หลัก "คณิตศาสตร์" ที่ใช้ในการแบ่งเค้กและพิซซ่า

นับตั้งแต่ยุคดึกดำบรรพ์ที่มนุษย์ได้เปลี่ยนวิถีชีวิตจากการร่อนเร่พเนจรไปในป่ามาอยู่รวมกันเป็นหมู่เหล่า เป็นสังคมที่มีการติดต่อสื่อสาร แลกเปลี่ยนทั้งสิ่งของและความคิดกัน การโต้เถียงเพื่อหาความเหมาะสมในการแบ่งปันทรัพยากร ไม่ว่าจะเป็นเรื่องอาหาร มรดก เวลา ทรัพย์สิน ที่อยู่อาศัย ภาระงานที่รับผิดชอบ ภาระหนี้สิน ตลอดจนถึงการแบ่งเงินรายได้และรายจ่ายของครอบครัว ฯลฯ ก็ได้เกิดขึ้นตลอดเวลา เพื่อให้สมาชิกและบุคคลที่เกี่ยวข้องได้ปฏิบัติ และให้คนที่ได้รับผลกระทบรู้สึกว่าตนได้รับความเป็นธรรมและความพึงพอใจ


แต่ในสมัยก่อนที่จะมีหลักการแบ่งทรัพยากรนั้น สังคมจำเป็นต้องพึ่งพาอาศัยวิจารณญาณของผู้นำในการจัดแบ่ง ดังในตำนานที่กล่าวถึง กษัตริย์ Solomon แห่ง อาณาจักรอิสราเอล เมื่อ 970-931 ปีก่อนคริสตกาล ซึ่งได้กล่าวถึงพระองค์ว่า ทรงมีพระปรีชาสามารถในการใช้สติปัญญาเป็นเลิศ ดังในตัวอย่าง ซึ่งเกี่ยวข้องกับการตัดสินคดีความระหว่างสตรี 2 คน ที่อ้างว่า ตนต่างก็เป็นมารดาของเด็กทารกเกิดใหม่

เมื่อถึงเวลาตัดสินคดีกษัตริย์ Solomon ทรงบัญชาให้ทหารใช้ดาบตัดแบ่งทารกออกเป็นสองส่วน เพื่อมอบให้นางแต่ละคน และทันทีที่ได้ยินพระบรมราชโองการ สตรีที่เป็นแม่ตัวจริง ซึ่งรักและผูกพันกับลูกมาก ก็ได้ถลาเข้าปกป้องทารก แล้วบอกให้ทหารเก็บดาบ พร้อมกันนั้นก็กราบทูลกษัตริย์ว่า ตนยินยอมมอบทารกให้แก่อีกหญิงหนึ่ง

การแสดงออกของเธอในลักษณะนี้ ได้ทำให้ Solomon ทรงตระหนักได้ว่า ใครกันแน่ที่เป็นแม่แท้ ๆ ของทารก Solomon's wisdom ในเรื่องนี้ ได้กลายเป็นตำนานที่ผู้คนเล่าขานกันมาตราบจนวันนี้


ในจารึก Talmud ที่ใช้บันทึกคำสอนของชาวยิว ก็ได้มีการกล่าวถึงชายคนหนึ่งว่า เมื่อเสียชีวิตลง และมีหนี้สินที่ทายาทต้องรับภาระชำระหนี้ให้เจ้าหนี้ ในที่นี้สมมตุชื่อ A, B และ C เป็นเงิน 100, 200 และ 300 เหรียญ ตามลำดับ เพราะคำสอนในศาสนายิว ห้ามเจ้าหนี้คิดดอกเบี้ย ดังนั้นคำถามจึงมีว่า เจ้าหนี้ควรได้รับเงินชำระค่าหนี้คนละเท่าใด ในการตอบคำถามนี้ จารึก Talmud ได้เสนอทางเลือกไว้ 3 ทาง ตามกรณีของทรัพย์สินของผู้ตาย ที่ขายได้

