Leonardo Pisano Fibonacci (1170–1250) หรือที่มีชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า Leonardo of Pisa เกิดเมื่อปี 1170 ที่เมือง Pisa ในอิตาลี บิดาเป็นเจ้าของโรงงานทอผ้า นักประวัติศาสตร์สันนิษฐานว่า Fibonacci เป็นชื่อที่ได้จากการสนธิคำ Fibius กับคำ Bonacci ดังนั้น Fibonacci จึงแปลว่าบุตรของ Bonacci
เมื่อ Pisa ในคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นศูนย์กลางทางการค้าของอิตาลี ดังนั้นจึงมีพ่อค้าวาณิชจากต่างแดน เช่น อียิปต์ ซีเรีย กรีซ ฝรั่งเศส ฯลฯ เดินทางมาทำธุรกิจกันอย่างคับคั่ง Fibonacci จึงได้เรียนรู้ภาษาต่างชาติ ตลอดจนถึงวิธีคิดของคนต่างชาติด้วย เมื่อ Fibonacci มีอายุได้ 12 ปี บิดาได้รับตำแหน่งเป็นหัวหน้าบริษัททอผ้าที่เมือง Bugia ใน Algeria การได้งานใหม่ที่มีธุรกิจยิ่งใหญ่กว่าเก่ามาก ทำให้การทำการค้ามีความจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์มากในการคำนวณและทำบัญชี ดังนั้นบิดาจึงได้นำบุตรชาย Fibonacci ไป Algeria ด้วย เพื่อช่วยงานและเพิ่มประสบการณ์ เพราะต้องการให้ Fibonacci ได้สืบทอดธุรกิจของวงศ์ตระกูลต่อไป และในเวลาเดียวกันก็ได้จัดให้มีครูมาสอนคณิตศาสตร์แก่ลูกชาย และให้รู้จักใช้ลูกคิดในการคำนวณด้วย
เพราะเหตุว่าครูที่บิดาจ้างมาสอนเป็นแขก Moor ที่นิยมใช้เลขฮินดู-อารบิก (0, 1, 2,…..,9) ในการคำนวณ แทนที่จะใช้อักษรโรมัน 7 ตัว คือ I แทน 1, V แทน 5, X แทน 10, L แทน 50, C แทน 100, D แทน 500 และ M แทน 1,000 (เลขโรมันไม่มีเลขศูนย์)
ดังนั้นในกรณีเลข 1990 จึงอาจเขียนได้หลายรูปแบบ เช่น MCMXC, MDCDLXXXX หรือ MXM ก็ได้ เพราะในกรณีแรก M=1,000, CM=900 และ XC=90 หรือในกรณีที่สอง M=1,000, D=500, DL=450 และ XXXX=40 และในกรณีที่สาม M=1,000 และ XM=990 ดังนั้นสมมติว่ามีโจทย์ให้คูณ 95 กับ 1,990 นั่นคือ จงหาค่าที่ได้ เมื่อเอา LXXXXV คูณกับ MCMXC ว่ามีค่าเท่าไร
ถ้าให้ครูกับนักเรียนปัจจุบันทำโจทย์ข้อนี้ ทุกคนก็คงแปลงโจทย์เลขโรมันที่ให้มาเป็นเลขฮินดู-อารบิกก่อน ครั้นเมื่อได้ผลคูณแล้วก็จะแปลงเลขฮินดู-อารบิกเป็นเลขโรมันอีก ซึ่งจะต้องใช้เวลาอีกนาน นอกจากประเด็นเรื่องเวลาแล้ว การตรวจคำตอบที่ได้ก็เป็นเรื่องยุ่งยาก เพราะคำตอบมีวิธีเขียนได้หลายรูปแบบ ผู้คนในสมัยนั้นจึงหันไปใช้ลูกคิดในการคำนวณ แต่ลูกคิดก็เป็นอุปกรณ์ที่มิได้มีเครื่องบันทึกผลคำนวณอีก ดังนั้นความผิดพลาดในการคำนวณจึงเกิดขึ้นบ่อย
Fibonacci จึงดำริใช้เลขฮินดู-อารบิกในการคำนวณแทนเลขโรมัน และพบว่ามีความสะดวกกว่ามาก จึงสามารถคำนวณได้อย่างคล่องแคล่ว และได้เดินทางกับบิดาไปทำธุรกิจในดินแดนต่าง ๆ รอบทะเล Mediterranean แล้วเดินทางกลับอิตาลี ในปี 1200 เพื่อไปถวายงานในกษัตริย์ Frederick II แห่งอาณาจักรโรมันในตำแหน่ง โหรประจำราชสำนัก
