Eric Temple Bell คือนักประวัติศาสตร์และนักคณิตศาสตร์แห่งสถาบัน California Institute of Technology ผู้ได้เคยพยากรณ์ว่า เมื่ออารยธรรมของมนุษย์ถึงจุดสิ้นสุด ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat (Fermat’s Last Theorem, FLT) ก็จะยังเป็นโจทย์คณิตศาสตร์โจทย์หนึ่งที่ไม่มีใครพิสูจน์ได้ แล้ว Bell ก็ได้ตายจากโลกไปในปี 1960 ถ้าเขามีชีวิตอยู่ต่ออีก 33 ปี เขาก็คงรู้สึกยิ่งกว่าตื่นเต้น และประหลาดใจสุดๆ เมื่อทราบว่า Andrew John Wiles แห่งมหาวิทยาลัย Princeton ได้ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ FLT เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน ค.ศ.1993
ทฤษฎีบทนี้เป็นของ Pierre de Fermat ทนายความชาวฝรั่งเศสผู้ถือกำเนิดในปี 1601 (ตรงกับรัชสมัยพระนเรศวรมหาราช) และใช้ชีวิตทำงานที่เมือง Toulouse ในยามว่าง Fermat จะทำตนเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น และค้นหาความรู้ด้วยการเขียนจดหมายติดต่อกับปราชญ์คณิตศาสตร์ ที่มีชื่อเสียงในสมัยนั้นเช่น Rene Descartes และ Blaise Pascal
ในปี 1636 เมื่อ Fermat ได้อ่านตำรา Arithmetic ของ Diophantus แห่งเมือง Alexandria ซึ่งได้เรียบเรียงตั้งแต่สมัยคริสต์ศตวรรษที่ 3 หนังสือเล่มนั้นไม่มีเนื้อหาใดที่เป็นเรขาคณิต ดังเช่น ตำราคณิตศาสตร์กรีกทั่วไป จะมีแต่โจทย์พีชคณิต และคำตอบเท่านั้น
เมื่อ Fermat อ่านไปๆ เขาได้จดบันทึกข้อคิดต่างๆ ของเขาลงบนกระดาษในเล่ม โดยเฉพาะบทที่เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน (Number Theory) เพราะ Fermat มิได้มีอาชีพเป็นนักคณิตศาสตร์ เขาจึงไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานวิจัยใดๆ แต่เป็นคนมีนิสัยชอบเขียนโจทย์และคำตอบลงในจดหมายแล้วส่งถึงเพื่อนฝูง หลังจากที่ Fermat เสียชีวิตในปี 1665 บรรดาลูกหลานของ Fermat จึงนำจดหมาย และเอกสารต่างๆ ออกเผยแพร่ เมื่อลูกชายของ Fermat ที่ชื่อ Samuel ตีพิมพ์ตำราชื่อ Arithmetica นักคณิตศาสตร์ทั้งโลกจึงรู้จักทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ที่แถลงว่า ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 0 (คือเลข 1, 2, 3, 4, ...) และ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 (คือเลข 3, 4, 5, ...) สมการ an + bn = cn จะไม่มีคำตอบ (นั่นคือ ถ้า a, b, c ต่างก็ > 0 และ n > 2 แล้ว แม้แต่พระพรหมก็หาคำตอบให้ a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มไม่ได้
นับตั้งแต่วันที่ Fermat ตั้งโจทย์นี้ (1636) จนกระทั่งถึงปี (1993) เป็นเวลา 357 ปี ก็ยังไม่มีใครพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้
จนกระทั่งถึงยุคของ A.J. Wiles ซึ่งหลังจากที่ได้พยายามพิสูจน์อยู่นาน 7 ปี เขาก็ทำได้สำเร็จ และหนังสือพิมพ์ The New York Times ได้พาดข่าวความสำเร็จนี้ในหน้าหนึ่งว่า “At Last, shout of Eureka! in Age – Old Math Mystery.”
