โลกรู้จัก Pierre de Fermat (1607-1665) ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นผู้ตั้งโจทย์คณิตศาสตร์ขึ้นมาโจทย์หนึ่ง เพื่อท้าทายความสามารถของเพื่อน ๆ เมื่อปี 1637 ผลปรากฏว่า ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาได้ เป็นเวลานานถึง 357 ปี
Fermat เกิดที่เมือง Beaumont-de-Lomagne ในฝรั่งเศส และเสียชีวิตที่เมือง Castres ในฝรั่งเศสเช่นกัน ในวัยหนุ่ม Fermat ประกอบอาชีพเป็นทนายความ เพราะเหตุว่าในสมัยนั้น มีกฎหมายที่บัญญัติห้ามทนายความและผู้พิพากษาเข้าสังคม เช่น ไปสังสรรค์กับชาวบ้านนอกเวลาราชการ เพราะทุกคนเกรงว่า ความสัมพันธ์และความผูกพันระหว่างกัน จะทำให้เกิดความอยุติธรรม เวลามีการพิจารณาตัดสินคดี Fermat จึงใช้เวลาว่างอยู่ที่บ้าน และคิดโจทย์คณิตศาสตร์ต่าง ๆ ขึ้นมา เพื่อใช้ท้าทายความสามารถด้านนี้ของเพื่อนๆ อยู่เนืองๆ
ในปี 1637 หลังจากที่ Fermat ได้อ่านหนังสือชื่อ ที่นักคณิตศาสตร์ Diophantus แห่งเมือง Alexandria เรียบเรียง ซึ่งในหนังสือเล่มนั้น ได้มีการกล่าวถึงสมการ Pythagoras ที่ว่า ถ้า a , b เป็นความยาวของด้านที่ประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมใด ๆ และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากแล้ว เราก็จะได้ว่า
โดยสมการ Pythagoras นี้จะมีคำตอบที่มี a , b , c เป็นจำนวนเต็มที่มีสมการมากมาย จำนวนนับไม่ถ้วน
หลังจากที่ได้เห็นสมการนี้ Fermat ก็ได้สืบสานต่อยอดความคิดของ Pythagoras เป็นโจทย์ใหม่ว่า ถ้ามีเลขจำนวนเต็มบวก 2 จำนวน ที่ต่างก็ยกกำลัง n ( n มีค่ามากกว่า 2) แล้วนำมารวมกัน ผลรวมจะได้เลขจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่งที่ยกกำลัง n หรือไม่
ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat (Fermat's Last Theorem ; FLT) นี้ ได้ทำให้คนทั้งโลกหัวปั่น ตลอดเวลากว่า 350 ปีที่ผ่านมา เพราะไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทนี้เป็นจริง หรือเป็นเท็จ เพราะถ้าเป็นจริงเขาก็ต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า ไม่ว่า n จะมีค่าเท่าใด สมการก็เป็นจริง แต่ถ้าเป็นเท็จ เขาก็ต้องหาตัวอย่างค้าน (counterexample) มาให้ดูด้วยเช่นกัน
วันเวลาที่ผ่านไปก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ แม้กระทั่งอัจฉริยะนักคณิตศาสตร์ เช่น Carl Gauss (1777-1855), Leonhard Euler (1707-1783) และ David Hilbert (1862-1943) ก็ไม่สามารถพิสูจน์ FLT ของ Fermat ได้ ในกรณีที่ n มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 3
ข้อสังเกตหนึ่งเกี่ยวกับ Germain คนนี้ คือ เธอเป็นผู้หญิงจึงไม่ได้รับการสนับสนุนจากครอบครัวและสังคมในเวลานั้นให้เรียนคณิตศาสตร์ ทำให้ต้องศึกษาหาความรู้จากการอ่านตำราต่าง ๆ ด้วยตนเอง และเมื่อเธอทำงานวิจัยคณิตศาสตร์เสร็จ เธอก็จะใช้ชื่อปลอม ซึ่งเป็นชื่อของผู้ชาย คือ Antoine-Auguste Le Blanc เพื่อให้สังคมในวงการคณิตศาสตร์ยอมรับ อนึ่งเวลาเธอเขียนจดหมายวิชาการถึง C. Gauss เขามักจะไม่ตอบจดหมายเธอ เพราะคิดว่าเธอเป็นผู้ชาย จนกระทั่งเมื่อเขารู้ว่า เธอเป็นผู้หญิง Gauss ก็ตอบจดหมายเธอในทันที
