ในปี 2351 Germain วัย 32 ปี ได้เขียนจดหมายถึง Gauss ผู้มีอายุน้อยกว่าอีกครั้งหนึ่ง และได้เล่าผลงานด้านทฤษฎีจำนวนที่นับว่าสำคัญมากของเธอ เพราะเธอสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรณีสมการ x5+y5 = z5 ที่มี x, y, Z เป็นเลขจำนวนเต็ม เราจะพบเสมอว่า ไม่ x ก็ y หรือ z เป็นเลขที่ 5 หารได้ลงตัวเสมอ
Gauss ไม่ได้ให้ความเห็นใดๆ ต่อผลงานวิจัยชิ้นนี้ เพราะเขาเองเริ่มสนใจดาราศาสตร์แล้ว และไม่สนใจทฤษฎีจำนวนอีกต่อไป แต่ทฤษฎีของ Germain ทฤษฎีนี้ก็ได้รับการอ้างถึงโดย Legendre ในอีก 15 ปีต่อมา ว่า Germain ได้พบว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat เป็นจริง กรณี n=5 ในตำรา Theorie des numbres ของเขา
เท่าที่ผ่านมา Germain ได้อาศัย Gauss ในการแนะนำปัญหาวิจัยเรื่องทฤษฎีจำนวน ถึงแม้จะติดต่อกันนาน แต่คนทั้งสองก็มิเคยพบกัน ดังนั้น เมื่อ Gauss ไม่สนใจทฤษฎีจำนวนอีกต่อไป การติดต่อกันทางจดหมายระหว่างคนทั้งสองจึงสิ้นสุดลง และ Germain ก็ต้องหาปัญหาศึกษาใหม่ รวมทั้งคนชี้แนะใหม่ด้วย
และเธอก็ได้ปัญหา เพราะในปี 2351 Ernst F. F. Chladni นักฟิสิกส์ชาวเยอรมันได้พบว่า เวลาเขาเอาเม็ดทรายโรยบนแผ่นโลหะที่มีลักษณะต่างๆ กัน แล้วทำให้แผ่นโลหะนั้นสั่นด้วยความถี่ต่างๆ เขาได้สังเกตเห็นว่า เม็ดทรายจะขยับเคลื่อนจากบริเวณที่สั่นมากไปอยู่ในบริเวณที่สั่นน้อยกว่า และในเวลาเพียง 2-3 วินาที แผ่นโลหะนั้นก็จะมีกองทรายที่เรียงตัวกันเป็นรูปต่างๆ บ้างก็เป็นวงกลม บ้างก็เป็นวงรี หรือเป็นแฉกแบบดาว ฯลฯ ซึ่งการเป็นรูปอะไรนั้น ก็ขึ้นกับความถี่ที่แผ่นโลหะสั่น และขึ้นกับลักษณะของแผ่นโลหะด้วย และเมื่อ Chladni นำการทดลองนี้ไปแสดงที่สมาคม French Academy of Science ที่กรุงปารีสให้นักคณิตศาสตร์และนักฟิกส์ดู การสาธิตนี้ได้ทำให้คนเหล่านั้นงุนงงมาก เพราะไม่สามารถอธิบายได้ว่า เหตุใดกองทรายจึงเป็นเช่นนั้น และได้ขอร้องให้ Chladni นำการทดลองนี้ไปแสดงต่อหน้าพระที่นั่งของ Napoleon ซึ่งก็ได้ทำให้จักรพรรดิทรงประทับใจมาก จึงได้มีพระราชบัญชาให้ Institute de France จัดตั้งรางวัลเป็นเหรียญ และทองคำหนัก 1 กิโลกรัม เพื่อมอบให้แก่คนที่สามารถสร้างทฤษฎีอธิบายการทดลองของ Chladni ได้ และกำหนดให้การประกวดนี้ใช้เวลา 2 ปี
Germain รู้สึกสนใจปัญหานี้ แต่ไม่มีใครเป็นคู่คิด และเมื่อวัฒนธรรมสตรีในสมัยนั้นกำหนดว่า สตรีจะเดินเข้าไปในสถาบันวิชาการใดๆ ไม่ได้ ถ้าไม่ได้รับเชิญ เธอจึงแทบไม่มีโอกาสพบนักฟิสิกส์หรือนักคณิตศาสตร์ผู้ชายเลย การรู้สถานการณ์เช่นนี้คงทำให้เรา ณ วันนี้เข้าใจดีขึ้นว่า การที่เธอจะเปลี่ยนหัวข้อวิจัยจากคณิตศาสตร์มาเป็นฟิสิกส์ทฤษฎี โดยไม่มีใครช่วยเลยนั้น ยากลำบากเพียงใด
