ปราชญ์กรีกตั้งแต่สมัยโบราณ เช่น Pythagoras (570–490 ปีก่อนคริสตกาล) แห่งเมือง Samos และ Aristotle (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) แห่งเมือง Stagira ได้เคยแถลงว่า สรรพสิ่งในธรรมชาติล้วนประกอบด้วย “ธาตุ” 4 ชนิด คือ ดิน น้ำ ลม และไฟ แต่ยังมีสิ่งหนึ่งที่เป็นพื้นฐานยิ่งกว่า สิ่งนั้น คือ จำนวน (number) ซึ่งบอกปริมาณมากหรือน้อยของสรรพสิ่งในเอกภพ
เวลากล่าวถึงจำนวนที่เราทุกคนรู้จัก เช่น 1, 2, 3, 4, 5,… นักคณิตศาสตร์เรียกจำนวนดังกล่าวนี้ว่า จำนวนธรรมชาติ (natural number) ซึ่งเป็นเลขจำนวนเต็มบวก ไม่รวมเลขศูนย์ หรือเลขลบ หรือเศษส่วน ฯลฯ จำนวนธรรมชาติจึงมีเป็นจำนวนมากนับอนันต์ (infinite) และอาจจะแบ่งออกได้เป็น 2 ชนิด คือ จำนวนเฉพาะ (prime number) กับจำนวนประกอบ (composite number)
ตามคำจำกัดความนี้ จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีค่ามากกว่า 1 และไม่มีจำนวนเต็มอื่นใดมาหารมันได้ลงตัว ยกเว้นเลข 1 กับตัวมันเองเท่านั้น ดังนั้นจำนวนเฉพาะที่เรารู้จัก 5 จำนวนแรก ก็ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11
ส่วนจำนวนประกอบนั้น เป็นจำนวนธรรมชาติที่ได้จากการคูณจำนวนเฉพาะ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป เช่น 4=2x7 และ 20=2x2x5 ดังนั้นจำนวนประกอบ 5 จำนวนแรก ก็ได้แก่ 4, 6, 8, 9, 10
ด้วยเหตุนี้ เราจึงเห็นได้ว่า อะตอมมีความสำคัญต่อวิชาวิทยาศาสตร์มากฉันใด จำนวนธรรมชาติก็มีความสำคัญต่อวิชาคณิตศาสตร์มากฉันนั้น
นับตั้งแต่อดีตเมื่อ 2,300 ปีก่อน นักคณิตศาสตร์กรีก Euclid (325-265 ปีก่อนคริสตกาล) ได้เคยพิสูจน์ให้ทุกคนประจักษ์ว่า โลกมีจำนวนเฉพาะมากนับอนันต์ คือ นับไม่ถ้วน
จวบจนถึงวันนี้และต่อไปในอนาคต ความน่าสนใจของคนทั่วไปในส่วนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะก็ยังมีอยู่อีกมากมาย เช่นว่า
1. จำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด คือ จำนวนอะไร
2. ถ้ากำหนดจำนวนตั้งแต่ 30 ถึง 50,000 มาให้ แล้วถามว่าในช่วงดังกล่าว จะมีจำนวนเฉพาะกี่จำนวน โดยไม่ใช้วิธีนับ ซึ่งใช้เวลานานมาก หรืออาจจะนับผิด แต่ให้ตอบโดยการใช้สูตรคำนวณ
และ 3. ถ้ากำหนดจำนวนที่มีค่ามากๆ มาให้ เช่น (2^43,112,609)-1 เราจะมีวิธีทดสอบรวดเร็วได้อย่างไรว่า จำนวนดังกล่าวข้างต้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