A. J. Wiles เกิดเมื่อวันที่ 11 เมษายน ค.ศ.1953 ที่ Cambridge ในอังกฤษ บิดาเป็นอาจารย์สอนวิชาศาสนาที่มหาวิทยาลัย Oxford ในวัยเด็ก Wiles ไม่มีแววว่าจะเก่งคณิตศาสตร์เลย เขาเริ่มสนใจ FLT เป็นครั้งแรก เมื่อได้อ่านประวัติและเรื่องราวเกี่ยวกับโจทย์นี้ในหนังสือห้องสมุด และสะดุดใจที่นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ทั้งหลาย ไม่ว่าจะเป็น Carl Gauss, Leonhard Euler, David Hilbert, Auguste Cauchy และคนอื่นๆ อีกนับพันก็ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีนี้ได้ ตลอดเวลานานกว่า 300 ปีที่ผ่านมา
แม้จะมีอายุเพียง 10 ขวบ แต่ Wiles ก็รู้และเข้าใจว่า FLT ต้องการให้พิสูจน์อะไร เขาจึงสนใจหาวิธีพิสูจน์ทฤษฎีนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
ตลอดเวลาที่เรียนหนังสือตั้งแต่ระดับมัธยมศึกษา Wiles ครุ่นคิดแต่เรื่อง FLT และได้บอกครูที่สอนว่าต้องการจะเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกของโลกที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ แต่ครูที่หวังดี (มิใช่ครูอังคณา) ได้ขอให้เลิกล้มความตั้งใจนี้ เพราะเกรงว่า ศิษย์จะเสียเวลา เสียสมอง และเสียใจโดยใช่เหตุ
หลังสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัย Oxford ในวัย 21 ปี Wiles ได้ไปศึกษาต่อระดับปริญญาโทที่ Clare College แห่งมหาวิทยาลัย Cambridge โดยทำวิทยานิพนธ์เรื่อง Elliptical curve (เส้นโค้งนี้ไม่เกี่ยวกับวงรี แต่การมีชื่อเช่นนั้น เพราะเป็นโค้งที่มีสมการกำลังสามในรูป y2 = x3 + ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็ม และสมการนี้อาจจะมีคำตอบสำหรับ x, y ที่เป็นจำนวนเต็มหรือไม่มีก็ได้ ซึ่งเป็นเรื่องยากมากที่จะบอกได้) Wiles สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาโทเมื่ออายุ 24 ปี และปริญญาเอกในอีก 3 ปีต่อมา จากนั้นได้เดินทางไปอเมริกา เพื่อเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัย Princeton ในรัฐ New Jersey
Wiles เป็นคนที่ชอบความท้าทายทางสมองมาก เมื่อสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอก เขาจึงมีเวลาทำสิ่งที่ตนใฝ่ฝัน นั่นคือจะพิสูจน์ FLT ให้ได้ ซึ่งทฤษฎีนี้มีรูปแบบทำนองเดียวกับทฤษฎีของ Pythagoras ที่ว่า ถ้า a, b, c เป็นความยาวของด้าน 2 ด้าน ที่ประกอบมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากตามลำดับแล้ว เราจะได้ a2 + b2 = c2 เสมอ และสมการนี้ใครๆ ก็รู้ว่ามีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วนให้ a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
แต่ FLT กลับแถลงว่า กรณีสมการ a3 + b3 = c3 จะไม่มี คำตอบสำหรับ a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
สมการ a4 + b4 = c4 ก็ไม่มี a, b, c ที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกอีกเช่นกัน
พูดง่ายๆ คือ สมการ an + bn = cn โดยที่ n มีค่าตั้งแต่ 3 ขึ้นไปจะไม่มีค่า a, b, c ที่เป็นจำนวนเต็มบวกเลย
นักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง Fermat ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีนี้แต่ไม่มีใครทำได้ นักคณิตศาสตร์หลายคนคิดว่า ความน่าสนใจของโจทย์นี้ ส่วนหนึ่งเกิดจากการได้เห็น Fermat เขียนข้อความที่ขอบตำรา Arithmetic ว่าสามารถพิสูจน์ FLT ได้แล้ว แต่เนื้อที่ว่างบนกระดาษมีไม่เพียงพอจะแสดงวิธีพิสูจน์ทุกขั้นตอนให้เห็นได้
Wiles ได้ติดตามศึกษาประวัติความพยายามของนักคณิตศาสตร์ทุกคนตั้งแต่อดีต และพบว่าทุกเส้นทางที่ทุกคนใช้เป็นทางตัน เขาจึงต้องคิดหาวิธีใหม่