ในปี 1202 Fibonacci ได้เรียบเรียงตำราชื่อ Liber Abaci (ตำราการนับ) โดยได้นำความรู้คณิตศาสตร์ของชาวอาหรับมาเขียนให้นักวิชาการยุโรปสามารถเข้าใจได้ง่ายขึ้น และได้ชักชวนชาวยุโรปให้หันมาใช้เลขฮินดู-อารบิกในการคำนวณโจทย์บวก ลบ คูณ และหาร แทนเลขโรมัน แล้วหนังสือก็ได้จบลงด้วยการเสนอวิธีต่อรองสินค้า และการทำบัญชี
ในหนังสือเล่มนี้ยังมีโจทย์คณิตศาสตร์ที่น่าสนใจอีกมากมาย เช่น ในกองคาราวานหนึ่งมีหญิงชรา 7 คน ที่กำลังเดินทางไปโรม โดยสตรีแต่ละคนจูงลา 7 ตัว และลาแต่ละตัวบรรทุกเสบียงไป 7 ถุง โดยในแต่ละถุงมีขนมปัง 7 ก้อน และขนมปังแต่ละก้อนมีมีดปักอยู่ 7 ด้าม และมีดแต่ละด้ามมีปลอกสวมอยู่ 7 ปลอก คำถามมีว่า กองคาราวานนั้น มีของทั้งหมดกี่ชิ้น
นอกจากนี้ หนังสือ Liber Abaci ก็มีเอกลักษณ์ต่างๆ ทางพีชคณิตที่น่าสนใจ เช่น
จุดเด่นที่สำคัญอีกประการหนึ่งของตำรา คือ การเริ่มนำเลขศูนย์ที่ชาวอินเดียเริ่มใช้เป็นชาติแรก มาใช้ในยุโรปเป็นครั้งแรก แต่การนำเลขฮินดู-อารบิกมาใช้ในการคำนวณนี้ ได้รับการต่อต้านจากบรรดานักวิชาการในยุโรปมาก เพราะคนส่วนใหญ่คิดว่า มันเป็นความรู้ของคนนอกรีต ดังนั้นจึงไม่สมควรที่ใครจะให้ความสนใจ จนถึงปี 1299 สังคมยุโรป จึงได้มีความเห็นที่แตกต่างออกเป็นสองกลุ่ม คือ บรรดาพ่อค้าที่ได้เริ่มทำบัญชีธุรกิจ โดยใช้เลขฮินดู-อารบิกแทนเลขโรมัน และบรรดานักบวชที่ยังยึดติดอยู่กับวิธีเขียนเลขโรมันต่อไป
หลังจากที่ Fibonacci เสียชีวิตในปี 1250 เพราะถูกทหารจากเมือง Genoa สังหารขณะเมือง Pisa ถูกยึดครอง ในสงครามกลางเมืองระหว่างกลุ่ม Guelph กับกลุ่ม Ghibelline ความวุ่นวายทั้งหลายก็ยังไม่ยุติ เพราะเมื่อถึงปี 1338 อิตาลีได้เข้าทำสงคราม 100 ปีกับฝรั่งเศสอีก และในช่วงเวลานั้น ยุโรปก็มีเหตุการณ์กาฬโรคระบาดหนัก และเมื่อถึงปี 1453 อาณาจักร Byzantine ก็ได้ล่มสลาย เพราะกรุง Constantinople แตก ในอังกฤษได้มีสงครามดอกกุหลาบ (Wars of the Roses) ตั้งแต่ปี 1455-1487 สงครามและความวุ่นวายทั้งหลายนี้ ได้ทำให้ไม่มีใครในยุโรปสนใจการใฝ่หาความรู้อะไรๆ เลย ยุคนั้นจึงเป็นยุคมืด (Dark Ages) และแล้วความเจริญรุ่งเรืองก็ได้หวนกลับมาอีกครั้งหนึ่ง ในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา (Renaissance)
ทุกวันนี้เวลานักทัศนาจรไปเยือนหอเอนที่เมือง Pisa ทุกคนเห็นอนุสาวรีย์ของ Fibonacci ตั้งอยู่ใกล้หอเอน เพื่อให้ทุกคนระลึกถึงบุรุษ ผู้ทำให้วิชาคณิตศาสตร์น่าเรียน โดยได้นำเลขฮินดู-อารบิกมาใช้แทนเลขโรมัน
นอกจากจะมีความสำคัญในการปฏิรูปคณิตศาสตร์แล้ว Fibonacci ยังมีผลงานด้านคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งเป็นที่รู้จักดีอีกด้วย นั่นคือ ผลงานเรื่อง ลำดับ Fibonacci (Fibonacci Sequence) ซึ่งมีต้นกำเนิดมาจากโจทย์ที่ Fibonacci ได้ถามนักเรียนในห้องที่สอนว่า สมมติเมื่อเริ่มวันที่ 1 ของเดือนแรก มีกระต่ายอยู่คู่หนึ่ง เป็นตัวผู้และตัวเมีย ถ้ากำหนดให้กระต่ายทุกคู่จะต้องมีอายุครบ 2 เดือนก่อน จึงจะสามารถสืบพันธุ์ได้ และเวลาตกลูก ลูกที่คลอดออกมาจะเป็นคู่ คือ มีตัวผู้หนึ่งตัว และตัวเมียอีกตัวหนึ่งเสมอ Fibonacci ยังได้กำหนดอีกว่า กระต่ายทุกตัว หลังจากที่คลอดแล้ว จะมีสุขภาพดี คือ ไม่มีตัวไหนตายก่อนวัยอันควร นอกจากนี้กระต่ายทุกตัวก็ไม่มีตัวใดเป็นหมัน
