บทความเมื่อสัปดาห์ก่อนได้กล่าวถึงคุณูปการที่ "วิชาคณิตศาสตร์" มีต่อการพัฒนาวิทยาศาสตร์สาขาอื่นๆ มากมาย รวมถึงได้พัฒนาคณิตศาสตร์เองด้วย ทั้งๆ ที่ในเบื้องต้นโจทย์ต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์คิดขึ้น ดูเป็นเรื่องที่ไร้สาระ และไม่มีคุณค่าใดๆ นอกจากใช้ทดสอบสติปัญญาเท่านั้น เช่น ให้หาวิธีจัดทรงกลมที่มีขนาดเท่ากัน ลงในภาชนะสามมิติ โดยให้ทรงกลมเหล่านั้นอยู่กันอย่างหนาแน่นมากที่สุด และกำหนดให้คนที่เสนอความคิดเห็นจะต้องแสดงวิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ให้เห็นว่า จากรูปแบบที่เป็นไปได้ ซึ่งมีมากจำนวนนับอสงไขยรูปแบบ (ทั้งที่เป็นแบบสะเปะสะปะ และเป็นรูปทรงต่าง ๆ) ก็ได้มีการพบว่า การจัดรูปแบบที่แม่ค้าใช้ในการเรียงส้มขายในตลาดนั้น เป็นวิธีที่ดีที่สุด เพราะมีความหนาแน่นสูงสุด การพิสูจน์โจทย์ที่ดูง่ายเช่นนี้ ต้องใช้เวลานานกว่า 403 ปี จึงจะเป็นที่ยอมรับ
หรือโจทย์ x^n + y^n = z^n ซึ่งโลกรู้จักในนามทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat (1607-1685) ที่มีใจความว่า ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีค่ามากกว่า 2 จะไม่มีใครคนใดสามารถหาค่าของ x, y, z ที่เป็นจำนวนเต็มบวกมาแทนลงในสมการข้างบนนี้ได้เลย
ตั้งแต่ Pierre Fermat ตั้งทฤษฎีบทนี้ขึ้นมาในปี 1639 ทฤษฎีบทนี้ต้องใช้เวลานานถึง 357 ปี Andrew Wiles (1953 - ปัจจุบัน) จึงสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทนี้เป็นความจริงในปี 1994 ความยุ่งยากในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เกิดจากการที่นักคณิตศาสตร์จะต้องรู้ทฤษฎีคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมาก เช่น เส้นโค้ง elliptic (elliptic curve ที่มีสมการเป็น y^2 = x^3 + ax + b เมื่อ a และ b เป็นเลข), Frey curve, Ribet curve, การคาดการณ์ Taniyama-Shimura และ Weil curve จึงจะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ได้ นั่นหมายความว่าทฤษฎีบทนี้ได้เกิดขึ้นก่อนที่โลกคณิตศาสตร์จะมีเทคนิคที่ใช้ในการพิสูจน์ถึง 300 ปี
ทฤษฎีบทนี้ได้ถูกนำไปพัฒนาต่อยอดไปเป็น ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number theory), ring theory, ideal number theory เพราะ Andrew Wiles ได้นำคณิตศาสตร์สาขาต่างๆ มาบูรณาการเข้าให้เป็นหนึ่งเดียวอย่างมีเอกภาพ และเป็นทฤษฎีที่มีประโยชน์ยิ่งต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
โลกคณิตศาสตร์ยังมี วิชา quaternion ที่เกิดขึ้นจากความคิดของ William Rowan Hamilton (1805-1865) ซึ่งได้พยายามพัฒนาเวกเตอร์ (vector) ใน 3 มิติให้มี 4 มิติ และได้พบในเวลาต่อมาว่าวิชา quaternion นี้ สามารถใช้ในการพัฒนาเกมคอมพิวเตอร์ได้ ที่นักสร้างเกมได้ใช้คณิตศาสตร์ quaternion แสดงการเคลื่อนไหวของ Lara Croft (ซึ่งเป็นตัวเอกในภาพยนตร์เรื่อง Tomb Raider) แสดงการเคลื่อนไหวของเธอในลักษณะหมุนตัว (turn) เอียงตัว (tilt) และกลิ้งตีลังกา (roll) ได้อย่างแนบเนียน แทนที่จะใช้มุม Euler ในกลศาสตร์คลาสสิกแทนการหมุนตามแนวแกน x, y, z ซึ่งไม่สามารถจะหมุนได้ในหลายกรณีจะทำให้ติดบัค (bug) แต่ถ้าใช้ quaternion การเคลื่อนไหวของตัวละครในเกมจะไม่ติดบัค ดังนั้นทุกคนการเล่นเกมคอมพิวเตอร์โดยใช้ quaternion จึงสนุก และรู้สึกประทับใจในความเก่งของตัวละคร