ในปี 1806 เมื่อ Napoleon ยกทัพบุกเมือง Jena ในเยอรมนี Germain ได้เขียนจดหมายถึง Gauss เพื่อเตือนให้หนีออกจากเมือง เพราะเธอเกรงว่า Napoleon อาจจะสังหาร Gauss ในทำนองเดียวกับที่ทหารในบังคับบัญชาของแม่ทัพ Marcellus แห่งอาณาจักรโรมัน ที่ได้ฆ่า Archimedes ในเมือง Syracuse บนเกาะ Sicily
การที่ Germain ถูกต่อต้านจากสังคมไม่ให้เป็นนักคณิตศาสตร์นั้น เพราะสังคมในเวลานั้น มีอคติต่อเพศหญิงว่า ไม่มีวันเก่ง และไม่มีวันที่จะเทียบเคียงความสามารถได้เท่าเทียมนักคณิตศาสตร์ชาย แต่ในที่สุด Germain ก็ได้พิสูจน์ตัวเอง ด้วยการพิชิตรางวัลจากการเสนอทฤษฎีคณิตศาสตร์ เรื่อง “การสั่นของท่อนเหล็ก” เนื่องจากการมีสมบัติยืดหยุ่น รางวัลนี้เป็นรางวัลของสถาบัน Paris Academy of Sciences
เวลาต่อมาแม้ Gauss จะเสนอให้เธอได้รับปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ จากมหาวิทยาลัย Göttingen ในเยอรมนี แต่เธอก็ไม่ได้รับปริญญานั้น และได้เสียชีวิตไป โดยที่มรณบัตรได้ระบุว่า เธอเป็นคนไร้อาชีพ
แต่เมื่อถึงวันนี้ Germain ได้รับการยอมรับแล้วว่า เธอเป็นเจ้าหญิงคนหนึ่งของวงการคณิตศาสตร์ โดยทางสถาบัน Paris Academy of Sciences ได้จัดตั้งเหรียญรางวัล เป็นทองคำหนัก 1 กิโลกรัม เพื่อมอบให้นักคณิตศาสตร์ (ทั้งชายและหญิงที่มีผลงานสำคัญด้านคณิตศาสตร์) ตั้งแต่ปี 2003 ที่ Paris มีถนนชื่อ Rue Sophie Germain และที่หอ Eiffel ซึ่งมีชื่อของนักวิทยาศาสตร์ชายชาวฝรั่งเศส 72 คน ที่ถูกจารึกลงบนโครงเหล็กที่ใช้ในการสร้างหอ แต่กลับไม่มีการจารึกชื่อของ Germain ทั้ง ๆ ที่เธอเป็นคนเสนอทฤษฎีการสั่น เนื่องจากสมบัติความยืดหยุ่นของเหล็ก
สำหรับความก้าวหน้าในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat (FLT) ในเวลาต่อมาเป็นดังนี้ คือ
C.F. Kausler ชาวเยอรมัน ได้พิสูจน์ว่า FLT เป็นจริง ในกรณี n = 6 เมื่อปี 1802
P.G.L. Dirichlet ชาวเยอรมัน ได้พิสูจน์ว่า FLT เป็นจริง ในกรณี n = 14 เมื่อปี 1832
Gabriel Lamé ชาวฝรั่งเศส ได้พิสูจน์ว่า FLT เป็นจริง ในกรณี n = 7 เมื่อปี 1839
จนกระทั่งถึงปี 1995 Andrew John Wiles ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ที่สำเร็จการศึกษาระดับปริญญาเอก จากมหาวิทยาลัย Cambridge หลังจากที่ได้เพียรพยายามพิสูจน์ FLT อย่างโดดเดี่ยวคนเดียว เป็นเวลานานถึง 7 ปี ในที่สุดก็ได้ตีพิมพ์ผลงานของเขาในวารสาร Annals of Mathematics เกี่ยวกับวิธีพิสูจน์ว่า FLT เป็นจริง ไม่ว่า n จะมีค่าเท่าไรก็ตาม
ผลงานนี้ทำให้ Wiles ได้รับรางวัล Wolf ประจำปี 1995-96, รางวัลจานเงินแทนเหรียญทอง Fields ของสมาคม International Mathematical Union (IMU) ในปี 1998 เพราะ Wiles มีอายุเกิน 40 ปีแล้ว, รางวัล Abel ในปี 2016 และรางวัล Copley ปี 2017 ด้านสมเด็จพระนางเจ้า Elizabeth ที่ 2 ก็ได้ทรงโปรดเกล้าให้ Wiles ครองยศ Sir เมื่อปี 2000
