Jerome Cardan นักพนันนอกรีตผู้ปูทางให้ฟิสิกส์ควอนตัมถือกำเนิด

เมื่อวันที่ 8 กันยายน ค.ศ.1526 อันเป็นวันคล้ายวันประสูติของพระแม่มาเรีย ซึ่งเป็นพระมารดาในพระเยซูเจ้า Girolamo Cardano (หรือ Jerome Cardan ถ้าเป็นชื่อในภาษาอังกฤษ) ได้ไปเล่นไพ่การพนันอยู่ที่บ้านของสมาชิกวุฒิสภา Thomas Lezun ในเมือง Venice แทนที่จะไปโบสถ์สวดมนตร์อ้อนวอนขอพรจากพระเจ้าเหมือนชาวบ้านคนอื่นๆ

การมีพฤติกรรม “นอกรีต” เช่นนี้ เพราะเขาไม่มีพระเจ้าในจิตใจ และคิดว่าความรู้คณิตศาสตร์เรื่องโอกาสความเป็นไปได้ (ไม่ใช่พระเจ้า) เท่านั้นที่จะช่วยให้เขาชนะการพนัน เพราะเขากำลังต้องการเงินมาใช้ในการดำรงชีวิต ทั้งๆ ที่จบการศึกษาด้านแพทย์ศาสตร์ แต่ไม่สามารถประกอบอาชีพรักษาคนไข้ได้ เพราะวิทยาลัยแพทย์ศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Milan ได้ปฏิเสธที่จะให้ใบประกอบโรคศิลป์แก่เขา เพราะบิดามารดาของ Cardano มิได้จดทะเบียนสมรสกัน ดังนั้นเขาจึงเป็นบุคคลนอกกฎหมายในสายตาของสังคมสมัยนั้น ที่มักถูกเหยียดหยามย่ำยี เพราะมีฐานะยากจน (แต่เวลามั่งมีเขาก็ถูกผู้คนอิจฉา)

Cardano เกิดเมื่อวันที่ 24 กันยายน ค.ศ.1501 (ตรงกับรัชสมัยสมเด็จพระรามาธิบดีที่ 2 ในสมัยอยุธยา) ที่เมือง Pavia ในอิตาลี บิดามีอาชีพเป็นทนายในเมือง Milan ผู้รู้จัก Leonardo da Vinci เป็นอย่างดี เมื่อ Leonardo วาดภาพ The Last Supper บนผนังของโบสถ์ Santa Maria delle Grazie เสร็จใหม่ๆ Cardano กับบิดาก็ได้แวะไปดูภาพด้วย

ตามปกติ Cardano ชอบเล่นการพนัน ทั้งไพ่ ลูกเต๋า ตามสถานที่ขายสุรายาเมา และมีความคิดจะใช้คณิตศาสตร์ช่วยในการทำนายแต้มของลูกเต๋าตั้งแต่ 2 ลูกขึ้นไปเวลาทอดพร้อมกัน เพื่อจะได้รู้โอกาสที่ตนจะชนะ ซึ่งการคิดเช่นนี้เป็นเรื่องที่สังคมในสมัยนั้นคิดว่าเป็นไปไม่ได้ เพราะคิดว่า พระเจ้าองค์เดียวเท่านั้นที่จะรู้ ว่าหน้าของลูกเต๋าควรจะเป็นเลขอะไร ทั้งนี้เพราะพระเจ้าทรงเป็นผู้วางแผนสำหรับทุกสิ่งทุกอย่าง ดังนั้นจึงไม่มีใครที่จะรู้พระทัยของพระองค์ว่าจะให้ลูกเต๋าออกหน้าใด ดังนั้นการที่ Cardano อ้างว่าสามารถรู้เรื่องโอกาสความเป็นไปได้ จึงเป็นการอ้างที่เหนือจริง

Cardano ได้ครุ่นคิดเรื่องการหาโอกาสความเป็นไปได้ที่จะได้แต้มต่างๆ จากการทอดลูกเต๋าหลายลูก และได้เขียนบันทึกเหตุการณ์ที่ทำให้เกิดแนวคิดนี้ลงในหนังสือ The Book on Games of Chance โดยได้ให้คำจำกัดความของโอกาสความเป็นไปได้ว่า เป็นอัตราส่วนระหว่างจำนวนครั้งที่เหตุการณ์นั้นอุบัติต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เช่น ในกรณีลูกเต๋าที่มี 6 หน้า เพราะหน้าทั้ง 6 มีเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 ดังนั้นถ้าลูกเต๋ามีรูปร่างสมมาตร และคนทอดลูกเต๋าไม่ลำเอียงเวลาทอด ทุกคนก็จะพบว่า หน้าทั้ง 6 ของลูกเต๋ามีโอกาสจะปรากฏเท่ากัน คือ 1/6