ในกรณีแรก สมมติว่า ทรัพย์สินที่ขายได้มีมูลค่า 100 เหรียญ ก็ให้แบ่ง A, B และ C คนละเท่า ๆ กัน คือ 100/3 = 33.33 เหรียญ

ในกรณีสอง สมมติว่า ทรัพย์สินมีมูลค่า 300 เหรียญ ก็แบ่งให้ A, B และ C ตามสัดส่วนที่คนแต่ละคนเป็นเจ้าหนี้ นั่นคือ ให้ A ได้ 1/6 B ได้ 1/3 และ C ได้ 1/2 ของทรัพย์สินที่ขายได้ ดังนั้น A ก็จะได้ 300/6 = 50 เหรียญ B จะได้ 300/3 = 100 เหรียญ และ C จะได้ 300/2 = 150 เหรียญ

แต่ถ้าขายทรัพย์สินได้ 200 เหรียญ จารึกใน Talmud ได้ระบุเพียงว่า A, B และ C จะได้เงิน 50, 75 และ 75 เหรียญตามลำดับ ซึ่งเป็นตัวเลขที่ทำให้ผู้คนตลอดเวลาร่วม 1,500 ปีที่ผ่านมา รู้สึกงุนงงว่า คนที่คำนวณได้ตัวเลขนี้ได้ใช้สูตรใด หรือสมการใดในการแบ่งเงิน


จนกระทั่งถึงปี 1984 ก็มีคนล่วงรู้กระบวนการคิดของปราชญ์โบราณในยุคนั้น เขาคือ Robert Aumann จากมหาวิทยาลัย Hebrew ประเทศอิสราเอล ซึ่งได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ ในปี 2005 จากผลงานเรื่องทฤษฎีเกม โดยได้ใช้หลักการของเกมสมคบคิดระหว่างคนสามคน ในการจัดหาคำตอบ ซึ่งจะทำให้ความไม่สบายใจ และความทุกข์ใจของคนทั้งสามมีค่าน้อยที่สุด โดยใช้กรอบความคิดที่เรียกว่า nucleolus

สมมติว่าทรัพย์สินที่ขายได้มีมูลค่า 100 เหรียญแล้ว A ได้ 100/6 B ได้ 100/3 และ C ได้ 100/2 แล้ว A จะเสียใจมากที่สุด เพราะขาดทุนถึง 84 เหรียญ ส่วน B ขาดทุน 164 เหรียญ และ C ขาดทุน 250 เหรียญ เปอร์เซ็นต์การขาดทุนของ A จะมากที่สุด คือเท่ากับ 84% , B ขาดทุน 82% และ C ขาดทุน 83%


คราวนี้ถ้าขายทรัพย์สินได้ 200 เหรียญ แล้ว B กับ C ร่วมมือกัน เพื่อแบ่งกับ A เพราะ A อยากได้ 100 เหรียญคืนจาก 200 เหรียญที่ขายได้ ก็จะมีเงินแบ่งให้ B กับ C คือ 100 เหรียญ ดังนั้นก็จัดการแบ่งให้ A ได้ครึ่งหนึ่งของค่าที่อยากได้ คือ 50 เหรียญ แล้วแบ่งให้ B กับ C คนละ (200-50)/2 = 75 เหรียญ

จากอดีตถึงปัจจุบันการถกเถียงเพื่อหาความยุติในการแบ่งทรัพยากรต่าง ๆ ก็ยังมีอยู่และมากขึ้นตามจำนวนประชากรที่เพิ่มขึ้นตลอดเวลา เช่น ชีวิตสมรสของคู่ครองที่ผิดฝาผิดตัวมักจะจบลงอย่างขมขื่นและล้มเหลวด้วยการหย่าร้าง แล้วตามมาด้วยการฟ้องร้อง จากนั้นปัญหาแสนจะยุ่งยากที่จะตามมาคือ การหาวิธีแบ่งสินสมรสอันจะทำให้คู่กรณีรู้สึกพอใจและเข้าใจในหลักการและกระบวนการ “ยุติธรรม” ที่ใช้