ถึงกระนั้น Germain ก็เริ่มศึกษาปัญหา Chladni โดยได้อ่านตำรากลศาสตร์ชื่อ Analyticel Dynamics ของ Lagrange และทฤษฎีการสั่นของลวด 1 มิติที่ Euler ได้เคยวิเคราะห์ไว้ และเธอก็ได้ความคิดว่า เวลาท่อนเหล็กถูกแรงกระทำ แรงนี้จะถูกต่อต้านโดยแรงยืดหย่ถนในท่อนเหล็ก จึงได้ตั้งสมมติฐานว่า แรงยืดหยุ่นนี้เป็นปฏิภาคโดยตรงกับความโค้งของท่อนเหล็ก (ความโค้ง = 1y/ รัศมีความโค้ง) แต่ท่อนเหล็กเป็นสสาร 1 มิติ ในขณะที่แผ่นโลหะเป็นสสาร 2 มิติ เธอจึงตั้งสมมติฐานว่า ความโค้งที่ต้องใช้ในกรณี 2 มิติ คือความโค้งเฉลี่ยที่ได้จากการเฉลี่ยความโค้งมากที่สุดกับความโค้งน้อยที่สุด
เมื่อทำงานวิจัยเสร็จในปี 2354 Germain เป็นนักวิจัยคนเดียวที่ส่งผลงานเข้าประกวด แต่เธอมิได้รับรางวัลเพราะเธอคำนวณผิด และเพราะเธอมิได้แสดงว่าสมมติฐานที่เธอใช้ในงานวิจัยนั้น เธอใช้หลักการฟิสิกส์ใด ดังนั้น เมื่อกรรมการท่านหนึ่งคือ Lagrange เห็นจุดบกพร่องของ Germain เขาก็ได้ความคิด และแก้ไขความผิดพลาดของ Germain จนพบสมการคณิตศาสตร์ที่ Lagrange อ้างว่า สามารถอธิบายรูปกองทรายที่ Chladni เห็นได้หมด คือ
เมื่อ z คืออัมปลิจูดของการสั่น t คือเวลา k คือค่าคงตัว และ x, y คือตำแหน่งของจุดต่างๆ บนผิวที่กำลังสั่น
Germain ได้พยายามแก้สมการนี้ และส่งผลงานเข้าประกวดอีก โดยเธอได้แสดงให้เห็นว่า สมการของ Lagrange สามารถใช้อธิบายการทดลอง Chladni ได้ ในกรณีง่ายๆ เท่านั้น แต่เมื่อเธอไม่สามารถแสดงให้คณะกรรมการเห็นว่า สมการ Lagrange มาจากไหน เธอก็มิได้รับรางวัลอีก แต่ได้รับประกาศเกียรติคุณแทน
ในช่วงเวลาเดียวกันนั้นเอง ปัญหาวิจัยเรื่องนี้ก็มีนักคณิตศาสตร์หนุ่มชื่อ Simon Denis Poisson เข้ามาสนใจ เพราะ Poisson คนนี้เป็นศิษย์โปรดของ Laplace เขาจึงกลายเป็นคู่แข่งคนสำคัญของ Germain ทั้งนี้เพราะ Poisson เป็นผู้ชาย เขาจึงมีคนหลายคนที่จะช่วยคิด
Poisson เป็นอัจฉริยะนักคณิตศาสตร์คนสำคัญคนหนึ่งของฝรั่งเศสที่ได้เข้าศึกษาใน Ecole Polytechnique ในปี 2341 ขณะมีอายุเพียง 17 ปี และเมื่อสำเร็จการศึกษา อาจารย์ที่ชื่อ Lagrange และ Laplace ก็ได้สนับสนุนให้มหาวิทยาลัยรับ Poisson เป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ประจำมหาวิทยาลัยผู้มีหน้าที่ช่วยนักวิทยาศาสตร์เช่น Laplace และ Berthollet สร้างทฤษฎีฟิสิกส์
Poisson ได้พยายามอธิบายการทดลองของ Chladni โดยใช้กฎการเคลื่อนที่ของ Newton และตั้งสมมติฐานว่า แผ่นโลหะที่สั่นนั้นประกอบด้วยโมเลกุลที่มีทั้งแรงดึงดูด และแรงผลักกระทำ และจากสมมติฐานนี้ Poisson ก็สามารถหาสมการสั่นที่ซับซ้อนมากได้ และเมื่อเขาใช้วิธีประมาณอย่างหยาบ สมการของ Poisson ก็ลดรูปเป็นสมการของ Lagrange ทันที
