ในวิชาคณิตศาสตร์จำนวนเฉพาะ (prime number) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 และมีแต่ตัวเองกับ 1 เท่านั้น ที่หารมันได้ลงตัว คือ ไม่เหลือเศษเลย
ดังนั้นตามคำจำกัดความนี้ จำนวนเฉพาะจึงได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19,… ต่อไปเรื่อย ๆ จนถึงอนันต์ (infinity) เพราะ 11 ก็มีแต่ 11 กับ 1 ซึ่งเป็นตัวเองที่หารมันได้ลงตัว ส่วน 6 มิได้เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมี 6, 3, 2 และ 1 ที่หาร 6 ได้ลงตัว
นอกจากจะมีสมบัติหลายประการที่น่าสนใจในเชิงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์แล้ว จำนวนเฉพาะยังมีประโยชน์ในเชิงคณิตศาสตร์ประยุกต์ด้วยหลายเรื่อง เช่น ใช้ในการเข้ารหัสลับ เพื่อการสื่อสารทางทหาร การธนาคาร และใช้ในการสร้างคอมพิวเตอร์ ฯลฯ ด้วย
สำหรับคนทั่วไปหรือนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น ก็มีคำถามหรือปริศนาที่น่าสนใจหลายคำถาม เช่น
จำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด คือ จำนวนอะไร
นักคณิตศาสตร์มีสูตรสำเร็จที่จะใช้หาจำนวนเฉพาะได้ทุกจำนวนหรือไม่
ถ้ารู้เลขจำนวนหนึ่งแล้ว นักคณิตศาสตร์จะมีวิธีบอกได้อย่างรวดเร็วว่า เลขจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ หรือไม่เป็น
จงหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด ซึ่งตัวเลขทุกตัวในจำนวนเฉพาะนั้น เป็นจำนวนเฉพาะ
จงหาจำนวนเฉพาะค่ามากที่สุดที่มีเลข 5 อยู่หนึ่งตัว และตัวเลขที่เหลือเป็นเลข 9 เป็นต้น ฯลฯ
นักคณิตศาสตร์กรีกนับตั้งแต่สมัยโบราณเมื่อ 2,200 ปีก่อน ได้สนใจศึกษาสมบัติต่าง ๆ ของจำนวนเฉพาะมาเป็นเวลานานแล้ว เช่น Euclid (325-265 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเป็นบิดาของวิชาเรขาคณิต ได้ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะมีมากจนนับไม่ถ้วน (infinite) และได้เผยแพร่วิธีพิสูจน์นี้ ในหนังสือชื่อ “The Elements” ที่ตนเรียบเรียง
ด้าน Eratosthenes (276-194 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งเป็นบุคคลแรกที่วัดความยาวรัศมีของโลก ก็ได้แสดงวิธีหาจำนวนเฉพาะ เวลามีการกำหนดเลขจำนวนต่าง ๆ มาให้ โดยใช้กระบวนการขีดฆ่าออก (sieve) เช่น กำหนดเลขจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 100 มาให้ แล้วให้หาจำนวนเฉพาะที่อยู่ในเลขกลุ่มนี้ ซึ่ง Eratosthenes ก็ได้เสนอให้ขีดฆ่าเลข 1 ออกก่อน เพราะ 1 มิใช่จำนวนเฉพาะ จากนั้นก็เลือกเลข 2 แล้วขีดฆ่าจำนวนต่าง ๆ ที่ 2 หารลงตัว ซึ่งก็คือ 4, 6, 8,… แล้วเลือกเลข 3 จากนั้นก็ขีดฆ่าเลขที่ 3 หารลงตัว ซึ่งได้แก่ 6, 9, 12,… การทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ก็จะพบว่าจากจำนวน 1 ถึง 100 จะมีจำนวนเฉพาะอยู่ 25 จำนวน คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97
คำถามที่ตามมา คือ ถ้ากำหนดเลข 1 ถึง 1,000, 1 ถึง 10,000…. จะมีจำนวนเฉพาะกี่จำนวน