หลังจากที่ Andrew Wiles สามารถพิสูจน์ FLT ได้แล้ว มหากาพย์แห่งความพยายามเรื่องนี้ก็ดูเหมือนจะจบลงด้วยดี เพราะนักคณิตศาสตร์ด้านทฤษฎีจำนวน (number theory) น่าจะได้พักผ่อนกันเสียที แต่ความจริงหาได้เป็นเช่นนั้นไม่ เพราะเมื่อนายธนาคาร Andrew Beal ได้ทราบข่าวความใกล้จะสำเร็จของ Andrew Wiles ผ่านทางสื่อหนังสือพิมพ์และโทรทัศน์ ในปี 1993 เขากับเพื่อนนักคณิตศาสตร์ชื่อ Daniel Mauldin จากมหาวิทยาลัย North Texas ที่เมือง Denton ก็ได้คิดโจทย์คณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่โจทย์หนึ่ง โดย Beal ได้แสดงเจตน์จำนงว่าจะมอบเงิน 5,000 ดอลลาร์ ให้แก่นักคณิตศาสตร์คนแรกที่สามารถพิสูจน์การคาดการณ์ของ Beal (Beal's conjecture) ได้
ดังนั้น FLT จึงเป็นกรณีเฉพาะของการคาดการณ์ Beal เพราะ ดัชนีชี้กำลัง x , y, z ของสมการ มีค่า x = y = z = n
ในกรณีที่ n = 2 การพิสูจน์ว่า การคาดการณ์ Beal เป็นจริง มีตัวอย่างให้เห็นมากมาย โดยที่ A , B , C ไม่มีตัวประกอบร่วม และ 1/x + 1/y + 1/z มีค่าน้อยกว่า 1 นี่เป็นการคาดการณ์ที่รู้จักในนามการคาดการณ์ Fermat–Catalan (Eugène Charles Catalan (1814 –1894) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาว Belgium)
สมการ Fermat–Catalan มีดัชนีชี้กำลัง x , y , z โดยที่ตัวหนึ่งมีค่า = 2
คือ กลุ่มแรก 1-5 เป็นสมการที่มีเลขจำนวนไม่มาก กับกลุ่มหลัง 6-10 เป็นสมการที่มีเลขจำนวนมาก โดยสมการทั้ง 10 มีดัชนีชี้กำลังตัวหนึ่งเป็นเลข 2 และจนกระทั่งถึงวันนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถให้เหตุผลได้ว่า เหตุใดความแตกต่างระหว่างตัวเลขในกลุ่มแรกและกลุ่มหลัง จึงมีค่าแตกต่างกันมากเช่นนั้น
ดังนั้นในการพิสูจน์ว่า การคาดการณ์ของ Beal จะเป็นจริง คนพิสูจน์จะต้องมีตัวอย่างที่แสดงว่า ไม่ว่าเขาจะใช้คอมพิวเตอร์หาตัวเลขอะไรมาก็ตาม ค่าที่ได้จะไม่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสามข้อดังกล่าวข้างต้น และการหาค่ามาไม่ได้ แสดงว่าค่าดังกล่าวไม่มี นั่นคือ การคาดการณ์ Beal ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่าจริง และถ้าใครสามารถพิสูจน์ได้ เงินรางวัล 1 ล้านดอลลาร์ที่เขาได้รับ ก็คงไม่เพียงพอสำหรับค่าใช้จ่ายที่จะ run คอมพิวเตอร์ค้นหาตัวเลข
ตามปกติ Beal เป็นคนชอบจัดการแข่งขันคณิตศาสตร์ชื่อ “Odyssey of the Mind” เพื่อค้นหาเด็กอัจฉริยะ และกระตุ้นให้คนทั่วไปสนใจคณิตศาสตร์
ในอดีตโจทย์คณิตศาสตร์ FLT ได้เคยกระตุ้นให้เด็กคนหนึ่งเดินเข้าไปยืมหนังสือที่ห้องสมุด Milton Road Library ในเมือง Cambridge เมื่อปี 1963 (คือเมื่อ 60 ปีก่อน) และยืมหนังสือ FLT ออกไปอ่าน เด็กคนนั้น ชื่อ Andrew Wiles
อ่านเพิ่มเติมจาก “The generalized Fermat equation with exponents 2, 3, 4, …” โดย N. Freitas, et al. ใน Compositio Mathematica Vol. 156 หน้า 77-133 ปี 2020
ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน - ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์