คำถามมีว่า เมื่อเวลาผ่านไป 12 เดือน เขาจะมีกระต่ายทั้งหมดกี่คู่
ในการตอบโจทย์ข้อนี้ Fibonacci ได้พบว่า เมื่อสิ้นเดือนแรกจะมีกระต่าย 1 คู่ และเมื่อสิ้นเดือนที่ 2 กระต่ายคู่เดิมก็ยังอยู่ และพร้อมที่จะสืบพันธุ์ เมื่อเวลาผ่านไปอีก 1 เดือน เป็น 3 เดือน กระต่ายคู่เดิมก็ยังอยู่ แต่จะมีกระต่ายคู่ใหม่เพิ่มมา 1 คู่ รวมเป็น 2 คู่ ครั้นเมื่อสิ้นเดือนที่ 4 กระต่ายก็จะมี 2 คู่เดิม และ 1 คู่ใหม่ รวมเป็น 3 คู่
การสืบพันธุ์ในทำนองเดียวกันนี้ แสดงให้เห็นว่า เมื่อสิ้นเดือนที่ 5 และ 6 จำนวนคู่ของกระต่ายก็จะเป็น 5 คู่ และ 8 คู่ ตามลำดับ
ดังนั้น เราจึงสามารถเขียนจำนวนคู่ของกระต่ายเป็นลำดับได้ ดังต่อไปนี้ คือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ซึ่งแสดงให้เห็นว่า หลักจากที่เวลาผ่านไป 12 เดือน ก็จะมีกระต่ายทั้งหมด 144 คู่ โดยที่จำนวนต่างๆ ในลำดับ เกิดจากการรวมจำนวน 2 จำนวนข้างหน้าที่อยู่ติดกัน เช่น 21=8+13 และ 144=55+89 เป็นต้น ลำดับ 1, 1, 2, 3, ….. ดังแสดงข้างต้นเป็นลำดับที่นักคณิตศาสตร์รู้จักในนามลำดับ Fibonacci และจำนวต่าง ๆ ในลำดับมีชื่อว่า จำนวน Fibonacci
ความอัศจรรย์ของจำนวน Fibonacci นอกจากจะช่วยให้สามารถคำนวณจำนวนคู่ของกระต่ายในอนาคตได้อย่างมั่นใจแล้ว นักชีววิทยาเองยังได้พบอีกว่า ในกรณีของต้นไม้ เช่น ต้นกระบองเพชร (Mammillaria mystax) และดอกทานตะวัน (Helianthus annuus) จะมีหนามและเกสรของดอกเรียงตัวกันเป็นเกลียว โดยที่เกลียวหนึ่งจะเรียงกันในทิศตามเข็มนาฬิกา และอีกเกลียวหนึ่งจะเรียงกันในทิศทวนเข็มนาฬิกา นั่นคือถ้าจำนวนเกลียวตามเข็มนาฬิกามี 34 แถว ทุกคนก็จะพบว่า จำนวนเกลียวทวนเข็มนาฬิกาของดอกทานตะวันจะเป็น 21 หรือ 55 ส่วนผลของต้นสน (pine cone) ก็มีการเรียงเกลียวตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกาเช่นกัน แต่ส่วนใหญ่จะเป็นเกลียวทวนเข็มนาฬิกา
ปรากฏการณ์ดังกล่าวนี้ นักชีววิทยาเรียก phyllotaxis (คำนี้มาจากคำในภาษากรีกว่า phyllon ที่แปลว่า ใบไม้ และ taxis ที่แปลว่า ความเป็นระเบียบ) ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่นักพฤกษศาสตร์ได้รู้จักมาเป็นเวลาหลายร้อยปีแล้ว คำถามที่น่าสนใจ คือ อะไรคือสาเหตุที่ทำให้ต้นไม้และดอกไม้เติบโตในลักษณะนี้
คำตอบ คือ การเติบโตลักษณะนี้จะทำให้ดอกไม้และต้นไม้มีประสิทธิภาพสูงสุดในการเจริญเติบโต คือ มีจำนวนเมล็ดเกสรดอกทานตะวันได้มากที่สุด เพราะเมื่อเมล็ดเติบโต ใจกลางของหัวดอกก็จะสามารถให้กำเนิดเมล็ดใหม่ได้ โดยการดันเมล็ดที่อยู่บริเวณริมๆ ออกไป การเติบโตของเกสรดอก จึงสามารถเกิดขึ้นได้อย่างต่อเนื่องตลอดไป ส่วนการแตกใบของต้นทานตะวันก็เพื่อให้ใบได้รับแสงแดดมากที่สุด