ในคริสต์ศตวรรษที่ 19 Jacques Hadamard (1865-1963) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกับ Charles de la Vallée Poussin (1866-1962) นักคณิตศาสตร์ชาวเบลเยี่ยมได้เสนอทฤษฎีบทที่สามารถใช้บอกได้ว่า ถ้ากำหนดช่วงของเลขจำนวนเต็มมาให้ สูตรของคนทั้งสองสามารถบอกได้ว่า ในช่วงดังกล่าวมีจำนวนเฉพาะประมาณกี่จำนวน
ทฤษฎีของ Hadamard และ Poussin จึงสามารถบอกได้ว่าจาก 1 ถึง 1,000 มีจำนวนเฉพาะ 168 จำนวน และจาก 1 ถึง 1,000,000 จะมีจำนวนเฉพาะทั้งหมด 78,498 จำนวน เป็นต้น
ความน่าสนใจอีกประการหนึ่งของจำนวนเฉพาะ คือ สภาพการกระจายของจำนวน ซึ่งเราจะเห็นได้ชัดว่า จำนวนที่มีค่าน้อย 2, 3, 5, 7,… จะเรียงตัวกันค่อนข้างถี่ แต่จำนวนที่มีค่ามาก เช่น 89, 97 ระยะห่าง (gap) จะกว้าง นั่นคือ จำนวนเฉพาะยิ่งมาก gap ก็จะยิ่งกว้าง
เพราะจำนวนเฉพาะมีมากเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน ดังนั้นจำนวนเฉพาะแต่ละจำนวนจะมีสมบัติที่หลากหลายน่าสนใจ จนต้องมีการตั้งชื่อให้เป็นอัตลักษณ์ของจำนวนเฉพาะเหล่านั้น เช่น จำนวนเฉพาะพาลินโดรม (palindrome prime) ซึ่งคำว่า palindrome นี้แปลว่า คำที่สามารถเขียนตัวอักษร หรือตัวเลข ย้อนกลับจากขวาไปซ้ายหรือซ้ายไปขวา ก็ยังอ่านได้เหมือนเดิม เช่น ยาย กก ฯลฯ และในกรณีจำนวนเฉพาะพาลินโดรม ก็ได้แก่ 199,919,991 และ 700,666,007 เป็นต้น
จำนวนเฉพาะเชิงวงกลม (circular prime) เป็นจำนวนเฉพาะที่เวลาจัดเรียงตัวเลขสลับกันใหม่ ก็ยังเป็นจำนวนเฉพาะ เช่น 1193 ซึ่งเมื่อสลับเลขเป็น 9311, 3119, 1931 ก็ยังเป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะที่ราบสูง (plateau prime) เป็นจำนวนเฉพาะที่มีเลขต้นกับเลขท้ายเหมือนกัน แต่ตัวเลขตรงกลาง ๆ เป็นเลขเดียวกันหมด เช่น 181 / 177,771 /
355,555,553 เป็นต้น
ในประเด็นการเรียกชื่อ “จำนวนเฉพาะ” นั้น ประวัติคณิตศาสตร์ก็มีปรากฏว่า Theon (335-405) แห่งเมือง Alexandria ในอียิปต์ ได้เรียกชื่อจำนวนเฉพาะว่า จำนวน euthemic เพราะเป็นจำนวนที่แบ่งแยกเป็นตัวประกอบ (factor) ไม่ได้ คือ มีความเป็นหนึ่งเดียว จนกระทั่งปี 1202 Leonardo แห่ง Pisa หรือ Fibonacci (1170-1250) จึงได้ตั้งชื่อจำนวนนี้ว่า “จำนวนเฉพาะ” ให้โลกได้ใช้ตราบจนทุกวันนี้
สมบัติอีกประการหนึ่งที่น่าสนใจของจำนวนเฉพาะ คือ จากจำนวนเฉพาะ 2, 3, 5, 7, 11, 13,… เราจะเห็นได้ชัดว่า มีจำนวนเฉพาะ 2 กับ 3 เท่านั้นที่อยู่ติดกัน โดยจำนวนเฉพาะที่เหลือจะอยู่ห่างกัน คือ มี gap และถ้าเราพิจารณาทีละคู่ เช่น (3,5), (5,7), (11,13), (17,19),… ซึ่งจำนวนในแต่ละคู่มี gap เท่ากับ 2 นักคณิตศาสตร์เรียกคู่เหล่านี้ว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝด (twin prime) ที่มี gap เท่ากับ 2 และถ้าใช้คอมพิวเตอร์ค้นหาจำนวนเฉพาะคู่แฝด จาก 1 ถึง 100,000 ก็จะพบว่ามีจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มีค่า gap เท่ากับ 2 มากเป็นจำนวน 1,224 คู่ หรือถ้าพิจารณาจาก 1 ถึง 100 ล้าน ก็จะมีจำนวนเฉพาะคู่แฝด 440,312 คู่ ข้อมูลเหล่านี้ทำให้สัญชาตญาณของคนทั่วไปคาดคะเนว่า โลกนี้คงจะมีจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี gap เท่ากับ 2 เป็นจำนวนมากนับไม่ถ้วน (infinite) เป็นแน่