หน่วยงานในสังกัดโครงการ GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) ได้แถลงเมื่อวันที่ 23 สิงหาคม ปี 2008 ว่า จำนวน (2^43,112,609)-1 มีตัวเลข 12,978,189 หลัก โดยสามารถเขียนได้เป็นตัวเลขเรียงกัน ตั้งแต่ 3,164,702,693……………………..6,697,152,511 เป็นจำนวนเฉพาะจริง และเป็นจำนวนเฉพาะจำนวนแรกที่มีตัวเลขมากกว่า 10 ล้านหลัก
ส่วนคำถามอื่นๆ ที่น่าสนใจก็ยังมีอีกมากมาย เช่น จำนวนเฉพาะมีความสำคัญต่อชีวิตอย่างไร และนักคณิตศาสตร์มีสูตรสำเร็จที่ใช้ในการหาจำนวนเฉพาะหรือไม่
ในอดีต Pierre de Fermat (1601-1665) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ได้เคยเสนอสูตรสำเร็จ ที่เป็นที่รู้จักในนามจำนวน Fermat (Fermat number) ซึ่งมีสูตรว่า
ด้าน Marin Mersenne (1588-1648) ซึ่งเป็นนักบวชชาวฝรั่งเศส แต่สนใจวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย ก็ได้เสนอสูตรสำเร็จอีกสูตรหนึ่งในการหาจำนวนเฉพาะเช่นกันว่า จำนวน Mersenne (Mersenne number) สามารถจะหาได้จากสูตร
M_n=2^n-1
โดยที่ถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว M_n ก็จะเป็นจำนวนเฉพาะด้วย โดย Mersenne ได้แถลงสูตรนี้ในปี 1644 โดยให้ n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127, 257
ในความเป็นจริง จำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2…………..257 มีทั้งหมด 44 จำนวน
โดย Mersenne ได้แบ่ง 44 จำนวนดังกล่าวออกเป็น 2 กลุ่ม คือ
กลุ่ม A จะมี 12 จำนวน ได้แก่ M_2, M_3, M_5, M_7, ……...M_67, ……. M_127 เป็นจำนวนเฉพาะ
และ กลุ่ม B จะมี 32 จำนวน ได้แก่ M_11, ……………… M_257 เป็นจำนวนประกอบ
แต่ในปี 1903 Frank Nelson Cole (1861-1926) ได้แสดงให้เห็นว่า M_67 ที่ Mersenne เสนอแนะว่าเป็นจำนวนเฉพาะนั้น อันที่จริงแล้ว มันเป็นจำนวนประกอบ
โดย Cole ได้นำเสนอผลงานนี้ในหัวข้อ “การแยกแฟกเตอร์ของเลขจำนวนมาก” (On the factoring of large numbers) ในที่ประชุมของ American Mathematical Society เมื่อเดือนตุลาคม ปี 1903
ในการประชุมครั้งนั้น Cole ซึ่งตามปกติเป็นคนขรึม ที่พูดน้อย ได้เดินไปที่กระดานดำ โดยไม่พูดอะไรแม้แต่คำเดียว แล้วเริ่มเขียนสูตรของจำนวน Mersenne
M_67 = (2^67)-1
โดยได้แสดงการคูณเลข 2 ซ้ำ ๆ กัน 67 ครั้ง แล้วลบออกด้วย 1 แล้วเขียนคำตอบสุดท้ายลงบนกระดานดำทางด้านซ้าย
จากนั้นก็ไม่พูดอะไรอีก แล้วเดินไปแสดงการคูณเลขสองจำนวน คือ 193,709,721x761,838,257,287 อย่างเต็มยศ ลงบนกระดานดำทางด้านขวา โดยไม่ใช้คอมพิวเตอร์ช่วยในการคูณ (เพราะในสมัยนั้นยังไม่มีคอมพิวเตอร์ใช้)
ผลปรากฏว่า ตัวเลขบนกระดานทั้งสองข้างเท่ากันพอดิบพอดี เมื่อ Cole เขียนผลคูณเสร็จ ทุกคนในที่ประชุมได้ลุกขึ้นยืนปรบมือ ด้วยความชื่นชม นั่นเป็นการนำเสนอผลงานครั้งแรกและครั้งเดียวในประวัติศาสตร์การประชุมคณิตศาสตร์ ที่ไม่มีการพูดและไม่มีการถามอะไรแม้แต่คำเดียว
