ในการเรียนคณิตศาสตร์ เรามักพบเลขเช่น p, e, i ซึ่งเป็นรากที่สองของ -1 และ 0 ปรากฏในโจทย์ หรือคำตอบ แต่โลกคณิตศาสตร์ยังมีเลขอีก 2 จำนวนที่เรามักไม่ได้เผชิญ นั่นคือ เลขแกมมา 8 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1/1+1/2+1/3+1/4...1/n-lnn โดยเวลา n มีค่ามากถึงอนันต์ เลขแกมมามีค่าเท่ากับ 0.577215 และเลข f (ฟี) ซึ่งบางครั้งเรียกเลขอัตราส่วนทองคำ (golden ratio)
f มีกำเนิดจากวิชาเรขาคณิต เช่น เวลามีเส้นตรง AB แล้ว ถ้าเราแบ่งเส้นตรงนี้ที่จุด C โดยทำให้ความยาว AB/ความยาว AC = ความยาว AC/ความยาว CB (ดังรูป) และถ้าให้ CB มีความยาว 1 หน่วย และ AC = x จากเงื่อนไขข้างบน เราก็จะได้สมการ (x+1)/x = x/1 ซึ่งถ้าถอดสมการนี้หาค่า x โดยการจัดเทอมใหม่ จะได้สมการ x2-x-1 = 0 และ x มีค่า = (1+ 51/2)/2 * หรือเท่ากับ 1.618.....โดยประมาณ ดังนั้น เลข f จำนวนนี้จะมีค่าเท่ากับ 1.618...โดยมีทศนิยมเรียงกันไปไม่รู้จบ เช่นเดียวกับเลขพายซึ่งเกี่ยวข้องกับวงกลม แต่ f ในที่นี้เกี่ยวข้องกับรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งเป็นอัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมกับความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่านั้น
เลข f นี้มีคุณสมบัติที่น่าทึ่งหลายประการ เช่น จากสมการ x2-x-1 = 0 เราจะได้ x2 = x+1 และเมื่อ x คือ f ดังนั้น f2 = f +1 ด้วย นั่นคือ (1.618...)2 = 1.618...+1 = 2.618 และจากสมการ f2 = f +1 หากเราหารสมการนี้ตลอดด้วย f เราจะได้ f = 1+1/f นั่นแสดงว่า 1/f = f -1 หรือ 1/1.618... = 1.618...-1 = 0.618... เป็นต้น และถ้าเราเอา f คูณสมการ f2 = f +1 ตลอด เราจะได้ f3 = f2+f แต่เมื่อ f2 = f +1 ดังนั้น f3 = f +1+f = 2f +1 = 2 (1.618)+1 = 4.236 นั่นแสดงว่า (1.618...)3 = 4.236 ในทำนองเดียวกันนี้ เราก็อาจแสดงให้เห็นได้ว่า ไม่ว่า f จะยกกำลังเท่าใด เราก็สามารถเขียนคำตอบในเทอมของ f ได้เสมอ
แต่คุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดของ f คือ สมบัติที่เกี่ยวข้องกับเลข Fibonacci ซึ่งเป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียน ผู้เคยมีชีวิตอยู่เมื่อ 800 ปีก่อนนี้ และเป็นผู้ที่มีชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า Leonardo แห่งเมือง Pisa เพราะถือกำเนิดที่เมือง Pisa ในประเทศอิตาลี
การได้ติดต่อค้าขายกับแขก Moor ในแอฟริกาเหนือ ทำให้ Leonardo มีโอกาสเรียนรู้วิทยาการด้านคณิตศาสตร์จากแขก Moor จนรู้ว่า แขกมุสลิมมีวิธีเขียนเลขแตกต่างจากชาวโรมัน ดังนั้น เขาจึงเรียบเรียงตำราคณิตศาสตร์ขึ้นมาเล่มหนึ่งชื่อ Liber Abaci ในปี พ.ศ. 1745 หนังสือเล่มนั้นมีเนื้อหาพีชคณิต และเลขคณิตมากมาย และมีโจทย์คณิตศาสตร์ที่น่าสนใจหลายโจทย์ เช่น สมมติหมู่บ้านหนึ่งมีหญิงชรา 7 คน หญิงแต่ละคนมีลา 7 ตัว ลาแต่ละตัวมีสัมภาระ 7 ถุง ถุงแต่ละถุงมีขนมปัง 7 ก้อน และขนมปังแต่ละก้อนมีมีดปักอยู่ 7 ด้าม ถามว่าหมู่บ้านนั้นมีมีดกี่ด้าม เป็นต้น