ในทางคณิตศาสตร์ การคาดการณ์ (conjecture) นี้ ยังไม่ได้รับการยอมรับว่า เป็นจริงหรือไม่จริง จนกระทั่งมีคนใช้กระบวนการและวิธีการทางคณิตศาสตร์พิสูจน์อย่างละเอียด รัดกุม และถูกต้องทุกบรรทัด ทุกขั้นตอน ดังนั้นโลกคณิตศาสตร์จึงคอยคนที่สามารถจะพิสูจน์การคาดการณ์นี้
จนกระทั่งปี 2013 Yitang Zhang (1955-ปัจจุบัน) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์วัย 57 ปี ก็ได้เสนอวิธีพิสูจน์ ซึ่งส่อแววว่า สามารถนำไปใช้ในการพิสูจน์ได้ว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี gap เท่ากับ 2 นั้น มีมากเป็นจำนวนนับอนันต์จริง
เมื่อปี 1940 G.H. Hardy (1877-1947) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ผู้เคยทำงานวิจัยร่วมกับ Srinivasa Ramanujan (1887-1920) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์อัจฉริยะชาวอินเดีย ได้เขียนหนังสือชื่อ “A Mathematician's Apology” โดยได้กล่าวถึงความความเชื่อส่วนตัวว่า นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ทั้งหลายของโลก มักจะผลิตผลงานชิ้นสำคัญมากได้ก่อนจะมีอายุถึง 50 ปี เพราะถ้ามีอายุมากกว่านี้ ผลงานก็มักจะแป๊ก
เมื่อปี 1940 G.H. Hardy (1877-1947) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้เคยทำงานวิจัยร่วมกับ Srinivasa Ramanujan (1887-1920) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์อัจฉริยะชาวอินเดียได้เขียนหนังสือชื่อ “A Mathematician's Apology” โดยได้กล่าวถึงความความเชื่อส่วนตัวว่านักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ทั้งหลายของโลก มักจะผลิตผลงานชิ้นสำคัญมากได้ก่อนจะมีอายุถึง
50 ปี เพราะถ้ามีอายุมากกว่านี้ ผลงานก็มักจะแป๊ก
แต่ “เกณฑ์” 50 นี้ ในที่สุดก็ถูก Zhang วัย 57 ปีทำลาย
Zhang เกิดที่ นครเซี่ยงไฮ้ในจีน เมื่อปี 1955 บิดาเป็นอาจารย์สอนวิศวกรรมศาสตร์ ส่วนมารดาทำงานเป็นเลขานุการในบริษัทเอกชน Zhang สนใจและชอบคณิตศาสตร์มาตั้งแต่เด็ก เพราะชอบแก้โจทย์คณิตศาสตร์ต่าง ๆ ด้วยตนเอง
เมื่ออายุ 13 ปี ครอบครัวได้อพยพไปปักกิ่ง ครั้นเมื่อเกิดการปฏิวัติทางวัฒนธรรมครั้งยิ่งใหญ่ในจีน เหล่านิสิตหนุ่ม-สาวที่เป็นสมาชิกของพวก Red Guards ได้ไล่ต้อนปัญญาชนออกนอกเมืองให้ไปทำงานเพื่อชาวชนบท Zhang ก็ถูกบังคับให้ไปด้วย และในยามว่าง เขาก็จะอ่านตำราคณิตศาสตร์ทั้ง ๆ ที่ใคร ๆ ก็อ้างว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่ Zhang สนใจนั้น ไม่มีวันช่วยชาติให้ผู้คนมีฐานะมั่งคั่งได้เลย
หลังจากที่ได้ตรากตรำทำงานอยู่ในชนบทนาน 2 ปี Zhang ก็ได้เดินทางกลับบ้าน เพื่อไปทำงานเป็นลูกจ้างในโรงงานผลิตกุญแจ และเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัยปักกิ่ง ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยดีที่สุดของจีน และสอบเข้าได้เมื่ออายุ 23 ปี