เพราะคำตอบที่ Cole แสดงให้เห็นนั้นแสดงว่า การคาดการณ์ของ Mersenne ไม่ถูกต้อง เพราะแม้ 67 จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ตาม แต่ 2^67-1 ก็มิใช่จำนวนเฉพาะ และ Cole ก็ได้รายงานว่า เขาใช้เวลาในการพิสูจน์เรื่องนี้เป็นเวลา 3 ปี
ในปี 1950 ได้มีการทดสอบพบว่า M_8,191 เป็นจำนวนประกอบ
แม้ว่า 8,191 จะเป็นจำนวนเฉพาะก็ตาม และการคำนวณครั้งนั้น ต้องใช้คอมพิวเตอร์ธรรมดาคำนวณเป็นเวลานานร่วม 100 ชั่วโมง
ถึงปี 1961 นักคณิตศาสตร์ชื่อ Alexander Hurwitz (1937-ปัจจุบัน) จากมหาวิทยาลัย California ที่ Los Angeles ได้พบว่า M_4,253 เป็นจำนวนเฉพาะ ที่มีตัวเลขมากกว่า 1,000 หลักขึ้นไปเป็นครั้งแรก โดยใช้ computer IBM 7090 และใช้เวลาเพียง 50 นาที
สถิติโลกของจำนวน Mersenne ที่มีค่ามากที่สุดได้เกิดขึ้นเมื่อวันที่ 12 ตุลาคม 2024 โดยผู้พบ คือ Luke Durant แห่งบริษัท NVIDIA กับคณะ ที่ได้พบจำนวน Mersenne ลำดับที่ 52 (M_52) ซึ่งมีค่ามากที่สุด และในเวลาเดียวกันก็เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดด้วย
จำนวน M_52 คือ (2^136,279,841)-1 ซึ่งประกอบด้วยตัวเลข 41,024,320 หลัก ผลงานนี้เป็นส่วนหนึ่งของโครงการ GIMPS ดังนั้น M136,279,841 จึงครองสถิติการเป็นจำนวน Mersenne ที่มีค่ามากที่สุดในโลกในปัจจุบัน
ข้อมูล ณ วันนี้จึงแสดงให้เห็นว่า โลกยังไม่มีสูตรสำเร็จที่ใช้หาจำนวนเฉพาะ และจำนวน Mersenne ที่มากที่สุด เพราะอุปกรณ์ที่ใช้ในการหาก็คือ ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ ยังไม่มีประสิทธิภาพสูงมากนัก และนักคณิตศาสตร์กับนักคอมพิวเตอร์ศาสตร์ก็ยังต้องมีความสามารถเพิ่มขึ้นอีกมาก รวมทั้งความสำเร็จในการหาต้องการความมีโชคดีด้วย
แต่ในอนาคต เราอาจจะต้องใช้ AI, ML (Machine Learning) และควอนตัมคอมพิวเตอร์ช่วยอย่างแน่นอน
คำถามอีกประเด็นหนึ่งที่น่าสนใจ คือ บุคคลประเภทใดที่สนใจและหมกมุ่นกับการแก้โจทย์ประเภทนี้ได้เป็นเวลานานหลายปี เพราะผลตอบแทน (คือ ทำได้สำเร็จ) ก็จะได้เพียงชื่อเสียงให้กับตนเองและประเทศชาติ แต่จะไม่ได้เงินทองกองโตอะไรเลย แต่ถ้าทำไม่ได้ คือ หาจำนวนมากที่สุดไม่ได้ เขาก็จะได้ผลตอบแทนเหมือนกัน คือ ได้พยายามและได้ความผิดหวัง
Marin Mersenne เกิดเมื่อวันที่ 8 กันยายน ปี 1588 ที่เมือง Oizé รัฐ Maine ในประเทศฝรั่งเศส และเสียชีวิตเมื่อวันที่ 1 กันยายน ปี 1648 ที่ปารีส