ประเด็นที่น่าสนใจสำหรับเรื่องนี้ คือ การรู้ประวัติความเป็นมาของความคิดที่เกิดขึ้นในสมองของ Hamilton ซึ่งเป็นนักดาราศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักคณิตศาสตร์ชาวไอริช แห่งมหาวิทยาลัย Trinity College ณ กรุง Dublin ประเทศไอร์แลนด์ ขณะเดินข้ามสะพาน Brougham เมื่อวันที่ 16 ตุลาคม ปี 1843 เพราะเขาต้องการจะขยายความคิดเกี่ยวกับการใช้เวกเตอร์ใน 3 มิติ ที่มีรูปแบบเป็น
เมื่อ a, b, c, d เป็นจำนวนจริง และ I, j, k เป็นหน่วย
โดยที่ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
และ ij = k, jk = i และ ki = j
เมื่อ a, b, c, d เป็นจำนวนจริง และ I, j, k เป็นหน่วย
โดยที่ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1
และ ij = k, jk = i และ ki = j
Hamilton ยังได้ศึกษาสมบัติของ quaternion ว่า มีสมบัติด้านสังยุค (conjugate) q* = a – bi – cj – dk
และขนาดของ |q| = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^(1/2)
ตลอดจนถึงคำจำกัดความ inverse ของ q คือ q^(-1)
ปัจจุบัน คณิตศาสตร์ quaternion ซึ่งเป็นผลที่เกิดจากคณิตศาสตร์พีชคณิต เรขาคณิต และฟิสิกส์ จึงถูกนำไปใช้ในการพัฒนาหุ่นยนต์ (robotics), เทคโนโลยีการบินของยานอวกาศ, โดรน (drone), กระสวยอวกาศ (space shuttle), computer 3D graphics, gyroscope, accelerometer, 3D animation ฯลฯ และมีประโยชน์มากในธุรกิจ computer games ในปัจจุบัน
การพบคำจำกัดความและสมบัติของ quaternion ได้ทำให้ Hamilton รู้สึกตื่นเต้นมาก จึงใช้มีดสลักสมการต่าง ๆ ลงบนสะพานหิน และแผ่นหินที่มีรอยสลักโดย Hamilton ก็ยังมีปรากฏปรากฏอยู่บนสะพานจนทุกวันนี้
ในเวลาต่อมาทฤษฎี quaternion ก็ได้รับการพัฒนาต่อยอดโดย Peter Guthrie Tait (1831-1901) ซึ่งเป็นศาสตราจารย์ฟิสิกส์ แห่งมหาวิทยาลัย Edinburgh ในสกอตแลนด์ แต่ William Thomson (1824-1907) ก็ได้ปรารภว่า จะเขียนหนังสือเกี่ยวกับคุณประโยชน์ของ quaternion ร่วมกัน ภายใต้ชื่อเรื่องว่า “Treatise on Natural Philosophy” ในปี 1867 แต่จนแล้วจนรอด หนังสือเล่มนี้ก็ไม่ปรากฏ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าคนทั้งสองก็ยังไม่เห็นคุณค่าของ quaternion
จนกระทั่งถึงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 จึงได้มีการพบว่า เทคโนโลยีการสร้าง computer games จำเป็นต้องใช้ quaternion และสร้าง computer vision รวมทั้งการทำให้โปรแกรม graphic ต่างๆ ทำงานเร็วขึ้น ณ วันนี้ ธุรกิจ computer games มีมูลค่ามากมหาศาลถึง 260 พันล้านดอลลาร์