ตำรา Liber Abaci ยังมีโจทย์เกี่ยวกับการสืบพันธุ์ของกระต่ายด้วยว่า สมมติมีกระต่ายคู่หนึ่ง (ตัวผู้และตัวเมีย) และกำหนดให้กระต่ายต้องมีอายุครบ 2 เดือนก่อน จึงจะสามารถสืบพันธุ์ได้ และเวลาให้กำเนิดลูก กระต่ายตัวเมียจะให้กำเนิดลูกกระต่าย 1 คู่ เป็นตัวผู้ 1 และตัวเมีย 1 เสมอไป อีกทั้งกระต่ายทุกตัวจะไม่ล้มป่วย หรือล้มตาย คำถามมีว่า ในเวลา 1 ปี จะมีกระต่ายทั้งหมดกี่คู่
ในการพิจารณาทำโจทย์ข้อนี้ เราก็จะเห็นว่าเมื่อสิ้นเดือนแรก จะมีกระต่ายที่อายุน้อย 1 คู่ เมื่อสิ้นเดือนที่ 2 กระต่ายคู่นี้ก็พร้อมจะสืบพันธุ์ ดังนั้น เมื่อสิ้นเดือนที่สองเราจะมีกระต่ายอายุมาก 1 คู่ และเมื่อสิ้นเดือนที่สาม เราก็จะมีกระต่ายคู่เดิม และกระต่ายคู่ใหม่ที่ถือกำเนิดจากมัน ทำให้มีรวมทั้งสิ้น 2 คู่ และเมื่อสิ้นเดือนที่สี่ เราจะมีกระต่าย 2 คู่เดิม และคู่ใหม่ รวมทั้งสิ้น 3 คู่ เมื่อสิ้นเดือนที่ห้าจะมี 5 คู่, เดือนที่ 6 จะมี 8 คู่ จำนวนจะเพิ่มเรื่อยๆ จนสามารถเขียนเป็นอนุกรมได้ดังนี้คือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 นั่นคือ เมื่อสิ้นหนึ่งปี จะมีกระต่ายรวม 144 คู่
การสังเกตเลข แต่ละตัวจะเห็นได้ว่า ได้จากการรวมเลข 2 จำนวนที่มาก่อนเลขจำนวนนั้น เช่น 2 ได้จาก 1+1 หรือ 13 ได้จาก 5+8 และ 89 = 34+55 นักคณิตศาสตร์เรียกอนุกรมที่เกิดจากการรวมเลขลักษณะนี้ว่า อนุกรม Fibonacci และถ้าใช้สัญลักษณ์ Fn แทนเลขจำนวนต่างๆ เราก็จะได้ว่า F11 = 89 F12 = 144, F13 = 233, F14 =377...F16 = 987, F20 = 6,765 และ F30 = 832,040
ณ วันนี้โลกกำลังลุ่มหลงกับความมหัศจรรย์ของเลข Fibonacci มาก เช่น สมมติว่า เรามีเลขจำนวนเต็มสองจำนวน จะเป็นเลขอะไรก็ได้ สมมติเป็น 6 กับ 11 แล้วเราทำตามเงื่อนไขของ Fibonacci คือหาเลขจำนวนที่สามโดยการเอาเลขสองจำนวนบวกกัน ดังนั้น ในที่นี้เราจะได้ 6+11 = 17 แล้ว หาเลขจำนวนต่อๆ ไป โดยใช้เงื่อนไขดังที่ Fibonacci กำหนด เราก็จะได้อนุกรมเป็น 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309.....ประเด็นที่น่าสนใจจะเกิดขึ้น เมื่อเรานำเลขสองจำนวนที่อยู่ติดกันมาหารกัน เช่น 309/191 จะได้เท่ากับ 1.6179 หรือเอา 118/73 = 1.6164...ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกันมาก และถ้าเราพิจารณาเทอมที่มากๆ Kepler ได้พบว่า อัตราส่วนของเลขสองจำนวนจะเท่ากับ 1.6180339887...เสมอ ไม่ว่าเราจะเริ่มต้นด้วยเลขอะไรก็ตาม และเลข 1.6180339887...นี้ก็คือ (1+51/2)/2 ซึ่งก็คือ เลขที่เรารู้จักว่า f นั่นเอง
หรือเวลาเรามีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอัตราส่วนด้านยาว : ด้านกว้าง = 1.618... :1 ถ้าเราตัดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ เราก็จะพบว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหลือมีอัตราส่วนด้านยาว : ด้านกว้าง = 1.618... : 1 เหมือนเดิมอีก
คุณสมบัติเหล่านี้ได้ชักนำให้นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนชื่อ Luca Pacioli คิดว่า f = 1.618...เป็นตัวเลขที่พระเจ้าได้ประทานให้มนุษย์โดยเฉพาะ เขาจึงเรียบเรียงตำราขึ้นมาเล่มหนึ่ง ซึ่งเกี่ยวข้องกับเลข f โดยเฉพาะชื่อ The Devine Proportion จากนั้นโลกก็รู้จัก f มากขึ้น
ไม่เพียงแต่นักคณิตศาสตร์เท่านั้น ที่พบเห็น f ในชีวิตทำงาน แม้แต่นักจิตวิทยาชื่อ Gustav Fechner ก็พบว่า f มีบทบาทในการตัดสินความงามของภาพ เช่น เวลาเขาให้คนดูภาพสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาว และด้านกว้างขนาดต่างๆ กัน เขาได้พบว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่โดนใจคนดูมากที่สุด คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาว : ความกว้างในอัตราส่วน 1.618... : 1
ในชีววิทยา นักพฤกษศาสตร์ได้พบว่า เวลาต้นไม้แตกใบ แนวใบที่แตกใหม่จะทำมุม 137.5 องศากับแนวใบล่าสุด และถ้าเอา 360-137.5 จะได้เท่ากับ 222.3 ซึ่ง 222.5/137.5 = 1.618... หรือพูดง่ายๆ ว่า 137.5 = 360 (1-1/f) ซึ่งนักชีววิทยาอธิบายว่า สาเหตุที่เป็นเช่นนี้เพราะการแตกใบในแนวมุมดังกล่าวจะทำให้ใบไม่ได้รับแสงอาทิตย์มากที่สุด โดยที่ไม่มีใบอื่นๆ มาบดบังแสงในแนวดิ่งที่จะกระทบมัน หรือแม้แต่เกสรของดอกทานตะวัน หากพิจารณาดูเราจะเห็นมันเรียงตัวเป็นเกลียวตามเข็มนาฬิกาบ้าง ทวนเข็มนาฬิกาบ้าง และจำนวนเกลียวจะเป็น 21, 34 หรือ 55 ซึ่งเป็นเลข Fibonacci
เมื่อเร็วๆ นี้ Mario Livio ได้เรียบเรียงหนังสือเล่มหนึ่งชื่อ The Golden Ratio : The Story of Phi, the World s Most Astonishing Number ซึ่งจัดพิมพ์โดย Broadway Books, New York ราคา 24.95 เหรียญสหรัฐ หนังสือนี้น่าสนใจเพราะ Livio ได้กล่าวถึงธรรมชาติที่มี f เข้าไปเกี่ยวข้องหลายเหตุการณ์ เช่น พีระมิดอียิปต์, ดนตรี Mozart, เกลียวสับปะรด, หลุมดำ supernova และทฤษฎี string ฯลฯ หนังสือเล่มนี้จึงนอกจากจะให้ความเพลิดเพลินด้านคณิตศาสตร์แล้ว ยังทำให้เรารู้คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับชีวิตมากด้วย
สุทัศน์ ยกส้าน ภาคีสมาชิก ราชบัณฑิตยสถาน
* หมายเหตุ: 51/2 หมายถึง รากที่ 2 ของ 5