ในประเทศสหรัฐอเมริกา ทุกปีจะมีกรณีหย่าร้างเกิดขึ้นประมาณ 2 ล้านครั้ง และแทบทุกครั้งทั้งสามีและภรรยาต่างก็ได้ทำใจไว้ล่วงหน้าว่า ขั้นตอนการแบ่งสินสมรสจนลงเอยและลงตัวนั้นจำเป็นต้องใช้เวลานาน และในที่สุดก็จะไม่มีฝ่ายหนึ่งฝ่ายใดพอใจในส่วนที่ตนได้รับ หรือฝ่ายตรงข้ามได้ไป

การแบ่งสินสมรสมิได้เป็นเพียงกรณีพิพาทเดียวเท่านั้นที่ต้องการการตัดสินโดยมีท้าวมาลีวราช หรือเปาบุ้นจิ้นเป็นผู้พิพากษา เพราะเรายังมีการพิพาทแบ่งแยกดินแดนระว่างประเทศ การแบ่งสัดส่วนเงินงบประมาณแผ่นดิน การแบ่งมรดก การจัดแบ่งภาระงานในองค์กร ฯลฯ ซึ่งเป็นคนละเรื่องเดียวกัน นั่นคือการแสวงหาวิธีแบ่งเค้ก ให้ทุกคนที่ได้รับพึงพอใจ ซึ่งเป็นประเด็นที่ขึ้นกับบุคคล เพราะคนบางคนถึงจะได้อะไรไปก็ never enough

หลักการทางจิตวิทยาที่จำเป็นต้องนำมาใช้ในการแบ่งเค้กให้ทุกคนพอใจนั้น ขึ้นกับความจริงที่ว่า คนเราตามปกติมักจะเห็นคุณค่าของสิ่งเดียวกัน ไม่เท่ากัน และความแตกต่างในด้านความคิดเห็นนี้ ได้ช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถหาวิธีการแบ่งเค้กให้ทุกคนรู้สึกว่าวิธีที่ใช้นั้นมีความเป็น “ธรรม”

เมื่อ 50 ปีก่อน S.J. Brams แห่งมหาวิทยาลัย New York และ A.D. Taylor แห่ง Union College ในรัฐ New York ประเทศสหรัฐอเมริกา ได้เสนอวิธีแบ่งเค้กให้คนตั้งแต่สองคนขึ้นไป รู้สึกพอใจในส่วนที่ได้รับ


โดยใช้หลักการว่า ตามปกติเค้กมักได้รับการตกแต่งด้วยครีม และอาจจะมีการประดับประดาด้วยคำอวยพรที่เป็นตัวอักษร ดอกไม้ หรือผลไม้ เช่น ลูกชุบหรือลูกเชอรี่ ผู้รับเค้กบางคนชอบกินส่วนที่มีผลไม้ แต่บางคนไม่ชอบ ดังนั้นผู้ตัดแบ่งจึงต้องคำนึงถึงความต้องการของคนที่จะกินด้วย เพื่อความง่ายในการเข้าใจกลวิธีแบ่งเค้กที่เป็นธรรม จะยกตัวอย่างกรณีเค้กที่ไม่มีอะไรประดับเลย หลักการที่ Brams กับ Taylor นำมาใช้ในการแบ่งเค้ก เพื่อให้คนทั้งสองพอใจ คือ ให้คนหนึ่งเป็นคนตัดแบ่ง แล้วให้อีกคนหนึ่งเป็นฝ่ายเลือกก่อน