ข้อมูลเหล่านี้ทำให้เรารู้ว่า โลกต้องใช้เวลานาน จึงจะรู้คุณค่าของคณิตศาสตร์ในบางหัวข้อ เปรียบเสมือนกับการที่นักประดิษฐ์บางคนรู้จักประดิษฐ์สายไฟฟ้า ปลั๊กไฟฟ้า เต้าไฟฟ้า ทั้งๆ ที่ยังไม่มีไฟฟ้าในโลก ดังนั้นทุกคนจึงไม่เห็นประโยชน์ของสิ่งที่เขาประดิษฐ์ จนกระทั่ง Michael Faraday (1791-1867) พบไฟฟ้า โลกทั้งโลกก็สว่างไสวด้วยไฟฟ้าในทันที ข้อมูลประวัติศาสตร์ดังที่กล่าวมานี้ จึงทำให้เราเห็นได้ว่า การตั้งคำถามว่าสิ่งที่นักวิชาการสร้างหรือประดิษฐ์นั้นมีประโยชน์อย่างไร เป็นคำถามที่ถามก่อนกาลเวลาอันควร เพราะไม่มีใครสามารถตอบได้ เปรียบเสมือนการถามมารดาที่คลอดใหม่ ๆ ว่า ทารกคนนี้เกิดมาทำไม คำถามเช่นนี้นอกจากจะเป็นคำถามที่หยาบคาย แล้วยังแสดงให้เห็นว่า คนถามไม่มีวิสัยทัศน์ เพราะไม่มีใครจะสามารถตอบได้ว่า ทารกนั้นจะเติบโตเป็น Albert Einstein หรือ Adolf Hitler
ตัวอย่างคณิตศาสตร์อีกหนึ่งตัวอย่าง คือ ปฏิทรรศน์ของ Parrondo (parrondo’s paradox) ที่นำไปสู่วิทยาการการประกันภัย และระบาดวิทยา ฯลฯ ปฏิทรรศน์ที่มีชื่อเสียงในคณิตศาสตร์ คือ ปฏิทรรศน์ Zeno ที่ค้นพบโดย Zeno แห่งเมือง Elea (490-430 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งมีใจความว่า Achilles วิ่งแข่งกับเต่า ทั้งๆ ที่ Achilles วิ่งเร็วกว่าเต่ามาก แต่เขาก็ไม่มีวันวิ่งทันเต่า
Achilles เป็นวีรบุรุษกรีก ที่มีชื่อเสียงในตำนานสงครามกรุง Troy เพราะ Achilles วิ่งเร็วกว่าเต่า ดังนั้นจึงให้เต่าล่วงหน้าไปก่อน และ Zeno ก็ได้อภิปรายว่า เมื่อ Achilles วิ่งถึงตำแหน่งที่เต่าเคยอยู่ เต่าตัวนั้นก็ได้เดินทางไปไกลเป็นระยะทางช่วงหนึ่งแล้ว ดังนั้นเมื่อ Achilles วิ่งถึงตำแหน่งที่เต่าอยู่ในตำแหน่งนั้นอีก เต่าก็จะเดินไปได้อีกระยะทางหนึ่งแล้ว… เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ นั่นแสดงว่า Achilles จะไม่มีวันวิ่งทันเต่าเลย ซึ่งดูเป็นเรื่องที่ขัดกับตรรกะ และสามัญสำนึกทุกประการ
ความผิดพลาดในการวิเคราะห์ดังกล่าวนี้ เกิดจากการที่คนวิเคราะห์ไม่เข้าใจการบวกระยะทางที่มีจำนวนมากนับอนันต์ว่า สามารถจะมีค่าจำกัดได้ เช่น
สมมติว่า Achilles มีความเร็ว vA และเต่ามีความเร็ว vT โดยที่ vA > vT
สมมติให้จุดเริ่มต้น เต่าอยู่นำหน้า Achilles เป็นระยะทาง d และให้ Achilles วิ่งทันเต่าภายในเวลา t ดังนั้นเราก็จะได้สมการว่า
(t) vA = d + (t) vT
แสดงว่า t = d/(vA- vT)
เช่น สมมติให้ vA = 10 เมตร/วินาที vT = 1 เมตร/วินาที และ d = 100 เราก็จะได้ t = 100/(10-1) คือ 11.11 วินาที นั่นคือ Achilles วิ่งทันเต่าภายในเวลา 11.11 วินาที ที่เป็นค่าจำกัด มิได้มีค่าอนันต์ ดังที่สามัญสำนึกคิดไป ปฏิทรรศน์นี้เกิดจากสามัญความคิดที่ว่า การบวกจำนวนมากนับอนันต์ จะมีค่ามากเป็นอนันต์ด้วย