ในปี 1982 Gerhard Frey นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันแห่งมหาวิทยาลัย Saarland ได้เสนอข้อคิดว่า เส้นโค้ง elliptical curve ที่ไม่ให้คำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวก อาจใช้พิสูจน์ FLT ได้ โดย Frey ได้ความคิดนี้ จากคำคาดการณ์ของนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น 2 คน ชื่อ Yutaka Taniyama กับ Goro Shimura ซึ่งได้เสนอความคิดว่า elliptical curve มีความสัมพันธ์โดยตรงกับสมการบางรูปแบบในวิชาพีชคณิต (คำว่า “การคาดการณ์” ในวิชาคณิตศาสตร์ คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์คิดในใจ แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าจริง 100%)
ลุถึงปี 1986 เมื่อ Kenneth A. Ribet แห่งมหาวิทยาลัย California ที่ Berkeley ได้พิสูจน์ให้เห็นว่า ข้อสันนิษฐานของ Frey ถูกต้อง และเป็นจริง Wiles จึงให้ความสนใจวิธีพิสูจน์ของ Ribet และคิดต่อไปว่า ถ้าการคาดการณ์ของ Taniyama และ Shimura ถูกต้อง ทฤษฎี FLT ก็ถูกต้องเช่นกัน เพราะ FLT เป็นเพียงบทแทรกบทหนึ่งในการคาดการณ์ของ Taniyama และ Shimura ซึ่งเป็นหัวข้อหนึ่งในวิชา Arithmetic Algebraic Geometry
Wiles รู้สึกตื่นเต้นกับแนวคิดนี้มาก เมื่อพบว่า แทนที่จะพิสูจน์ FLT ตรงๆ เขาจะพิสูจน์คำคาดการณ์ของ Taniyama และ Shimura ว่าเป็นจริง และถ้าเขาทำได้ เรื่องนี้ก็จบ
Wiles จึงเริ่มพิสูจน์การคาดการณ์ ซึ่งก็ดูดี เพราะโจทย์วิจัยของเขาดูทันสมัย แทนที่จะพิสูจน์ FLT ซึ่งเก่าโบราณ และคิดว่า ถ้าเขาบอกใครว่า เขากำลังพิสูจน์ FLT ทุกคนก็จะคิดว่า เขากำลังจะฆ่าตัวตาย Wiles จึงเก็บความฝันความคิดทุกอย่างเป็นความลับ โดยไม่บอกให้บุคคลภายนอกรู้เลย ยกเว้นภรรยา (ซึ่งก็รู้เมื่อไปดื่มน้ำผึ้งพระจันทร์) และเพื่อนสนิทที่สุดของเขาเท่านั้น
ส่วนอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำให้ Wiles ตั้งใจทำงานเงียบๆ คนเดียวคือ การแข่งขันระหว่างนักคณิตศาสตร์ด้วยกัน เพราะถ้าเขาประกาศให้โลกรู้ ใครๆ ก็จะหันมาสนใจเขา และเป็นไปได้ว่านักคณิตศาสตร์บางคนอาจขอเข้ามาร่วมทำงานด้วย ซึ่งจะทำให้แนวคิดของ Wiles ไขว้เขว
ตลอดเวลา 7 ปีที่ Wiles ซุ่มเงียบเพื่อพิสูจน์ทฤษฎี FLT เขาได้ไปพักผ่อนกับภรรยา และลูกสาว 2 คนในบางโอกาส โดยทำงานสอนบ้างตามหน้าที่ แต่ไม่มีงานวิจัยตีพิมพ์เลย เพราะเขากำลังทุ่มเทชีวิตและจิตใจไปให้เรื่อง FLT แต่เพียงเรื่องเดียว และคิดว่าจะพิจารณาปัญหาในวงแคบก่อน ซึ่งถ้าเข้าใจถ่องแท้ ก็จะขยับขยายให้กว้างขึ้น จนเข้าใจปัญหาทั้งหมดในที่สุด
หลังจากที่ทำงานหนักตั้งแต่เช้ายันค่ำเป็นเวลา 7 ปี ลุถึงเดือนพฤษภาคม ค.ศ.1993 Wiles ก็รู้ว่าเขาได้ก้าวข้ามอุปสรรคด่านสุดท้ายแล้ว จึงกระซิบบอกภรรยาว่า เขาพิสูจน์ FLT ได้แล้ว และจะจัดสัมมนาวิชาการ 3 ครั้ง เพื่ออธิบายและบรรยายสิ่งที่เขาทำที่ Newton Institute ใน Cambridge
เพราะ Wiles ได้สาบสูญไปจากโลกคณิตศาสตร์เป็นเวลานาน ดังนั้นการออกมาปรากฏตัวในที่สาธารณะอีกครั้งหนึ่งจึงเป็นข่าวใหญ่สำหรับทุกคนในวงการ
ในการบรรยายครั้งที่ 1 และ 2 Wiles ไม่ได้เอ่ยถึง FLT เลย จนกระทั่งถึงการบรรยายครั้งสุดท้าย เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน ค.ศ.1993 Wiles จึงกล่าวสรุปว่า เขาพิสูจน์ FLT ได้แล้ว
แต่เมื่อ Nicholas M. Katz แห่งมหาวิทยาลัย Princeton ได้อ่านผลงานที่หนาร่วม 200 หน้าของ Wiles เขาได้พบจุดบกพร่องในวิธีพิสูจน์บางตอน ดังนั้น บทพิสูจน์ของ Wiles จึงยังไม่สมบูรณ์ 100%
เมื่อรู้ข้อบกพร่อง Wiles รู้สึกใจหายวาบ เขารู้สึกเสมือนตกอยู่ในเหตุการณ์เรือล่มเมื่อจอด แต่ก็ต้องแก้ไขวิธีพิสูจน์ที่ยังไม่สมบูรณ์นั้น โดยความร่วมมือกับศิษย์ที่เคยสอนชื่อ Richard Taylor อีก 18 เดือนต่อมา คือในวันที่ 19 กันยายน ค.ศ.1994 Wiles ได้เอ่ยบอกภรรยาว่า “I’ve got it, I think. I’ve found it.” ภรรยาถามกลับว่า “Got What?” Wiles จึงตอบว่า “I’ve found my proof. I’ve got it.”
