ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีสมการในสมัยนั้นมีว่า สมการพีชคณิตที่มีตัวแปรเป็น x และมีสัมประสิทธิ์ของ x ยกกำลังต่างๆ เป็น a, b, c...ซึ่งเป็นเลขจำนวนอะไรๆ ก็ได้ หากการแก้สมการหาค่า x ให้ใช้เพียงวิธีบวก ลบ คูณ หาร หรือถอดกรณฑ์ (root) เท่านั้น เราก็ถือว่าสมการนั้นถอดได้ คือมีสูตรสำเร็จหาค่า x ได้
เช่น ถ้าสมการมีรูปแบบเป็น ax+b = O นี่คือสมการกำลังหนึ่ง เพราะกำลังสูงสุดของ x ในสมการนี้คือ 1. คำตอบสำหรับ x ในสมการนี้คือ x = -b/a
หรือถ้าเรามีสมการกำลังสองที่มีรูปแบบเป็น ax2+bx+c = O สำหรับสมการนี้ นักคณิตศาสตร์ชาว Babylon ได้รู้มานานร่วม 2,000 ปีแล้วว่า x มีค่าเท่ากับ (-b+(b2-4ac)1/2 )/2a และ (-b-(a2-4ac)1/2)/2a
สำหรับกรณีสมการกำลังสามที่มีรูปแบบเป็น x3+bx = c นั้น ในปี พ.ศ. 2088 ยุค Renaissance หนุ่ม Gerolamo Cardano ได้พบว่า คำตอบหนึ่งของ x คือ คำตอบที่แสดงในรูปที่ 3
ส่วนในกรณีสมการ x3+px2+qx+r = 0, Victa ก็ได้พบว่า ถ้าเขาแทนค่า x = y-p/3 เขาจะได้สมการ y3+3by = 2c, ซึ่งสามารถแก้ได้โดยวิธีของ Cardano เมื่อหาค่า y ได้ นั่นก็คือหาค่า x ได้ด้วย
ในกรณีสมการกำลัง 4 ที่มีรูปแบบเป็น x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 = 0 นั้น Ludovico Ferrari นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีก็พบว่า สามารถลดรูปของสมการนี้เป็นสมการกำลัง 3 ที่ไม่มีเทอม x2 ได้ และนั่นหมายความว่า เขาสามารถแก้สมการได้อีกตามวิธีของ Cardano
แต่สำหรับปัญหาขั้นต่อไป คือกรณีสมการกำลัง 5 ที่มีรูปแบบเป็น ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f = 0 Niels Henrik Abel นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์ได้แสดงให้ทุกคนประจักษ์แล้วว่า ไม่มีสูตรหาค่า x ในเทอมของ a, b, c, d, e และ f เลย
คำตอบต่อไปคือ ในกรณีสมการกำลัง n ที่ n มีค่าตั้งแต่ 6, 7, 8...ขึ้นไป สูตรสำเร็จสำหรับหาค่า x มีหรือไม่มี และถ้ามีเงื่อนไขในการหาคำตอบได้จะต้องเป็นเช่นใด
และนี่ก็คือผลงานที่ Galois พิสูจน์ได้เป็นคนแรก และผลพลอยได้ที่เกิดจากผลงานนี้คือ ทฤษฎีกลุ่ม (group-theory) ที่นักเรียนเรียนกันจนทุกวันนี้ และเมื่อ Galois ตั้งใจนำผลงานวิจัยเรื่องทฤษฎีสมการเสนอต่อที่ประชุมวิชาการของ French Academy of Science ในระหว่างวันที่ 25 พฤษภาคม -1 มิถุนายน พ.ศ. 2372 ทั้งๆ ที่เขายังเรียนหนังสืออยู่ชั้นมัธยมปีสุดท้ายที่ Louis-le-Grand และในขณะเดียวกันก็ได้พยายามสอบเข้ามหาวิทยาลัย Ecole Polytechnique อีกเป็นครั้งที่สองด้วย เพราะมหาวิทยาลัยแห่งนี้มีนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ของโลกสอนหลายคนเช่น Cauchy, Fourier, Legendre, Lagrange, Coriolis, Poisson, Jacobi, Laplace, Ampere และ Gay-Lussac ดังนั้น เด็กทุกคนที่ต้องการเป็นนักคณิตศาสตร์ จึงหมายมั่นว่าต้องสอบเข้าที่นี่ให้ได้
แต่ไม่ทันได้สอบ ก็เกิดเรื่องใหญ่คือ บิดาของ Galois ได้ทำอัตวินิบาตกรรมในวันที่ 2 กรกฎาคม พ.ศ. 2372 เพราะถูกใส่ไคล้ว่าได้เขียนจดหมายบริภาษญาติของตน การสูญเสียบิดาโดยอำนาจอธรรมทำให้ Galois เสียใจมาก แต่ก็เข้าสอบ ทั้งๆ ที่สภาพจิตใจไม่พร้อมเลย
