematics ในปี 1998
ตามปกติหลังจากที่นักคณิตศาสตร์แก้โจทย์แล้ว เขาก็ต้องหาโจทย์ใหม่ที่แตกต่างจากเดิมเพื่อทำต่อ ดังนั้น เมื่อโทมัส เฮลส์ ได้บุกเบิกการวิจัยเรื่องการจัดเรียงวัตถุทรงกลมลงภาชนะแล้ว โจทย์วิจัยใหม่จึงเป็นไปในแนวการจัดวัตถุทรงกลม ทรงรี ทรงเหลี่ยม ทรงพีระมิด ฯลฯ ลงในภาชนะที่มี 3, 4, 5... n มิติ (เมื่อ n แทนจำนวนใดๆ) เพื่อดูว่าวิธีใดจะทำให้การจัดมีประสิทธิภาพสูงสุด รวมทั้งวิเคราะห์ด้วยว่า วิธีจัดแบบสะเปะสะปะที่เราใช้เวลาจะจัดเสื้อผ้าลงกระเป๋าเดินทางนั้น ดีกว่าหรือด้อยกว่าวิธีจัดที่เป็นระเบียบ เช่น ต้องหาวิธีจัดทรงกลมที่มี 3.5 มิติลงภาชนะที่มี 1,026 มิติให้ได้มากที่สุด เหล่านี้คือ โจทย์คณิตศาสตร์เกี่ยวกับการจัดวัตถุลงภาชนะซึ่งกำลังเป็นปัญหาร้อนปัญหาหนึ่งในโลกคณิตศาสตร์ปัจจุบัน
คนทั่วไปมักไม่มีปัญหาในการเข้าใจสิ่งของที่มี 3 มิติ (กว้างxยาวxสูง) แต่เมื่อพูดถึงทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษที่มี 4 มิติ สมองเริ่มมีปัญหาในการเข้าใจว่ามิติที่ 4 ของเวลาเข้ามาเกี่ยวข้องกับ มิติของระยะทางอย่างไร และนั่นก็คือเหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์เป็นเรื่องที่เข้าใจยาก ในปัจจุบันทฤษฎี string ของฟิสิกส์มี 10 มิติ และทฤษฎีสภาพนำยวดยิ่งมี 2 มิติ ความคิดเรื่องมิติ จึงเป็นเรื่องที่ทำให้หลายคนต้องคิดให้แตกฉาน
นักเรขาคณิตกรีกโบราณตระหนักดีว่า มนุษย์ดำรงชีวิตอยู่ในโลก 3 มิติ ซึ่งแสดงทิศซ้าย-ขวา, หน้า-หลัง และ บน-ล่าง แต่ไม่แสดงทิศ ซ้าย-ล่าง หรือ บน-หลัง
ครั้นเมื่อไอน์สไตน์ได้แสดงว่า เวลาก็มีบทบาทในการบรรยายธรรมชาติเช่นเดียวกับระยะทาง ดังนั้นเวลาจึงได้เข้ามาเป็นมิติที่ 4 และนั่นหมายความว่า คำว่า มิติ มิได้เกี่ยวข้องกับระยะทางเพียงอย่างเดียว แต่ใช้บอกจำนวนตัวแปรอิสระที่นักคณิตศาสตร์ต้องใช้ในกำหนดลักษณะและสมบัติของวัตถุ นับตั้งแต่นั้นมาความคิดเรื่องมิติก็แพร่หลายในหมู่นักวิชาการ เช่นว่า ดัชนี IQ มีหลายมิติ และระบบเศรษฐกิจของชาติมีพหุมิติ (multidimension) เป็นต้น
สำหรับนักคณิตศาสตร์ ผิวทรงกลมจะประกอบด้วยจุดต่างๆ ที่ทุกจุดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมเป็นระยะทางเท่ากันหมด และถ้ากำหนดแกนขึ้นมา 3 แกน ให้ตั้งฉากกันและกัน แล้วให้ x1, x2, x3 คือ พิกัดของจุดบนผิวทรงกลมที่มีรัศมี R ก็จะได้สมการของทรงกลมใน 3 มิติ เป็น x12+ x22+ x32 = R2
ในทำนองเดียวกัน ถ้ามีแกน 4 แกน ที่ตั้งฉากกันและกัน แล้ว x1, x2, x3, x4 คือ พิกัดของจุดบนผิวทรงกลมใน 4 มิติ และทรงกลมนั้นมีรัศมี R ก็จะได้ความสัมพันธ์ x12+ x22+ x32+ x42 = R2