ณ วันนี้โลกรู้จัก Mersenne ว่า เป็นผู้ที่ทำหน้าที่ประสานงาน และความคิดอ่านของบรรดานักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ ผู้มีชื่อเสียงมากในสมัยนั้น (Galileo Galilei, John Pell, Christiaan Huygens, Evangelista Torricelli, René Descartes, Blaise Pascal, Thomas Hobbes, Pierre Petit ฯลฯ) เพื่อให้วิทยาศาสตร์ก้าวหน้า (ทั้ง ๆ ที่ตนเป็นเพียงนักบวช) และได้มาทำงานร่วมกัน (โดยใช้จดหมาย) ซึ่งการกระทำนี้ ได้ชักนำให้เกิดสมาคม Royal Society of London ของอังกฤษ และ Academy of Sciences ของฝรั่งเศส ในอีก 20 ปีต่อมา หลังจากที่ Mersenne เสียชีวิตไปแล้ว
ส่วนโลกคณิตศาสตร์ก็ระลึกถึง Mersenne ได้ว่า เป็นผู้ที่เสนอจำนวน Mersenne ซึ่งเสนอวิธีค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามาก ให้นักคณิตศาสตร์บางคนได้มีงานทำ และให้ทุกคนได้เห็นการทำงานร่วมกันระหว่างนักวิชาการกับเครื่องจักรกล
Mersenne เกิดในครอบครัวที่ยากจน แต่ก็สนใจการแสวงหาความรู้มาตั้งแต่เด็ก แม้ฐานะของบิดาจะไม่อำนวยในการให้เข้าเรียน แต่บิดาก็ได้ส่ง Mersenne เข้าเรียนที่โรงเรียนสอนศาสนาในเมือง La Flèche เพราะต้องการให้ Mersenne บวช แต่ Mersenne ต้องการจะเรียนปรัชญาและภาษา จึงตามใจบิดา โดยไปเรียนวิชาเทววิทยาที่มหาวิทยาลัย Sorbonne และสำเร็จการศึกษาเมื่ออายุ 23 ปี และได้เป็นคนดีที่บิดาต้องการ ด้วยการออกบวช
เมื่ออายุ 35 ปี Mersenne ได้เริ่มดำเนิชีวิตเป็นนักเคลื่อนไหวที่ต่อต้านคนไร้ศาสนาและคนที่เชื่อในไสยศาสตร์ เพราะในเวลานั้นประเทศฝรั่งเศสกำลังมีการต่อสู้กับลัทธิมนต์ดำ การล่าแม่มด และการเชื่อหมอผี Mersenne จึงเริ่มเขียนบทความเผยแพร่ในสื่อต่าง ๆ ให้สังคมเข้าใจความจริงทางวิทยาศาสตร์ และให้หันมาสนใจความคิดของ Galileo ที่ได้ปฏิเสธความเชื่อต่าง ๆ ของปราชญ์ในสมัยโบราณ จากการที่สังคมในสมัยนั้นได้เชื่ออะไรต่าง ๆ ตามคำสอนของ Aristotle หมด
แต่ในที่สุด Mersenne ก็ได้หันมาสนับสนุนความคิดของ Galileo และเชื่อเหมือน Galileo ว่า ถ้าโลกไม่มีคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ก็จะไม่บังเกิด และวิทยาศาสตร์จะเติบโตได้ ความคิดทางศาสนา (ในบางประเด็น) ก็จะต้องตาย เพราะหนทางเดียวที่มนุษย์จะเข้าใจพระทัยของพระเจ้าได้ก็คือ ต้องเข้าใจวิทยาศาสตร์
ในเวลานั้น กรุง Paris กำลังเป็นศูนย์รวมของบรรดานักวิชาการทั่วยุโรป โดยมีปราชญ์ เช่น Descartes, Jan Baptista van Helmont, Fermat, Pascal, Hobbes ฯลฯ มาสนทนาวิชาการกัน มาวางแผนการทดลองด้วยกัน การพบปะกันทุกสัปดาห์ทำให้หลายคนเรียกการประชุมพบปะครั้งนั้นว่า Academie Mersenne ตามชื่อผู้จัด