และในวันที่สอบสัมภาษณ์นั้น ก็เกิดเรื่องอีก เพราะเมื่ออาจารย์ชื่อ Diner ที่สอบสัมภาษณ์ต้องการให้ Galois อธิบายคุณสมบัติของอนุกรม logarithm หนุ่ม Galois ตอบโดยไม่แสดงวิธีพิสูจน์ให้ดู และอ้างว่าทุกอย่างชัดเจนแล้ว จึงไม่จำเป็นต้องพิสูจน์อีกให้เสียเวลา ทั้งนี้เพราะ Galois ชอบคิดโจทย์ที่ซับซ้อนและยาก ดังนั้น เมื่ออาจารย์ตีจิกในประเด็นที่ไม่ "สลักสำคัญ" Galois จึงรู้สึกรำคาญมากจนถึงกับยกยางลบขว้างหน้าอาจารย์ ผลการสอบก็ชัดเจนตามมาว่า Galois สอบเข้าไม่ได้อีกครั้งหนึ่ง
ความผิดหวัง 2 เรื่องทั้งเรื่องพ่อ และเรื่องสอบไม่ได้ทำให้ Galois เกลียดผู้มีอำนาจ และระบบการปกครอง ระบบการศึกษา ฯลฯ มาก จึงได้ลดความทะเยอทะยานของตนลง โดยไปสอบเข้าที่ Ecole Normale แทนในเดือนพฤศจิกายน พ.ศ. 2372 ผลปรากฏว่า สอบเข้าได้เพราะทำคะแนนคณิตศาสตร์ได้ดีเยี่ยม
ขณะเรียนที่มหาวิทยาลัย Galois ตั้งใจนำงานวิจัยที่ตนทำเสร็จเสนอในที่ประชุมของ Academy of Sciences อันเป็นสถาบันวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดของฝรั่งเศส และสถาบันก็ได้แต่งตั้งให้ Augustin Cauchy นักคณิตศาสตร์เซียนของฝรั่งเศสเป็นผู้ประเมินผลงาน Cauchy สัญญาว่าจะเชิญ Galois มาพูด แต่ลืมเชิญ ซ้ำร้าย Cauchy ทำต้นฉบับงานวิจัยของ Galois หาย
ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2373 Galois นำงานวิจัยที่ทำใหม่อีก 3 ชิ้นเสนอขอรับรางวัล Grand Prize in Mathematics แต่โชคไม่ช่วยอีกเพราะ Jean Baptiste Joseph Fourier ผู้เป็นเลขาของที่ประชุม และเป็นผู้รับเอกสารจาก Galois ทำเอกสารหาย และได้เสียชีวิตลงในวันที่ 16 พฤษภาคม พ.ศ. 2373 โดยยังไม่ทันได้อ่านงานวิจัย และเมื่อไม่มีใครหาต้นฉบับเจอ งานวิจัยของ Galois จึงพลาดรางวัลอย่างน่าเสียดาย
เหตุการณ์ร้ายๆ เช่นนี้ทำให้ Galois รู้สึกเสมือนว่า ตนถูกผู้ใหญ่เช่น Lacroix Fourier, Poisson, Legendre และ Poinsot กลั่นแกล้ง แต่ก็ไม่ท้อแท้ยังวิจัยต่อ จนกระทั่งสามารถรู้เงื่อนไขที่ทำให้สมการไม่ว่าจะมีกำลังเท่าใด มีคำตอบหรือไม่มี โดยวิธีพีชคณิต และนี่ก็คืองานชิ้นสำคัญที่ Galois ได้ทำเสร็จ 1 ปีก่อนที่จะไปดวลปืน
ขณะที่ชีวิตวิชาการกำลังเดินไปได้ด้วยดีนั้น ชีวิตการเมืองของ Galois ก็เริ่มมีบทบาทมากขึ้นๆ เมื่อ Galois ได้สมัครเป็นสมาชิกพรรค Republican ซึ่งเป็นพรรคที่ประชาชนไม่นิยม และเมื่อถึงเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2373 สมเด็จพระเจ้า Charles ที่ 10 แห่งราชวงศ์ Bourbon ทรงถูกเนรเทศทำให้ Cauchy Louis Philippe ได้เสด็จขึ้นครองราชย์แทน เหตุการณ์นี้ทำให้ Galois ผิดหวังมาก เขาจึงชวนเพื่อนๆ ไปเดินขบวนสร้างความโกลาหลในกรุงปารีสบ่อยๆ และเมื่อต้องไปเรียนวิชาทหารในโรงเรียนทหาร เขาได้กล่าวหาผู้บังคับบัญชาของโรงเรียน ทหาร Ecole Preparatoire นั้น ว่าทรยศต่อบ้านเมือง การใช้อารมณ์กล่าวหาคนอื่นเช่นนี้ทำให้ Galois ถูกไล่ออกจากโรงเรียน
สำหรับประเด็นการมีอารมณ์วู่วามนี้ Sophie Germain นักคณิตศาสตร์สตรีผู้มีชื่อเสียงของฝรั่งเศส ก็ยืนยันว่าจริง เพราะเธอเล่าว่า เวลา Galois ซึ่งยากจนไปนั่งฟังการบรรยายวิชาการในที่ประชุมของ Academy of Sciences เขามักกล่าววาจาดูถูก องค์ปาฐกว่าไม่ฉลาด คำวิพากษ์วิจารณ์ลักษณะนี้ทำให้นักวิชาการต่างๆ รู้สึกระอาในความโอหังของ Galois มาก เมื่อ Galois ถูกไล่ออกจากโรงเรียนทหารแล้ว เขาก็ได้กลับไปอยู่กับแม่ที่บ้านอีก แต่แม่บังเกิดเกล้าก็ไม่สามารถทนนิสัยเห็นเสือก็ไม่กลัวของ Galois ได้ จึงต้องหนีออกจากบ้านของตนไปในที่สุด (อ่านต่ออังคารหน้า)
สุทัศน์ ยกส้าน ผู้เชี่ยวชาญพิเศษ สสวท