Wiles จึงเรียบเรียงผลงานของตนเพื่อนำเสนอ โดยแยกเป็นสองส่วน งานวิจัยส่วนแรกเป็นของ Wiles แต่เพียงผู้เดียว และงานวิจัยส่วนที่สองเป็นของ Wiles กับ Taylor
ความสำเร็จที่สมบูรณ์ของ Wiles เป็นข่าวฮือฮาไปทั่วโลก และทำให้เขาเป็นเซเล็บของโลกในทันที หนังสือพิมพ์ The New York Times ได้สดุดีความสำเร็จของ Wiles ในหน้าหนึ่ง ส่วนนิตยสาร People ได้ยกย่องให้ Wiles เป็นอัจฉริยะที่น่าสนใจที่สุดคนหนึ่งของโลกประจำปีนั้น รายการโทรทัศน์ได้มาขอสัมภาษณ์ และสร้างละครเกี่ยวกับชีวิตของ Wiles หนังสือชีวประวัติของ Wiles ได้ออกมาวางขายหลายเล่มจน Wiles เป็นบุคคลคนหนึ่งที่คนทั่วโลกรู้จักดี (แต่ Yutaka Taniyama ไม่รู้เห็นเหตุการณ์นี้ เพราะได้ฆ่าตัวตายตั้งแต่ วันที่ 17 พฤศจิกายน ค.ศ.1958)
Wiles อธิบายว่า สาเหตุที่บรรดานักคณิตศาสตร์ในอดีต ไม่สามารถพิสูจน์ FLT ได้ เพราะไม่มีเทคนิคทางคณิตศาสตร์อย่างเพียงพอ แต่เมื่อถึงคริสต์ศตวรรษที่ 20 Wiles มีเทคนิคต่างๆ ที่พร้อมใช้ และ Wiles ยังได้เสริมว่า คำอ้างของ Fermat ที่ว่า มีวิธีพิสูจน์นั้นเป็นเรื่องไม่จริง และถ้า Fermat บอกว่ามีวิธีพิสูจน์จริง วิธีนั้นก็ผิด กระนั้น เราทุกคนก็ต้องยอมรับว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ได้ทำให้นักคณิตศาสตร์ทั้งโลกหัวหมุนอยู่นานกว่า 350 ปี
ณ วันนี้ Wiles ดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์คณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Princeton
สำหรับเกียรติยศที่ Wiles ได้รับนั้นมีมากมาย เช่น ในปี 1998 ได้รับโล่เงิน Fields เป็นกรณีพิเศษ (เพราะ Wiles มีอายุเกิน 40 ปี) ซึ่งเทียบเท่ารางวัลโนเบลสาขาคณิตศาสตร์จาก International Center for Mathematical Sciences และ International Mathematical Union และในปี 1998 ได้รับรางวัล King Faisal International Prize เป็นเงิน 200,000 เหรียญสหรัฐ นอกจากนี้ดาวเคราะห์น้อยดวงที่ 9999 ได้รับการตั้งชื่อว่า Wiles ด้วย
อ่าน The Fermat Diary โดย C. J. Mozzochi ที่จัดพิมพ์โดย American Mathematical Society ในปี 2000
*********************
เกี่ยวกับผู้เขียน
สุทัศน์ ยกส้าน
ประวัติการทำงาน - ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์
ประวัติการศึกษา - ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ สุทัศน์ ยกส้าน ได้ทุกวันศุกร์