ไม่เพียงแต่ทานตะวันเท่านั้นที่เป็นดอกไม้ของ Fibonacci ดอกไม้ชนิดอื่น ๆ เช่น ดอก iris และดอก lily ซึ่งมีกลีบดอกเท่ากับ 3, ดอก buttercup มี 5 กลีบดอก, ดอก daisy มี 21, 34, 55 และ 89 กลีบดอก, ดอกดาวเรือง (marigold) มี 13 กลีบดอก, ดอก aster มี 21 กลีบดอก เป็นต้น กลีบดอกเหล่านี้ล้วนเป็นจำนวน Fibonacci ทั้งสิ้น
ในปี 1611 Johannes Kepler (1571-1630) ได้ตั้งข้อสังเกตว่า ถ้าให้ Fn แทนจำนวนที่ n ในลำดับ Fibonacci แล้วก็จะได้ว่า F11=89, F12=144, F13=233, F14=377, F16=987, F20=6,765 และ F30=832,040
ดังนั้นถ้าคำนวณค่าของF14/F13=377/233=1.61803 ส่วน F12/F11=144/89=1.61797 ซึ่งอัตราส่วนทั้งสองมีค่าใกล้เคียงกันมาก คือ เข้าใกล้ค่า 1.618033988749894848204586834….. ซึ่งจำนวนนี้มีค่าเท่ากับ (+√5)/2 ที่โลกรู้จักในนามอัตราส่วนทองคำ (golden ratio) ที่นิยมแทนด้วยอักษร ϕ
เป็นที่น่าสังเกตว่า 1/ϕ=0.618033988749894848204586834 ดังนั้น ϕ จึงเป็นจำนวนเพียงหนึ่งเดียวในเอกภพที่ส่วนกลับของมันมีค่าเท่ากับ ϕ-1
ลุถึงปี 1753 Robert Simpson (1687-1708) นักคณิตศาสตร์ชาวสก๊อต ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่า
ϕ= lim Fn+1/Fn เมื่อ n ∞ (อนันต์)
ต่อมาในปี 1843 Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ก็ได้พบสูตรสำเร็จในการหาค่าของจำนวน Fibonacci ใด ๆ ว่ามีค่า
สำหรับความน่าสนใจของค่า ϕ นี้ ยังมีอีกว่า สถาปนิกและปฏิมากรชาวกรีกโบราณชื่อ Phidias (490-430 ก่อนคริสตศักราช) ซึ่งได้สร้างมหาวิหาร Parthenon ก็ได้ใช้อัตราส่วนทองคำนี้เป็นหลักการพื้นฐาน ให้อาคารมีเสถียรภาพและดูสมส่วนสวยงาม โดยให้อัตราส่วนระหว่างความกว้างต่อความความสูงของอาคาร=1.618 ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันชื่อ Mark Barr (1871-1950) จึงได้ให้อัตราส่วนนี้มีสัญลักษณ์เป็น เพื่อให้สอดคล้องกับอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ ว่ามีค่าเท่ากับ π ที่ Fibonacci ได้คำนวณพบว่า π มีค่า = 864/274 =3.141818 นักคณิตศาสตร์ Barr ได้เรียก ว่า phi ตามตัวอักษรสามตัวแรกของชื่อ Phidias
ไม่เพียงแต่นักคณิตศาสตร์และสถาปนิกเท่านั้นที่งุนงงกับความลึกลับและความน่าพิศวงของ นักพฤกษศาสตร์ยังได้พบอีกว่า เวลาต้นทานตะวันแตกใบ ใบไม้ใหม่ที่แตกมักทำมุม 137.5 องศา กับใบไม้เก่าที่แตกล่าสุด และเมื่อ 360°-137.5°=222.5° อัตราส่วนระหว่าง 222.5/137.5=1.618 = อีก ซึ่งก็เป็นไปตามหลักการของ Plato (428-348 ก่อนคริสตกาล) ที่ว่า “The beautiful never lacks proportion” สิ่งที่สวยงามมักจะมีสมบัติของความเป็นอัตราส่วน
อ่านเพิ่มเติมจาก “The Mathematics of Life” โดย Ian Stewart จัดพิมพ์โดย Basic Books ในปี 2011
ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน - ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์