ในปี 2357 Poisson ได้ตีพิมพ์ผลงานนี้ แต่มิได้ส่งผลงานเข้าประกวดเพื่อรับรางวัล ทั้งนี้เพราะเขาเป็นกรรมการท่านหนึ่งของการประกวด พออีก 1 ปีต่อมา Germain ก็เสนองานวิจัยชิ้นใหม่ ซึ่งเธอสามารถแสดงให้ทุกคนเห็นที่มาของสมการ Lagrange และที่เธอไม่รู้แม้แต่น้อยเกี่ยวกับงานของ Poisson คณะกรรมการรางวัลซึ่งประกอบด้วย Legendre, Laplace ใช้กฎเคลื่อนที่ Newton และสมมติว่า แม้วัสดุนั้นประกอบด้วยโมเลกุลที่ส่งแรงดึงดูด และแรงผลักกระทำกัน+จากสมมติฐานนี้ Poisson ก็สร้างสมการการการเคลื่อนที่ที่มีรูปแบบยุ่งมากมาย แต่เมื่อเขาใช้วิธีประมาณหยาบๆ สมการที่ซับซ้อนของเขาก็กลายรูปแบบสมการของ Laplace ทันที
ในปี 2357 Poisson ตีพิมพ์ผลงานนี้ แต่เขาสามารถส่งผลงานเข้าประกวดเพื่อเอารางวัลได้ และหลายคนคิดว่า Poisson พบทฤษฎีที่ใช้อธิบายรูปลักษณ์การสั่นของ Chladni แล้ว ถึงกระนั้นการแข่งขันการประกวดทฤษฎีก็ยังคงอยู่
ใน 1 ปีต่อมา Germain ที่ไม่รู้เห็น งานของ Poisson ได้สมมติว่า แรงยืดหยุ่น ¥ แรงทำมากกว่าที่ ¥ รูปปริมาณการบิดเบี้ยวของผิว แรงที่จุดๆ หนา ¥ ผลบวกของความโค้งทั้งหมดที่จุดๆ นั้นแล้ว Germain ก็พิสูจน์ให้เห็นว่า ผลบวกของความโค้งมีความสัมพันธ์ได้โดยตรงกับผลบวกของความโค้งมากที่สุดกับความโค้งน้อยที่สุดนั้นด้วย
เธอสามารถแสดงที่มาของสมการ L ได้ว่ามาจากการบวก ความโค้งหลักนี่คือที่เธอเสนอผลงานต่างๆ ที่เธอนำเสนอเพื่อรับรางวัล ซึ่งมีคณะกรรมการที่ประกอบด้วย Legendre, Laplace และ Poisson คนทั้ง 3 ไม่รู้สึกสบายใจกับสมมติฐานของเธอเกี่ยวกับแรง ¥ การบิดโค้งนัก ถึงกระนั้น กรรมการตัดสินให้ Germain ได้รับรางวัลเหรียญทอง
Germani ไม่ได้ไปรับรางวัลด้วยตนเอง เพราะเธอรู้สึกว่า กรรมการไม่ชอบงานของเธอนัก หรือไม่นั้นก็เพราะเธอไม่ต้องการปรากฏเปิดโฉมในสังคม
สำหรับ Germain แล้ว เธอรู้สึกว่ารางวัลให้ความมั่นใจแก่เธอ และสังคมในความสามารถของเธอ แต่สำหรับ Poisson แล้ว เธอเขียนจดหมายสั้นๆ ขอบคุณความคิดของเธอ และพยายามหลบเลี่ยงไม่สนใจเธอเวลาพบหน้ากัน ก่อนนั้นเธอรู้สึกตัวว่าด้อยกว่าคนอื่นๆ ตอนนี้เธอรู้สึกว่า เพื่อนๆ ที่เธอมีไม่ชื่นชมเธอเลย และ Poisson ไม่สบายใจนักเกี่ยวกับสมมติฐานต่างๆ ที่เธอใช้ ถึงกระนั้นคณะกรรมการก็ตัดสินให้เธอได้รับรางวัลเหรียญทอง
Germain มิได้เดินทางไปรับรางวัลด้วยตนเอง เพราะเธอรู้สึกว่าคณะกรรมการไม่ชอบงานวิจัยของเธอนัก และอีกเหตุผลหนึ่งก็คือ เธอเป็นคนขี้อายที่ไม่ชอบการปรากฏตัวในสังคม
การมีคู่แข่งชื่อ Poisson ทำให้ Germain รู้สึกกังวลที่ไม่มีคนชื่นชมความสามารถของเธอมาก แต่เมื่อเธอได้รู้จัก Jean-Baptiste-Joseph Fourier ความกระตือรือร้นที่จะวิจัยคณิตศาสตร์ต่อก็เกิดอีก เพราะคนทั้งสองมีศัตรูคือ Poisson ร่วมกัน การสนิทสนมกับ Fourier ทำให้ Germain หวนคืนสู่สังคมวิชาการอีก โดยได้เข้าไปฟังการบรรยายที่ Academie des Science และเธอก็เป็นสตรีคนแรกที่ได้เข้าไปในสถาบันนั้น ยกเว้นเหล่าภรรยาของสมาชิกสถาบัน