ปัญหาที่นักคณิตศาสตร์สนใจคือ การหาประสิทธิภาพของการบรรทุกทรงกลมลงในภาชนะหลายมิติ คณิตศาสตร์ที่ “เหนือจริง” นี้ ใช่ว่าจะไร้ประโยชน์ เพราะนักวิชาการได้พบว่าปัญหานี้ มีความสำคัญต่อการเพิ่มประสิทธิภาพของระบบโทรคมนาคมอิเล็กทรอนิกส์และคอมพิวเตอร์
ในกรณีภาชนะ 1 มิติ เรารู้ว่าทรงกลม 1 ลูกจะมีเพื่อนทรงกลมที่อยู่ใกล้ที่สุด 2 ลูก และในภาชนะ 2 มิติ ทรงกลม 1 ลูก จะมีเพื่อนทรงกลมอยู่ใกล้ที่สุดได้ 6 ลูก และในภาชนะ 3 มิติ ทรงกลม 1 ลูก จะมีเพื่อนทรงกลมที่อยู่ใกล้มากที่สุดได้ 12 ลูก จำนวน 2, 6, 12 นี้ นักคณิตศาสตร์เรียก จำนวนจุมพิต (kissing number) และจำนวนนี้จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ถ้ามิติมีมากขึ้น เช่นในกรณี 7 มิติ จำนวนจุมพิตจะมีค่าระหว่าง 126 กับ 140 (ขึ้นกับวิธีจัด) ในกรณีภาชนะ 8, 24 มิติ จำนวนจุมพิตจะเท่ากับ 240 และ 196, 560 ตามลำดับ
ในวารสาร Annals of Mathematics ปี 2003 ฉบับที่ 157 Henrry Cohn และ Noam Elkies แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ได้รายงานการบรรจุทรงกลมลงในภาชนะ 8 มิติ และ 24 มิติ ว่าถ้าจัดเรียงทรงกลมในรูปแบบ E8 และแบบ Leech ตามลำดับ ทรงกลมในภาชนะจะอยู่กันอย่างหนาแน่นที่สุด
ส่วนแนวคิดเรื่องสุ่ม (random) หรือสะเปะสะปะนั้น เราคงเคยเห็นการยืนอัดแน่นของผู้โดยสารรถเมล์ หรือรถไฟใต้ดินในชั่วโมงเร่งด่วน การจัดคนหรือสิ่งของในลักษณะยัดทะนานนี้นักวิชาการเรียก อัดแน่นแบบสุ่ม (random close packing, rcp) ปัญหาที่นักคณิตศาสตร์สนใจ คือ วิธีการอัดแบบสุ่มนี้มีประสิทธิภาพสูงสุดเท่าใด
ในอดีตนักคณิตศาสตร์ได้เคยเทลูกปัด ลูกปิงปอง และลูกแก้ว ฯลฯ ลงในกล่องแล้วเขย่าเป็นเวลานาน ผลการทดลองปรากฏว่า ประสิทธิภาพในการอัดแน่นแบบสุ่มนี้มีค่าประมาณ 64% (วัดได้โดยการเทน้ำลงไปหลังจากการจัด จนน้ำเต็มภาชนะแล้วเทน้ำออก จากนั้นวัดปริมาตรน้ำที่ได้กับปริมาตรทั้งหมดก็จะรู้ประสิทธิภาพในการอัดแน่น) แต่เมื่อเขย่าภาชนะในลักษณะที่แตกต่างไป นักทดลองก็พบว่าประสิทธิภาพในการอัดแน่นอาจมีค่าได้สูงถึง 67% เมื่อคำตอบมีค่าแตกต่างเช่นนี้ ซัลวาโตร์ ทอร์ควาโต (Salvatore Torquato) แห่งมหาวิทยาลัยพรินซตัน จึงใช้วิธีจำลองสถานการณ์ด้วยคอมพิวเตอร์ (computer stimulation) เพื่อหาคำตอบสุดท้าย และได้พบว่า ปัญหานี้ไม่มีคำตอบที่แม่นตรง เพราะค่าที่ได้จะขึ้นกับความเร็วในการเททรงกลมลงภาชนะ และช่วงกว้างของจังหวะการเขย่าภาชนะ ฯลฯ
ดังนั้นทอร์ควาโตจึงเสนอแนวคิดใหม่ให้คนที่ศึกษาเรื่องนี้ได้คำตอบที่ตรงกัน นั่นคือ กำหนดสภาพแน่นแบบสุ่มมากที่สุด (maximally random jammed state) ว่าเกิดขึ้นเมื่อทุกทรงกลม ขยับเขยื้อนไม่ได้เลย จากนั้นก็ให้พิจารณาความไม่เป็นระเบียบของระบบเมื่อทรงกลมทุกลูกขยับเขยื้อนไม่ได้ และทอร์ควาโตก็ได้พบว่า ประสิทธิภาพของการอัดแน่นแบบสุ่มนี้มีค่า 64% ผลงานของคณะวิจัยนี้ปรากฏในวารสาร Physical Review Letters ฉบับวันที่ 6 มีนาคม ปี 2000