ครั้นเมื่อได้เรียนเรื่อง ทฤษฎีจำนวน (number theory) ในมหาวิทยาลัยที่เน้นประเด็นเรื่องความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเต็มต่าง ๆ Zhang รู้สึกสนุกและชอบมาก จึงตั้งใจว่า จะเป็นผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้ แต่อธิการบดีของมหาวิทยาลัยปักกิ่งมีความเห็นว่า วิชาเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) มีความสำคัญในการพัฒนาประเทศยิ่งกว่า ดังนั้น Zhang จึงต้องยินยอมศึกษาตามความเห็นของอธิการบดี เพราะสังคมวิชาการในเวลานั้น ต้องการให้นักวิชาการทุกคนน้ำหนึ่งใจเดียวกัน แทนที่แต่ละคนจะมีอัตลักษณ์ของตนเอง
ในปี 1984 T. T. Moh (1940-ปัจจุบัน) แห่งมหาวิทยาลัย Purdue ในสหรัฐอเมริกาได้เดินทางมาเยือนมหาวิทยาลัยปักกิ่ง เพื่อแสวงหานิสิตจีนที่มีความสามารถทางคณิตศาสตร์มาก ไปศึกษาต่อที่สหรัฐอเมริกา เมื่อ Moh ได้สัมภาษณ์ Zhang ก็ตระหนักในความสามารถระดับพิเศษของ Zhang มาก จึงได้เชื้อเชิญ Zhang ไปเรียนปริญญาโทและเอกต่อที่อเมริกา โดยเสนอตนเป็นอาจารย์ที่ปรึกษาในการทำวิทยานิพนธ์ในสาขาเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ด้วยทุนวิจัยที่ Moh ได้รับมา
เมื่อสำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอก Zhang รู้สึกหมดความกดดันที่จะต้องวิจัยเรื่องที่ตนไม่ถนัดและไม่ชอบ จึงได้บอกให้ Moh ทราบว่า จะขอไปทำงานวิจัยอิสระ และ Moh ก็ไม่ได้ขัดขวาง เพราะ Zhang ได้เคยพบว่า Moh ทำวิจัยผิดหลายเรื่อง ดังนั้นเมื่อ Zhang จะไปสมัครทำงานที่อื่น Moh จึงไม่ได้เขียนจดหมายรับรองให้ การถูกกลั่นแกล้งเช่นนี้ ทำให้ Zhang ต้องตกงานเป็นเวลานานหลายเดือน จึงไปทำงานเป็นพนักงานรับใช้ในภัตตาคาร และขายอาหารตามสถานีรถไฟใต้ดิน ยามขัดสน Zhang เคยไปขออาศัยอยู่บ้านเพื่อน แต่ก็ยังแวะไปอ่านวารสารคณิตศาสตร์ในห้องสมุดอย่างสม่ำเสมอ
เมื่ออายุ 44 ปี เพื่อนของ Zhang ในสมัยที่เรียนด้วยกันที่มหาวิทยาลัยปักกิ่ง ซึ่งได้งานเป็นอาจารย์ที่ภาควิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัย New Hampshire ได้ชวน Zhang ไปสอนแคลคูลัสในฐานะอาจารย์พิเศษ Zhang จึงมีรายได้บ้าง ทำให้สามารถเช่าห้องอยู่ได้ไม่ไกลจากมหาวิทยาลัยมาก และก็ต้องนั่งรถประจำทางไปทำงานเป็นระยะทางไกลถึง 6 กิโลเมตร
ตั้งแต่ปี 2001 ที่ได้สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอก Zhang มีงานวิจัยตีพิมพ์เพียงเรื่องเดียว จนกระทั่งถึงปี 2010 ก็ยังไม่มีผลงานใด ๆ เพิ่มเติม จนใคร ๆ ก็คิดว่า Zhang หมดสภาพการเป็นนักวิจัยแล้ว แต่ในความเป็นจริงเขายังสนใจเรื่อง การคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดอยู่ตลอดเวลา และซุ่มทำวิจัยอย่างเงียบ ๆ คนเดียวจนกระทั่งถึงวันที่ 3 กรกฎาคม ปี 2012 Zhang ก็ประสบความสำเร็จ เพราะได้เก็บรวบรวมวิธีพิสูจน์ของนักวิจัยอื่น