คำถามที่ Cardano สนใจคือ ถ้ามีการทอดลูกเต๋า 2 ลูกที่เหมือนกันทุกประการ โอกาสที่จะได้แต้มรวมต่างๆ เช่น 7 มีค่าเท่าไร

เพราะเขารู้ว่าโอกาสที่เหตุการณ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้มีค่า = 6 x 6 = 36 โอกาส และโอกาสที่ผู้เล่นจะได้คะแนนรวม 7 นั้น มีรูปแบบต่างๆ ดังนี้คือ (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4) และ (4, 3) รวม 6 รูปแบบ โดยตัวเลขในวงเล็บแสดงแต้มที่ออกของลูกเต๋าทั้งสองลูก คือ (ลูกแรก, ลูกที่สอง)

ดังนั้นโอกาสที่จะได้ 7 แต้ม จึงมีค่า 6/36 = 1/6

ในขณะที่โอกาสจะได้ 9 แต้มมีค่า = 4/36 = 1/9 ด้วยวิธีการคิดที่คล้ายคลึงกัน

นั่นคือ Cardano ได้พบว่า ในการโยนลูกเต๋า 2 ลูก โอกาสที่แต้มรวมจะเป็น 7 มีค่ามากกว่าโอกาสที่แต้มรวมจะเป็น 9 เมื่อรู้โอกาสต่างๆ เช่นนี้ Cardano ก็จำค่าของโอกาสเวลาเขาเล่นการพนัน ทำให้มีเงินทองพอที่จะเสียค่าเล่าเรียนแพทย์ที่มหาวิทยาลัยได้ และได้บันทึกหลักการ ความคิด และความรู้ที่เขาพบลงในหนังสือ Liber de Ludo Aleae (The Book on Games of Chance) จากนั้นก็ได้พัฒนาเรื่องการคำนวณโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ในกรณีที่ระบบมีสมาชิกเป็นจำนวนมากด้วย

แต่ Cardano ก็ไม่ได้ร่ำรวยจากการพนัน เพราะวงการมีการทุจริตกันมาก เขาจึงต้องหารายได้เสริมจากการดูหมอ และดูลายมือของเศรษฐีคนมีฐานะ รวมถึงเขียนตำราแพทย์ขายด้วย

การมีนิสัยก้าวร้าวและปากร้าย เพราะเป็นคนมีปมด้อยที่เกิดเป็นลูกนอกสมรสทำให้ Cardano มีศัตรูมากมาย และเมื่อตำราแพทย์ของ Cardano ชื่อ The Methods of Healing และ On the Bad Practice of Medicine in Common Use กล่าวเยาะเย้ยถากถางวิธีรักษาของแพทย์คนอื่นๆ Cardano จึงมีศัตรูในแทบทุกวงการ

ในช่วงเวลาที่ Cardano กำลังเป็นแพทย์นั้น เขาได้อ่านตำราคณิตศาสตร์ของชาวอาหรับชื่อ Omar Khayyam ที่มีคนแปลเป็นภาษาละติน และรู้สึกสนใจวิธีการแก้สมการของ Khayyam มาก จึงได้พัฒนาเทคนิคการแก้สมการกำลังสอง และกำลังสามที่มีรูปแบบเป็น ax² + bx = c และ dx³ + ex² + fx = g เมื่อ a, b, c, d, e, f และ g เป็นจำนวนเต็ม และ x เป็นจำนวนที่ไม่ทราบค่า โดยเขียนเป็นตำราพีชคณิต The Great Art (Ars Magna) ซึ่งปัจจุบันนับว่ายิ่งใหญ่ระดับตำรา De Revolutionbus Orbium Coelestium ของ Nicolaus Copernicus กับตำรา De Humani Corpois Fabrica Libri Septem ของ Vesalius ผลงานนี้จึงทำให้มีชื่อเสียงมาก