ในงานวิจัยของ Song, Wang และ Makse ที่ตีพิมพ์ในวารสาร Nature ฉบับวันที่ 453 ปี 2008 นักวิจัยทั้งสามได้พิจารณาการบรรจุทรงกลมในภาชนะด้วยวิธีสุ่ม แต่ไม่อัดจนทรงกลมขยับเขยื้อนไม่ได้ นั่นคือ อัดเป็นแบบหลวมๆ (random loose packing, rlp) ผลปรากฏว่า ประสิทธิภาพของการบรรจุที่มากที่สุดมีค่าประมาณ 55% และตัวเลขของค่าที่ได้ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานระหว่างทรงกลม และค่าเฉลี่ยของจำนวนจุมพิต
แม้การจัดทรงกลมเป็นปัญหาที่น่าสนใจ แต่ในชีวิตจริง สิ่งที่เราต้องการจัดเรียงมีรูปทรงไม่กลม คือ อาจมีหลายเหลี่ยมหรือเป็นทรงไข่ และตามปรกตินักฟิสิกส์มักคิดว่าถ้าสามารถแก้ปัญหาเกี่ยวกับทรงกลมได้ ปัญหาวัตถุรูปทรงอื่นก็จะแก้ได้ในทำนองเดียวกัน ดังนั้นนักฟิสิกส์จึงรู้สึกประหลาดใจมากเมื่อพบว่า ความจริงมิได้เป็นเช่นนั้นเลย
ในวารสาร Physical Review Letters ค.ศ.2004 ซัลวาโตร์ ทอร์ควาโต และคณะแห่งมหาวิทยาลัยพรินซตันในสหรัฐอเมริกา ได้ศึกษาการบรรจุลูกกวาดรูปทรงไข่ในภาชนะ และพบว่า ในกรณีที่ลูกกวาดเป็นทรงกลม ลูกกวาดจะเคลื่อนที่ออกทางข้าง เวลาถูกแรงกระทำในแนวที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และจำนวนจุมพิตเท่ากับ 12 แต่ถ้าลูกกวาดทรงรีแรงกระทำจากลูกกวาดอื่นๆ ที่สัมผัสติดกับลูกกวาดนี้จะกระทำในแนวไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของลูกกวาด ดังนั้นลูกกวาดจะหมุน และจะเลื่อน ด้วยเหตุนี้ในการที่จะให้ลูกกวาดทรงรีอยู่นิ่ง เราจำต้องมีลูกกวาดอื่นๆ จำนวนมากมาอยู่ใกล้เพื่อส่งแรงกระทำจนมันเลื่อนตำแหน่งหรือหมุนไม่ได้ และนี่ก็คือเหตุผลที่อธิบายว่าเหตุใดการบรรจุลูกกวาดทรงรีจึงมีประสิทธิภาพสูงกว่าการบรรจุลูกกวาดทรงกลม และทอร์ควาโตก็ได้พบว่า ประสิทธิภาพของการอัดแน่นแบบสุ่มของวัตถุทรงรีมีค่าเท่ากับ 77% (ประสิทธิภาพของการอัดแน่นแบบสุ่มของวัตถุทรงกลมคือ 64%) ผลที่ได้นี้ให้ข้อเสนอว่าเวลาบรรจุวัตถุลงในภาชนะหรือในห้องเก็บให้แน่นที่สุด ไม่ควรใช้วัตถุที่เป็นทรงกลมแต่ควรใช้วัตถุทรงอื่น เช่น ทรงรี สำหรับคนที่ชอบบริโภคลูกกวาด งานวิจัยนี้ก็ตอบคำถามได้ว่า เหตุใดเวลาหยิบลูกกวาดทรงรีในภาชนะจึงใช้เวลานานกว่าการหยิบลูกกวาดทรงกลมในถุงที่มีปริมาตรเท่ากัน และสำหรับคนที่กำลังลดน้ำหนักตัวและชอบกินลูกกวาด ก็ควรหาซื้อแต่ลูกกวาดทรงกลมเท่านั้น เพราะในถุงจะมีจำนวนน้อยกว่าลูกกวาดทรงรี