ในปี 2365 Germain ได้หวนกลับไปทำงานวิจัยเรื่องทฤษฎีจำนวนอีก โดยได้ทำงานร่วมกับ Legendre และ Fourier ความมีเสน่ห์ของเธอทำให้เธอมีเพื่อนมากขึ้น
ขณะมีอายุ 48 ปี Germain ได้พบนักคณิตศาสตร์หนุ่มชาวอิตาเลียนคนหนึ่ง และเป็นขุนนางชื่อ Count Libri-Carducci แห่งเมือง Pisa ความกะล่อนและมีเล่ห์เหลี่ยมแพรวพราวทำให้ Libri ได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของ Academy of Sciences และเป็นอาจารย์ของ College de France และเมื่อได้รับแต่งตั้งให้เป็นบรรณารักษ์ห้องสมุดแห่งชาติ Libri ได้ขโมยหนังสือห้องสมุดออกขายจนถูกจับได้ และตำแหน่งต่างๆ ถูกปลดหมด
Germain ได้พบ Libri ที่ปารีส และได้มีสัมพันธ์กันทั้งๆ ที่ Libri มีอายุน้อยกว่าเธอมาก และเมื่อ Germain เสียชีวิตโลกรู้ข้อมูลรายละเอียดต่างๆ เกี่ยวกับชีวิตของ Germain ก็จาก Libri ผู้นี้แหละ
ถึงแม้ Germain จะมีผลงานวิจัยด้านคณิตศาสตร์มากมาย แต่เธอก็ไม่เคยได้รับปริญญาใดๆ ในปี 2373 Gauss ได้เคยขอดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์จากมหาวิทยาลัย Gottingen ในเยอรมนีนี้ให้เธอ แต่มหาวิทยาลัยไม่อนุมัติ
Germain ล้มป่วยด้วยโรคมะเร็งเต้านมเป็นเวลานาน 2 ปี และได้เสียชีวิตเมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2374 ขณะมีอายุ 55 ปี และเจ้าหน้าที่เขียนในมรณบัตรของเธอว่า เธอเป็นสตรีที่ไม่มีอาชีพ
ก่อนที่เธอจะเสียชีวิต เธอได้เขียนบทความวิชาการหลายเรื่องเพื่อลงพิมพ์ในวารสาร General Connderations on Science and Letters โดยได้พยายามอธิบายขั้นตอนการทำงานวิชาการของสมองคน และเมื่อเธอจากไป
เธอได้มอบมรดกทั้งหมดให้หลานชายซึ่งเป็นลูกของพี่สาวเธอเป็นผู้จัดการ ในกรุงปารีส มีการตั้งชื่อถนน และโรงเรียนตามชื่อของเธอ ส่วนบ้านที่เธออยู่บนถนน de Savoie ในช่วงสุดท้ายของชีวิตนั้น ก็คือเป็นสถานที่สำคัญของชาติ แต่เรื่องที่น่าประหลาดใจคือ เมื่อหอ Eiffel สร้างเสร็จได้มีการจารึกชื่อของปราชญ์ฝรั่งเศส 72 คน บนโครงเหล็กของหอ โดยไม่มีชื่อของ Germain ทั้งๆ ที่โครงเหล็กนั้นต้องอาศัยทฤษฎีการยืดหยุ่นของ Germain
ชีวิตของ Germain ผู้เป็นสตรีที่ฉลาดที่สุดคนหนึ่งของฝรั่งเศส จึงเป็นชีวิตตัวอย่าง ทั้งๆ ที่เธอต้องเรียนหนังสือด้วยตนเอง ต้องต่อสู้กับความอคติทางสังคมในสมัยนั้น ที่ไม่เปิดโอกาสให้เธอแสดงออกมาก แต่เธอก็ประสบความสำเร็จในที่สุด
ในหนังสือชื่อ Women in Mathematics ที่ Lynn M. Osen แต่ง และจัดพิมพ์โดย The Massachusetts Institute of Technology ในปี 2517 นั้น มีประวัติของนักคณิตศาสตร์อีกหลายคนที่น่าสนใจ เช่น Caroline Herschel, Mary Fairfax Sumerville และ Emmy Noether ครับ
สุทัศน์ ยกส้าน ผู้เชี่ยวชาญพิเศษ สสวท