ในการแก้สมการกำลังสองที่มีโจทย์ให้แบ่งเลข 10 ออกเป็นสองจำนวน โดยให้ผลคูณของเลขทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากับ 40

Cardano ได้กำหนดให้ จำนวนนั้นเป็น x ดังนั้น อีกจำนวนหนึ่งจึงมีค่า 10-x

จากเงื่อนไข x(10 - x) = 40

ทำให้ได้สมการกำลังสอง x² – 10x + 40 = 0

และใช้สมการ ax² + bx + c = 0 ทำให้ได้

x = ( -b ±√  b² - 4ac  ) /2a

และพบว่า x มี 2 ค่าคือ x₁ = 5 + √  - 15  

15 กับ x₂ = 5 - √  - 15  


แต่ Cardano ไม่รู้ความหมายของ √  - 15  
ว่าคือ อะไร เพราะในเวลานั้น ไม่มีใครรู้จัก รากที่สองของจำนวนลบ แม้จะไม่เข้าใจความหมายแต่ Cardano ก็ยังเก็บคำตอบส่วนนี้ไว้ เพราะสิ่งที่เขาได้ คือ คำตอบ เพราะ x₁ + x₂ = 10

และ x₁ x₂ = (5+ √  - 15   ) (5 - √  - 15   ) = 25 – (-15) = 40 ตามที่โจทย์กำหนดทุกประการ

ปัจจุบันนักคณิตศาสตร์เรียก √  - 15   = √  15i  

เป็นจำนวนจินตภาพ เพราะ i² = 1 และ i = √  - 1  

แต่ Cardano เรียกจำนวนสมมติ (fictitious number)

และวิศวกรใช้ i ในการวิเคราะห์การทำงานของวงจรไฟฟ้า ส่วนนักฟิสิกส์ใช้ i ในการศึกษาสมการคลื่นของ Schroedinger ในกลศาสตร์ควอนตัม

ดังนั้นการพบ i และการศึกษาเรื่องโอกาสความเป็นไปได้ ซึ่งเป็นหลักการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในฟิสิกส์ควอนตัม ได้ปูเส้นทางให้วิชาฟิสิกส์ควอนตัมได้ถือกำเนิดในอีก 380 ปีต่อมา

นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ปัจจุบันมักไม่รู้จัก Cardano เพราะ Cardano ไม่ได้ยิ่งใหญ่เท่า Carl Gauss และ David Hilbert แต่ชีวิตของ Cardano มีดราม่ายิ่งกว่านักคณิตศาสตร์คนใดๆ ทั้งหมด

เพราะมารดาเป็นคนที่สังคมรังเกียจ เธอจึงมักระบายอารมณ์แค้นกับลูกชายโดยการทุบตีบ่อย และพร่ำบอกว่า ไม่ได้ต้องการให้ Cardano เกิดมา เมื่อเติบใหญ่ เขาถูกบิดาใช้งาน โดยให้แบกหามสัมภาระหนัก แทนที่จะจ้างกรรมกร เพราะต้องการจะประหยัดเงิน แต่ในที่สุดก็ได้หยุดทำร้ายลูกชาย เพราะตระหนักว่า ถ้าลูกชายตาย ก็จะต้องเสียเงินจ้างคนมาแบกหามแทน

เมื่อมีครอบครัว ลูกชายคนโตของ Cardano ถูกประหารชีวิต เพราะเป็นฆาตกรฆ่าภรรยาที่นอกใจ และลูกชายคนรองเป็นอันธพาลที่ติดคุกบ่อย เพราะชอบทำโจรกรรมทรัพย์สินของชาวบ้านและของบิดา เมื่อถูกจับได้หลายต่อหลายครั้ง เขาได้บอกศาลศาสนาว่าบิดาเป็นคนนอกรีต จึงได้รับรางวัลตอบแทนจากตำรวจให้เป็นเพชฌฆาตประจำคุกในเมือง Bologna ด้านลูกสาวของ Cardano ได้ประกอบอาชีพเป็นโสเภณี และเสียชีวิตด้วยโรค syphilis