สำหรับบทบาทของ Mersenne ในการประชุมก็คือ ได้เสนอผลงานคณิตศาสตร์ เรื่อง การศึกษาสมบัติของเส้นโค้ง cycloid และการวิเคราะห์ความถี่ที่เกิดจากการสั่นของเส้นเชือก โดยได้พบว่าความถี่แปรผกผันกับความยาวของเส้นเชือก และแปรตามรากที่สองของความตึงในเส้นเชือก
ในช่วงปี 1627-1644 Mersenne ได้เดินทางไป Holland เพื่อหาวิธีรักษาโรค และไป Italy เพื่อทดลองเรื่องความดันอากาศกับ Torricelli แล้วได้กลับมารายงานให้เพื่อนๆ ที่ฝรั่งเศสรู้เรื่องเกี่ยวกับมวล และความหนาแน่นของกาศ ขณะอยู่ที่ Holland Mersenne ได้พบกับ Christiaan Huygens ด้วย และได้ชักชวน Huygens ให้มาทำงานร่วมกัน แต่ Huygens มาไม่ได้ จนกระทั่ง Mersenne เสียชีวิต การทำงานร่วมกันของทั้งสองคน จึงไม่บังเกิด
ขณะอยู่ที่ Italy Mersenne ได้ชักจูงให้ Galileo เผยแพร่ความรู้ออกสู่โลกภายนอก คือ ให้นักวิชาการนอกประเทศ Italy ได้รับรู้และเห็นพ้องด้วย เพราะสันตะปาปาได้สั่งห้ามมิให้ Galileo เผยแพร่ความเชื่อของตนเองต่อสาธารณะชน
ถึงปี 1648 สุขภาพของ Mersenne ได้ทรุดลงมาก และเสียชีวิต ขณะมีอายุ 60 ปี โดยได้อุทิศศพของตนเป็นอาจารย์ใหญ่ ในโรงเรียนแพทย์
หลังจากที่ Mersenne เสียชีวิตไปแล้ว ทางการฝรั่งเศสได้พบจดหมาย 78 ฉบับที่ปราชญ์ต่างๆ เช่น Fermat, Huygens, Pell, Galileo, Torricelli ฯลฯ เขียนถึง Mersenne และได้พบบทความวิจัยด้านกลศาสตร์ที่ Mersenne ทำด้วย ตลอดจนผลงานการศึกษาเรื่องจำนวน Mersenne ว่าถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะ จำนวน 2^n-1 ก็จะต้องเป็นจำนวนเฉพาะด้วย แต่ปรากฏว่าจำนวน Mersenne M_61, M_87 และ M_107 เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ M_67 และ M_257 ไม่เป็น Mersenne จึงคาดการณ์สองจำนวนหลัง ผิด
หลังจากที่กลับมาจากการพบ Torricelli ที่ Italy แล้ว Mersenne ได้ทดลองวัดความดันอากาศ โดยใช้ barometer และพบว่าความดันอากาศที่ยอดเขากับที่เชิงเขา Puy de Dome ในฝรั่งเศสนั้นแตกต่างกัน และผลต่างของความดันทั้งสอง สามารถใช้บอกความสูงของภูเขาได้
ชีวิตนักบวชท่านนี้ได้สนใจวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ตลอดเวลา และได้ช่วยเผยแพร่ความรู้วิทยาศาสตร์ ทั้ง ๆ ที่ความรู้ขัดกับบางคำสอนทางศาสนาที่ตนนับถือ
อ่านเพิ่มเติมจาก "Mersenne Prime Number discovery - 2136279841-1 is Prime!". www.mersenne.org. Retrieved 21 Oct 2024.
ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน - ราชบัณฑิตสำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์