ดังนั้นคนแรกก็จะใช้มีดแบ่งเค้กในลักษณะที่คิดว่า ทั้งสองชิ้นส่วนนั้นมีขนาดเท่าเทียมกันทุกประการ แต่ในสายตาของคนที่สองอาจจะเห็นความไม่เท่าเทียม ดังนั้นเมื่อเห็นว่าเค้กทั้งสองชิ้นมีขนาดไม่เท่ากัน คนที่สองก็จะหยิบชิ้นที่ตนคิดว่ามีขนาดใหญ่กว่าไป และรู้สึกเป็นสุขใจ แต่ในสายตาของคนแรก เค้กทั้งสองชิ้นมีขนาดเท่ากันทุกประการ ดังนั้นใครจะหยิบชิ้นใดก่อนก็เหมือนกัน ด้วยเหตุนี้เขาก็จะรู้สึกแฮปปี้เหมือนกัน

แต่สำหรับกรณีการแบ่งเค้กระหว่างคนสามคน เพื่อให้ทั้งสามคนรู้สึกพึงพอใจนั้นมีลีลาและขั้นตอนเพิ่มอีกเล็กน้อย เช่น สมมติว่าต้องจัดการแบ่งเค้ก ให้ ก ข และ ค ทั้งสามคนพึงพอใจ เมื่อเริ่มต้น Brams และ Taylor ได้เสนอให้ ก เป็นคนตัดแบ่ง ดังนั้นในสายตาของ ก เค้กทั้งสามชิ้นต่างก็มีขนาดเท่ากัน จากนั้นก็ให้ ข เป็นคนพิจารณาเลือกก่อน และถ้า ข เห็นว่าในบรรดาเค้กทั้งสามชิ้น มีชิ้นหนึ่งที่มีขนาดใหญ่กว่าอีกสองชิ้น ก็ให้ ข ใช้มีดตัดเล็มเค้กชิ้นนั้น จนกระทั่งเห็นว่ามีขนาดใหญ่เท่ากับชิ้นที่มีขนาดใหญ่เป็นอันดับสอง จึงเป็นว่าในขณะนี้มีเค้กสองชิ้นที่ยังไม่ถูกตัดแบ่งแต่อย่างใด และมีหนึ่งชิ้นที่ถูกตัดเล็มต่อ จากนั้นให้ ค เป็นคนเลือก และเมื่อ ค หยิบชิ้นหนึ่งไปแล้วก็ให้ ข เป็นคนเลือกในลำดับถัดไป และถ้า ค เลือกชิ้นที่ถูกตัดเล็มก็แล้วไป แต่ถ้า ค ไม่เลือกชิ้นที่ถูกตัดเล็ม ข ต้องเลือกชิ้นนั้น แล้วให้เค้กชิ้นที่เหลือแก่ ก ด้วยวิธีการเช่นนี้ ทั้งสามคนจะแฮปปี้

เพราะเหตุว่า ค จะรู้สึกพอใจที่ได้เป็นคนเลือกก่อน และตนก็ได้ชิ้นที่ใหญ่ที่สุด
ส่วน ข ก็พอใจ เพราะจากเค้กที่เหลือสองชิ้น เขาได้รับชิ้นที่มีขนาดเท่ากับชิ้นที่ ใหญ่ที่สุด

ด้าน ก ก็พอใจ เพราะเขาได้ชิ้นที่ไม่ถูกตัดเล็มอะไรเลย และเมื่อเขาคิดว่า ตนได้แบ่ง เค้กให้มีขนาดใหญ่เท่ากันทุกชิ้นแล้ว ก ก็อาจจะรู้สึกว่า ชิ้นที่ ข ได้ไปนั้นมีขนาด เล็กกว่าชิ้นที่ตนได้ด้วยซ้ำไป

ในที่สุด Brams และ Taylor ก็ได้เสนอสูตรการแบ่งเค้กในกรณีที่ต้องแบ่งเป็น 5, 9, 17…… ชิ้น ให้คน 5, 9, 17…… คนพอใจด้วย

แต่ในชีวิตจริง กรณีการแบ่งสินสมรสจะยุ่งยากยิ่งกว่าการแบ่งเค้กมาก เพราะทรัพย์สินทุกชิ้นในสายตาของสามี/ภรรยามักมีคุณค่ามากหรือน้อยไม่เท่ากัน ดังนั้น Brams และ Taylor จึงได้เสนอวิธีแบ่งโดยให้สามี-ภรรยา ต่างคนต่างตีราคาของทรัพย์สินทุกชิ้น แต่ได้กำหนดราคาทรัพย์สินทั้งหมดเป็น 100 คะแนน จากนั้นก็นำตารางผลการประเมินของทั้งสองคนมาเทียบเคียงกัน