ในปี 1570 อาชีพโหรของ Cardano ได้นำมาซึ่งเคราะห์กรรม เพราะเขาถูกศาลพิพากษาลงโทษที่ Bologna ด้วยเหตุผลว่า เขาได้ผูกดวงของพระเยซู และนำคำพยากรณ์เสนอต่อองค์สันตะปาปา Paul ที่ 3 ซึ่งทรงพอพระทัยมาก เพราะดูเป็นเหตุเป็นผล แต่เมื่อถึงยุคของสันตะปาปา Pius ที่ 5 พระองค์กลับทรงกริ้วมาก เพราะพระองค์ทรงไม่โปรดเรื่องโหราศาสตร์ และทรงคิดว่าอาชีพนี้เป็นอาชีพผิดกฎหมาย เพราะโหรชอบหากินกับการอ้างว่าตำแหน่งของดาวต่างๆ บนฟ้าสามารถกำหนดชะตาชีวิตของคนบนโลกได้ และถ้าเป็นเช่นนั้นจริง พระเจ้าก็ไม่มีบทบาทใดๆ ในการกำหนดวิถีชีวิตของใครเลย

หลังจากที่ถูกจำคุกได้นาน 3 เดือน Cardano ก็ได้รับการปล่อยตัว แต่ยังถูกกักบริเวณ และถูกห้ามมิให้สอนหนังสือ ถูกห้ามตีพิมพ์เผยแพร่ผลงานทุกรูปแบบ และถูกห้ามมิให้บอกใครว่า ตนถูกจับกุมด้วยเหตุผลใด เขาจึงไม่มีเสรีภาพที่แท้จริงเป็นเวลา 5 ปี

การเป็นบุคคลต้องห้าม ทำให้ไม่มีเพื่อน ที่จะเข้ามาสุงสิง ชื่อเสียงต่างๆ ที่เคยมีการก็เริ่มหดหาย เมื่อความลำบากมีมากขึ้นๆ Cardano จึงทูลขอให้องค์สันตะปาปาทรงเมตตา และพระองค์ทรงประทานเงิน “จำนวนหนึ่ง” ให้ Cardano ใช้ในการดำรงชีพ

ในปี 1575 Cardano เริ่มเขียนอัตชีวประวัติชื่อ De Vita Propria Liber (The Book of My Life) ที่มีเนื้อหาครบทุกรส ทั้งความดีใจ เสียใจ ความสำเร็จ ความล้มเหลวในการเป็นพ่อ ความฝัน คำสารภาพบาป รวมถึงคำขออภัย และใช้เวลาว่างจากการเรียบเรียงหนังสือไปเล่นการพนันที่ตนติดงอมแงม เมื่อพบว่าเพื่อนที่เล่นด้วยกำลังโกงตน โดยการทำเครื่องหมายที่ไพ่ อารมณ์แค้น ทำให้ Cardano โกรธมากจึงกระซวกแทงเพื่อนที่แก้มแล้วหายไปซ่อนตัวหนีคดี จนถึงวันที่ 21 กันยายน ค.ศ.1576 Cardano วัย 75 ปีก็เสียชีวิต ตรงตามวันที่เขาเคยทำนายไว้ เพื่อนบางคนคิดว่า เขาฆ่าตัวตายด้วยการอดอาหาร เพื่อให้คำพยากรณ์ถูกต้อง

ศพถูกนำไปเผาที่โบสถ์ Augustino ในเมือง San Marco และผลงานเกือบถูก “ลืม” แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้ว เขามีผลงานที่โดดเด่นมาก คือ พบวิธีแก้สมการกำลังสาม ax³ + bx² + cx + d = 0 เมื่อ a, b, c, d เป็นเลขจำนวน (เต็มหรือไม่เต็มก็ได้)

และถ้าให้ x = y – b/3a ซึ่งเมื่อแทนลงในสมการเดิม จะลดรูปเป็น y³ = py + g

โดยที่ p = b² /3a² – c/a
และ q = bc/3a² – 2b³/27a³ – d/a
จากนั้นให้ r = (q/2)< sup>2 – (p/3)³ ซึ่งเมื่อนำไปแทนค่าในสมการกำลังสามของ y จะได้คำตอบหนึ่งคือ

x= 3 √  q/2   + √  r   + 3 √  q/2  - √  r   - b/3a

อ่านเพิ่มเติมจาก Girolamo Cardano: The Book of My Life แปลโดย Jean Stoner พิมพ์โดย New York Review Books ปี 2002

เกี่ยวกับผู้เขียน สุทัศน์ ยกส้าน

ประวัติการทำงาน-ราชบัณฑิต สำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์ ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ, นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน, ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย

อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" จาก "ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน" ได้ทุกวันศุกร์