ปฏิทรรศน์ในวิชาคณิตศาสตร์ยังมีอีกมากมาย เช่น ปฏิทรรศน์ Parrondo ที่ Juan Manuel Rodríguez Parrondo แห่งมหาวิทยาลัย Madrid ในสเปน กับ Noel-Ann Bradshaw แห่งมหาวิทยาลัย Greenwich ในลอนดอน ประเทศอังกฤษ ได้พบในปี 1996 ซึ่งได้นำมาใช้ในทฤษฎีเกมในเศรษฐศาสตร์มาใช้เป็นกลยุทธ์ในการซื้อ-ขายหุ้น เพราะเขาได้พบว่า ถ้าใช้กลยุทธ์ 2 รูปแบบ เช่น กลยุทธ์ A กับกลยุทธ์ B ซึ่งถ้าใช้กลยุทธ์ A หรือกลยุทธ์ B แต่เพียงกลยุทธ์เดียวในการเล่น คนเล่นก็จะขาดทุนในระยะยาว แต่ Parrondo ได้พบว่า ถ้าใช้กลยุทธ์ A สลับกับกลยุทธ์ B ไป-มา ผลลัพธ์ในระยะยาวจะได้กำไร นี่จึงเป็นปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้นจริง ที่มีชื่อเรียกว่าปฏิทรรศน์ Parrondo เช่น
สมมติว่า กลยุทธ์ A เป็นหุ้นที่ต้องซื้อแบบสุ่มเสี่ยง
และกลยุทธ์ B เป็นกลยุทธ์ที่ซื้อแบบมีเงื่อนไขเช่นว่า ซื้อหุ้นตอนราคาตก และขายหุ้นตอนราคาขึ้น
ซึ่งกลยุทธ์ทั้งสองนี้มีโอกาสขาดทุนในระยะยาว
แต่ถ้าเล่นแบบ A และ B สลับกันไป-มา โอกาสการได้กำไรจะเกิดขึ้น
สาเหตุที่เป็นเช่นนี้ เพราะกลยุทธ์ A ช่วยปรับสถานะของตลาดหุ้น และ B ได้ฉวยโอกาสในการใช้สถานะที่ปรับเปลี่ยนนี้เป็นประโยชน์ในเวลาต่อมา
ปฏิทรรศน์ Parrondo ยังสามารถนำมาใช้ให้เป็นประโยชน์ได้ในการควบคุมปรากฏการณ์โกลาหล (chaos) โดยที่เหตุการณ์โกลาหลสองเหตุการณ์ ถ้ามารวมกัน สามัญสำนึกจะทำให้รู้สึกว่าความโกลาหลน่าจะมากเป็นทวีคูณ แต่ในความเป็นจริงเหตุการณ์ลัพธ์ในระบบควอนตัมที่มีขนาดเล็กมาก อาจจะทำให้ไม่มีเหตุการณ์โกลาหลได้ คือเป็นแบบ non-chaotic หรือเวลาเกิดโรคระบาดที่ร้ายแรง ทางการอาจจะมีมาตรการ A กักบริเวณใช้ชีวิตของคนทุกคน หรือมาตรการ B ที่จำกัดการเคลื่อนที่ของฝูงชนในกลุ่ม ดังนั้นถ้าใช้ A หรือ B ในระยะยาว น่าจะทำให้การระบาดหยุด แต่ความเป็นจริง การติดต่อระหว่างคนในสังคมจะทำให้ต้องใช้มาตรการ A และ B สลับกันไป จะทำให้การระบาดเกิดมากขึ้น
การใช้ Parrondo’s paradox ในศาสตร์ด้านระบาดวิทยา คือ ถ้าเรามีกลยุทธ์สองรูปแบบ ที่แต่ละกลยุทธ์ทำงานได้ไม่ดี ดังนั้นถ้าใช้กลยุทธ์วิธีหนึ่งวิธีใดเพียงวิธีเดียวก็จะได้ผลไม่ดี แต่ Parrondo แต่พบว่า ในเวลาต่อมาถ้าใช้กลยุทธ์ทั้งสองสลับกันไป-มา ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจะได้ผลดี
ดังนั้นในการควบคุมการระบาดของโรค การใช้นโยบาย A ควบคุมเพียงนโยบายเดียว จะเป็นวิธีที่ไม่มีประสิทธิภาพมาก หรือถ้าใช้นโยบาย B อีกหนึ่งวิธีเพียงอย่างเดียวก็ไม่มีประสิทธิภาพเช่นเดียวกัน แต่ Parrondo พบว่า ถ้านโยบาย A กับ B ร่วมกันโดยสลับกันไป-มาก็จะลดเหตุการณ์การระบาดได้ดี