ในวารสาร Physical Review Letters (DOI: 10.1103/ PhysRevLett. 104.185501) Alexander Javshvili และ Paul Chaikin แห่งมหาวิทยาลัยนิวยอร์ก ได้รายงานว่า วัตถุทรงพีระมิด (tetrahedron) ที่มี 4 ผิว และผิวแต่ละด้านเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เวลานำมาใส่ในภาชนะแล้วเขย่า (คือ จัดแบบสะเปะสะปะ) จะอยู่กันอย่างหนาแน่นยิ่งกว่ากรณีวัตถุทรงกลม คือ ประสิทธิภาพในการจัดจะมากถึง 76% ของปริมาณภาชนะ ในขณะที่วัตถุทรงกลมถ้าถูกจัดแบบสะเปะสะปะ จะมีประสิทธิภาพในการจัดเพียง 64 % ของปริมาตรภาชนะเท่านั้นเอง และวัตถุทรงไข่ในการจัดรูปแบบสะเปะสะปะมีประสิทธิภาพในการจัดเพียง 73.5%
ผลงานวิจัยชิ้นนี้นอกจากจะทำให้เจ้าของร้านขายลูกกวาดต้องการลูกกวาดรูปทรงพีระมิด เพราะสามารถเทลงในภาชนะได้จำนวนมากกว่าลูกกวาดรูปทรงอื่นแล้ว ยังแสดงให้เห็นอีกว่าวัตถุทรงพีระมิด เวลาอยู่กันอย่างระเกะระกะจะแฝงตัวเข้ากันได้อย่างแน่นจนทำให้ความพยายามใดๆ ที่จะทำให้มันเลื่อนตำแหน่งเป็นไปได้ยากยิ่งกว่าวัตถุทรงกลม
ดังนั้นความรู้นี้จึงเป็นประโยชน์ต่อนักวัสดุศาสตร์ ในการออกแบบจานที่ตกไม่แตก โดยการนำผงเซรามิกที่เป็นเม็ดรูปทรง tetrahedron มาอัด แล้วเผาไฟ
ในปี 2008 Elizabeth Chen แห่งมหาวิทยาลัยมิชิแกน ได้แสดงให้เห็นว่า เธอสามารถบรรจุวัตถุรูปทรง tetrahedron ลงภาชนะได้อย่างแน่นถึง 77.8% และสถิตินี้ได้ถูกทำลายโดยทอร์ควาโตในเวลาต่อมา เพราะเขาได้แสดงให้เห็นว่าสถิติอัดแน่นสูงสุดสำหรับสำหรับวัตถุทรง tetrahedron ในการบรรจุแบบสุ่ม คือ 78.2%
งานวิจัยต่อไปในอนาคต คือ การจัดวัตถุรูปทรงอื่นๆ เช่น รูปทรง cuboctahedron ที่มี 14หน้า ซึ่งมีผิวเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 หน้า และสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้า ให้อยู่กันอย่างแน่นที่สุด และถ้าพบ นั่นก็คือ รูปทรงของลูกกวาดที่เจ้าของร้านอยากให้เป็น แต่คุณจะไม่มีวันพบลูกกวาดรูปทรงดังกล่าวในร้านขายลูกกวาดไม่ว่าจะเป็นร้านใดในโลก
อ่านเพิ่มเติมจาก Kepler’s Conjecture: How Some of the Greatest Minds in History Helped Solve One of the Oldest Math Problem in the World โดย George G. Szpiro จัดพิมพ์โดย Wiley, New York 2003
*********************
เกี่ยวกับผู้เขียน
สุทัศน์ ยกส้าน
ประวัติการทำงาน - ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์
ประวัติการศึกษา - ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ สุทัศน์ ยกส้าน ได้ทุกวันศุกร์
*********
สำหรับผู้สนใจต่อยอดความรู้ หนังสือ "สุดยอดนักผจญภัย" โดย ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน มีวางจำหน่ายแล้วในราคาเล่มละ 250 บาท