ยกตัวอย่างกรณีที่คู่กรณีมีสินสมรส ซึ่งประกอบด้วยของ 3 ชิ้น คือ บ้าน รถ และเงินสด สมมติว่าความสำคัญของสินสมรสแต่ละชิ้นในสายตาของสามี และภรรยาคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ดังตารางข้างล่าง คือ


ดังนั้น ถ้าเราใช้เกณฑ์ตัดสินว่า คนที่ให้ความสำคัญกับของที่ประเมินชิ้นใดยิ่งกว่า ก็จะเป็นคนที่ได้ของชิ้นนั้นไปครอบครอง ด้วยเหตุนี้ตามเกณฑ์ที่กำหนด สามีก็จะได้บ้าน ในขณะที่ภรรยาจะได้รถและเงินฝากในธนาคาร เพราะสินสมรสแต่ละชิ้นดังกล่าว ในสายตาของคนทีได้ไปมีน้ำหนักและค่ามากกว่าในสายตาของอีกคนหนึ่ง แต่ข้อเสียของการแบ่งสินสมรสแบบนี้ คือ ภรรยาอาจจะรู้สึกไม่พอใจอยู่ดี เพราะในกรณีที่ยกมานี้ ภรรยาจะได้ทรัพย์สมบัติไป 30+10=40 ส่วน จาก 100 ส่วน และสามีจะได้ไป 70 ส่วน จาก 100 ส่วน

หรือในกรณีที่สามีกับภรรยาประเมินค่าของสมบัติ โดยให้ราคาเท่ากันทั้งสองคน เกณฑ์การมอบสิ่งนั้นให้แก่ใคร ให้ยึดตามหลักการว่า คนที่ได้คะแนนทั้งหมดน้อยกว่า จะได้ของสิ่งนั้นไปครอบครอง ดังตัวอย่างต่อไปนี้


ในกรณีนี้ ทั้งสามีและภรรยาให้ค่าของสมบัติ G เท่ากัน คือ 15 แต่ถ้าใช้เกณฑ์ สามีก็จะได้สมบัติ G ไป เพราะว่าจากเกณฑ์ที่กำหนด สามีได้สมบัติ B, C, D และ F ไปแล้ว รวมคะแนนทั้งหมดเท่ากับ 45 ส่วนภรรยาได้สมบัติ A กับ E ไป รวมคะแนน 61 ดังนั้น สามีจึงได้คะแนนน้อยกว่า B ด้วยเหตุนี้ เมื่อได้สมบัติ G มา คะแนนของสามีก็จะเป็น 60 พอ ๆ กับคะแนนของภรรยาที่ได้ 61

หลักการที่ต้องกำหนดความสำคัญของสิ่งต่าง ๆ ในการแบ่งแบบนี้ อาจนำไปใช้ในการแบ่งผลประโยชน์ทางการเมือง และการต่อรองเรื่องงบประมาณต่าง ๆ ได้ด้วย เช่น เมื่อ Brams ได้ใช้วิธีการนี้วิเคราะห์สนธิสัญญา Camp David ที่นายกรัฐมนตรีอียิปต์กับอิสราเอลได้ตกลงกันเมื่อปี 1978 รายงานการวิจัยของเขาได้ถูกนำออกเผยแพร่ในวารสาร Conflict Management and Peace Science และได้ทำให้คนสนใจใช้วิธีการนี้ในการแก้ปัญหากรณีพิพาทดินแดนระหว่างจีนกับบรรดาประเทศต่างๆ ในทะเลจีนใต้ เช่น ในกรณีหมู่เกาะ Spratlys ซึ่งประกอบด้วยเกาะเล็กเกาะน้อยเป็นจำนวนมากถึง 230 เกาะ เพื่อหาข้อยุติว่าประเทศใดควรจะได้เกาะใดไปครอบครอง แต่ปรากฏว่า เทคนิคการวิเคราะห์ของเขาทั้งสอง ไม่ได้เป็นที่ยอมรับโดยผู้นำทั้งของจีนและฟิลิปปินส์