ยกตัวอย่างเช่น กลยุทธ์ A ใช้มาตรการควบคุมระยะห่างระหว่างบุคคล (Social Distancing) เพียงอย่างเดียวไม่พอ หรือการใช้มาตรการ B มาตรการล็อกดาวน์ (Lockdown) คือ จำกัดกลุ่มคนเพียงบางส่วนก็เป็นมาตรการที่ไม่เพียงพอเช่นกัน เพราะแต่ละมาตรการไม่สามารถหยุดยั้งการระบาดได้ แต่ถ้าสลับการใช้มาตร A และ B ในทุกสัปดาห์ เหตุกาณ์ระบาดก็จะลดลงได้ ซึ่งไปเป็นตามพฤติกรรมแบบ Parrondo ว่า ผลกระทบของมาตรการใด ๆ เพียงมาตรการอย่างเดียวที่ไม่ดีนัก แต่ถ้านำมาตรการทั้งสองนั้นมาดำเนินการสลับกันไป-มา ก็จะมีประสิทธิภาพสูงขึ้น สาเหตุที่เป็นเช่นนี้เพราะประชากรในสังคมแต่ละกลุ่ม มีความไม่สม่ำเสมอ ทั้งในด้านอายุ และพฤติกรรมการใช้ชีวิต เช่น กลยุทธ์ A ทำงานไม่ได้ผลดีในกลุ่มคนที่ 1 และกลยุทธ์ B ทำงานไม่ได้ผลดีในกลุ่มคนที่ 2 ฉะนั้นถ้าใช้กลยุทธ์ A หรือ B เพียงอย่างเดียวการระบาดของโรคก็จะไม่มีวันหยุด แต่ถ้าใช้ข้ามกลุ่มระหว่างแบบ A กับ B ในระยะเวลาหนึ่งสัปดาห์ ผลสุดท้ายก็จะทำให้การระบาดลดลงได้
ตัวอย่างเท่าที่ผ่านมา เป็นการแสดงให้เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์ในการพัฒนาวิทยาสาขาอื่น ๆ แต่ในเวลาเดียวกัน วิทยาศาสตร์อื่นๆ เช่น ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ เคมี ชีววิทยา ธรณีวิทยา ฯลฯ ก็มีบทบาทในการพัฒนาคณิตศาสตร์ด้วย เช่น ปรากฏการณ์การเคลื่อนที่แบบ Brown
ในปี 1827 Robert Brown (1773–1858) ได้ใช้กล้องจุลทรรศน์ส่องดูละอองเรณูในน้ำ และเห็นละอองเหล่านั้นเคลื่อนที่ได้อย่างไม่รู้จักหยุดนิ่ง เหตุการณ์นี้ทำให้ใคร ๆ ในเวลานั้นคิดว่า ละอองเรณูเป็นสิ่งมีชีวิต และการไหลของของเหลวทำให้ละอองเคลื่อนที่
ในปี 1905 Albert Einstein (1879-1955) ได้เสนอทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบ Brown ว่า ในของเหลวมีโมเลกุลที่เคลื่อนที่ได้ในทุกทิศทาง และการชนในแต่ละช่วงเวลามีความไม่สมดุล ทั้งในด้านจำนวนและความรุนแรง อนุภาคจึงมีการเคลื่อนที่แบบเดินสุ่ม (random walk) ที่มีรูปแบบ zig-zag อนุภาคเหล่านี้มีขนาดเล็กระดับ micron (10^(-6) เมตร) และขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของสิ่งแวดล้อม เพราะถ้าอุณหภูมิสูง อนุภาคจะเคลื่อนที่เร็ว นอกจากนี้ก็ขึ้นอยู่กับความหนืดของอนุภาคขณะเคลื่อนที่ไปในของเหลวด้วย โดยอนุภาคจะไม่มีวันหยุดนิ่ง แม้กระทั่งอุณหภูมิเข้าใกล้ศูนย์ การกระจัดของอนุภาคขึ้นกับขนาดของอนุภาคและอุณหภูมิ
ตัวอย่างอื่นๆ จะได้กล่าวถึงในโอกาสต่อไป
อ่านเพิ่มเติม
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1. Batchelder, William H. (2015). "Mathematical Psychology: History". International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences. pp. 808–815. doi:10.1016/B978-0-08-097086-8.43059-X. ISBN 978-0-08-097087-5.
2. "Cliodynamics: a science for predicting the future" ZDNet. Archived from the original on December 29, 2022. Retrieved December 29, 2022
ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน - ราชบัณฑิตสำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์
ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ,นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน,ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์