ๆ ที่เคยทำวิจัยเรื่องนี้ มาแก้ไขข้อบกพร่องจนหมด แล้วจึงเรียบเรียงส่งผลงานไปเผยแพร่ในวารสาร Annals of Mathematics ซึ่งเป็นวารสารระดับสุดยอดของวงการคณิตศาสตร์ ที่จะตีพิมพ์ผลงานที่สำคัญมากเท่านั้น จากสถิติการรับบทความ 915 เรื่อง มาพิจารณาในปี 2013 มีเพียง 37 เรื่องเท่านั้นที่ผ่านเกณฑ์ ซึ่งนับเป็นเพียง 4% เท่านั้นเอง และระยะเวลาที่ใช้ในการพิจารณา โดยผู้ทรงคุณวุฒิโดยเฉลี่ยก็นานประมาณหนึ่งปี เพราะการตรวจสอบต้องกระทำอย่างละเอียดทุกบรรทัด ทุกสมมติฐาน และทุกสมการว่า ถูกต้องหมด อย่างไม่มีอะไรเคลือบแคลง
ในที่สุดผลงานเรื่อง “Bounded gaps between primes” ที่มีความยาว 53 หน้า ของ Zhang ก็ได้ปรากฏในวารสาร Annals of Mathematics 179 (3) หน้า 1,121-1,174 เมื่อปี 2014
ผลงานนี้ทำให้ Zhang ได้เลื่อนตำแหน่งจากอาจารย์ เป็นศาสตราจารย์ในทันที รวมทั้งได้รับรางวัล Frank Nelson Cole, ทุนวิจัย MacArthur และ รางวัล Rolf Schock ในปี 2014 รวมถึงได้รับการคัดเลือกเป็นสมาชิกของสมาคม Academia Sinica ของจีนด้วย
ความจริงก่อนที่ Zhang จะประสบความสำเร็จ D. Goldston แห่งมหาวิทยาลัย California วิทยาเขต Berkeley ก็ได้เคยพิสูจน์ว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี gap เท่ากับ 16 นั้น มีมากนับอนันต์คู่ แต่วิธีการพิสูจน์ของ Goldston ยังไม่สมบูรณ์ เพราะเขาได้อ้างสมมติฐานอีกมากมายที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าจริง
ครั้นเมื่อ Zhang สามารถพิสูจน์ได้ว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี gap เท่ากับ 70 ล้านนั้น มีมากนับอนันต์คู่ วงการคณิตศาสตร์จึงเห็นลู่ทางที่จะนำไปใช้ในการพิสูจน์ gap ที่มีค่าต่าง ๆ เช่น
ในปี 2014 Scott Morrison แห่ง Australian National University สามารถพิสูจน์ต่อได้ว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี gap เท่ากับ 4,680 มีมากนับอนันต์
ด้าน James Maynard (1987-ปัจจุบัน) จากมหาวิทยาลัยกับ Montreal ในแคนาดา เมื่อปี 2022 ก็ได้พบว่าในกรณี gap เท่ากับ 600 นั้น ก็มีมากนับอนันต์คู่เช่นกัน
ทุกอย่างจึงเดินหน้าไปสู่การพิสูจน์ว่า gap เท่ากับ 2 มีมากนับอนันต์คู่ และการคำนวณโดยคอมพิวเตอร์แสดงว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี gap เท่ากับ 2 และมีค่ามากที่สุด คือ จำนวน 1,692,923 x (10^4,020)±1
ถึงวันนี้ Zhang ได้ย้ายไปประจำอยู่ที่มหาวิทยาลัย California วิทยาเขต Santa Barbara แล้ว และกำลังสนใจปัญหา Riemann Hypothesis ที่ถือกันว่าเป็นสุดยอดของโจทย์ยากที่สุดในโลก ที่ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ตลอดเวลา 150 ปีที่ผ่านมา
อ่านเพิ่มเติมจาก “First Proof That Infinitely Many Prime Numbers Come in Pairs” โดย Maggie McKee ใน Nature ฉบับวันที่ 14 พฤษภาคม 2013
ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน - ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์