คนไทยเราก็มีนิสัยชอบแบ่ง “เค้ก” และแจก “กล้วย” เพื่อใช้ในการกำหนดตำแหน่ง และผลประโยชน์ต่างๆ เช่นกัน


นอกจากปัญหาการตัดแบ่งเค้กแล้ว วงการคณิตศาสตร์ก็ยังมีปัญหาการแบ่งพิซซ่าด้วย หรือที่เรียกว่าการคาดการณ์พิซซ่า (The Pizza Conjecture)

ตามปกติเวลาเรากับเพื่อนออกไปกินข้าวเที่ยงในตอนกลางวัน นั่นเป็นเวลาพักผ่อนสำหรับทุกคนที่จะได้กินอาหารที่ตนโปรด และดื่มเครื่องดื่มที่ตนชอบ แต่ในกรณีของ Rick Mabry และ Paul Deiermann ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ จากมหาวิทยาลัย Louisiana State ที่เมือง Shreveport ในประเทศสหรัฐอเมริกา เวลาสั่งพิซซ่ามากิน เขาทั้งสองได้ทำให้โจทย์การแบ่งพิซซ่าเป็นปัญหาคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจมาก โดยได้แปลงโจทย์การแบ่งพิซซ่าธรรมดา ๆ ที่เส้นตัดแบ่งต้องผ่านจุดศูนย์กลางของพิซซ่า และให้เส้นแบ่งสองเส้นที่อยู่ใกล้กันทำมุมเท่ากันโดยตลอด การแบ่งลักษณะนี้จะไม่มีปัญหาใด ๆ แต่ปัญหาพิซซ่าจะมีความน่าสนใจตรงที่ถ้าเส้นตัดแบ่งทุกเส้นไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของพิซซ่า แต่ก็ให้มุมระหว่างเส้นตัดสองเส้นที่อยู่ใกล้กันมีค่าเท่ากัน ปัญหานี้ได้ทำให้ผู้ที่จะบริโภคพิซซ่าให้ได้มากที่สุดต้องคำนึงถึงเทคนิคและเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ในหลายประเด็น


รูปที่ 1 คือ กรณีที่จุดตัดและจุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่บนเส้นตัดแบ่งเดียวกัน ไม่ว่าจะมีกี่เส้นตัด พื้นที่ทั้งหมดที่เป็นสีชมพูจะเท่ากับพื้นที่สีขาวเสมอ

รูปที่ 2 คือ การตัดในกรณีที่เส้นตัดมีทั้งหมด 4 เส้น จุดตัดและจุดศูนย์กลางของพิซซ่าไม่ได้เป็นจุดเดียวกัน พื้นที่ทั้งหมดที่เป็นสีชมพูจะเท่ากับพื้นที่ทั้งหมดที่เป็นสีขาวเสมอ

รูปที่ 3 คือ การตัดในกรณีที่เส้นตัดมีทั้งหมด 3 เส้น จุดตัดและจุดศูนย์กลางของพิซซ่าไม่ได้เป็นจุดเดียวกัน พื้นที่ทั้งหมดที่เป็นสีขาวจะมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดที่เป็นสีชมพูเสมอ เพราะ จุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่ในพื้นที่สีขาว

รูปที่ 4 คือ การตัดในกรณีที่เส้นตัดมีทั้งหมด 5 เส้น จุดตัดและจุดศูนย์กลางของพิซซ่าไม่ได้เป็นจุดเดียวกัน พื้นที่ทั้งหมดที่เป็นสีชมพูจะมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดที่เป็นสีขาวเสมอ เพราะ จุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่ในพื้นที่สีชมพู
ภาพจาก New Scientist

หลังจากทีได้ใช้เวลานาน 11 ปี ในการศึกษาเรื่องนี้ ในที่สุด Mabry กับ Deiermann ก็ได้ผลสรุปว่า
ในกรณีที่จุดตัดร่วมของเส้นแบ่งทุกเส้นกับจุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน สมมติว่ามีเส้นตัด 3 เส้น ซึ่งแบ่งพิซซ่าออกเป็น 6 ชิ้น คือ ชิ้นที่ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 เรียงกันไป ถ้าให้ A เลือกชิ้นที่ 1, 3, 5 และ B เลือกชิ้นที่ 2, 4, 6 ก็จะพบว่า พื้นที่ทั้งหมดของพิซซ่าที่ A และ B เลือก จะมีค่าเท่ากันเสมอ
แต่ในกรณีที่จุดศูนย์กลางของพิซซ่ามิได้อยู่บนเส้นตัดที่ผ่านจุดตัดร่วม การเลือกให้ได้พื้นที่เท่ากันจะเป็นไปไม่ได้เลย เพราะพื้นที่ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับจำนวนเส้นตัด

เช่น ในกรณีที่มีเส้นตัด 3 เส้น ซึ่งทำให้ได้พิซซ่า 6 ชิ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ถ้าคนเลือกพิซซ่าชิ้นที่มีจุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่ด้วยเป็นชิ้นที่ 1 แล้วเลือกชิ้นที่ 3 และ 5 ต่อไป เขาก็จะได้พิซซ่าพื้นที่มากกว่าคนที่เลือกชิ้นที่ 2, 4 และ 6 เสมอ และในกรณีที่มีเส้นตัด 7, 11, 15, … เส้นก็เช่นกัน ผลการคำนวณได้แสดงว่าคนที่เลือกชิ้นที่มีจุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่ด้วย ก็จะได้กินพิซซ่าในปริมาณมากกว่าเสมอไป

สำหรับการเลือกตัดพิซซ่าที่มีจำนวนเส้นเป็นเลขคู่ที่มากกว่า 4 ขึ้นไป คือ 4, 6, 8, … ผลการคำนวณแสดงว่า ไม่ว่าใครจะเลือกก่อนหรือเลือกหลัง ก็จะได้พื้นที่ของพิซซ่าในปริมาณที่เท่ากันเสมอ

แต่สำหรับการตัดพิซซ่าที่มีเส้นตัด 5, 9, 13, 17, … เส้น คนที่เลือกก่อน โดยให้ชิ้นที่ 1 มีจุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่ภายใน เขาก็จะได้พิซซ่าในปริมาณที่มากกว่าเสมอไป

หลักการง่าย ๆ ในการเลือกบริโภคพิซซ่าระหว่างคนสองคน ที่จะช่วยให้ได้เปรียบ คือ ให้เลือกชิ้นที่มีจุดศูนย์กลางของพิซซ่าอยู่ภายในเป็นชิ้นแรก แล้วผลสุดท้ายก็คือเขาจะได้บริโภคพิซซ่ามากกว่าเพื่อนทุกครั้งไป
พัฒนาการขั้นต่อไปของโจทย์พิซซ่านี้ก็คือ ถ้ามีคน 3, 4, 5, … แล้วจะให้ทุกคนได้กินพิซซ่าในปริมาณที่เท่ากัน โดยให้เส้นแบ่งทุกเส้นไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของพิซซ่า คนเลือกคนแรกควรจะเลือกอย่างไร จึงจะได้กินพิซซ่ามากที่สุด และถ้าพิซซ่าเป็นรูปวงรีแทนที่จะเป็นรูปวงกลม การตัดแบ่งในกรณีต่าง ๆ ควรจะทำอย่างไร

อ่านเพิ่มเติมจาก “Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results” โดย Rick Mabry และ Paul Deiermann ใน American Mathematic Monthly Vol 116 หน้า 423-431 ปี 2009


ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน - ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย

อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์