จากกรณีข่าวฉาวเรื่อง “นาฬิกาพลเอกประวิตร” ที่มีติดต่อกันหลายเดือนพร้อมกับภาพโฆษณานาฬิกาเรือนแล้วเรือนเล่าที่สื่อออนไลน์ได้นำมาประกอบข่าวถึง 25 เรือน ทำให้ญาติผมคนหนึ่งได้ตั้งคำถามว่า “ทำไมเข็มนาฬิกาที่โฆษณาส่วนใหญ่ จึงมักชี้ที่เวลาประมาณ 10.10 น.” บทความนี้ไม่เกี่ยวกับการเมือง และไม่เกี่ยวกับ ป.ป.ช.ที่ประธานคณะกรรมการมีความใกล้ชิดกับผู้แขวนนาฬิการาคาแพงผู้นี้แต่อย่างใดครับ
เรียนตามตรงว่าผมเองก็ไม่ได้สังเกตเรื่องนาฬิกามาก่อน แต่เนื่องจากผมเคยเป็นที่ปรึกษาให้กับนักศึกษาที่ทำโครงงานคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสัดส่วนทองคำกับความมหัศจรรย์ในธรรมชาติ ผมจึงสามารถตอบคำถามที่น่าสนใจนี้ได้ในทันที
ภาพข้างบนนี้ ผมนำมาเสนอ 7 เรือน หลายยี่ห้อราคาแพงทั้งนั้น พบว่าเป็นความจริงตามที่ญาติผมได้ตั้งข้อสังเกตไว้ มีเพียงเรือนเดียวเท่านั้นที่เข็มชี้เวลา 17.05 น. (ซึ่งก็จัดอยู่ในหลักการเดียวกัน) ส่วนภาพในกรอบเล็กๆ ทางซ้ายมือด้านล่างเป็นสิ่งที่ผมจะอธิบายในภายหลัง ไม่ได้มีอะไรซับซ้อนเหมือนกับที่บางท่านเริ่มรู้สึกกังวลแล้วนะครับ
ผมกับญาติผู้น้องคนนี้เห็นตรงกันว่า ถ้าเข็มนาฬิกาชี้ไปที่ 12.00 น. หรือใกล้เคียง เข็มก็จะบดบังชื่อยี่ห้อ ดังนั้นบริษัทจึงไม่นำภาพนั้นมาโฆษณาแน่นอน และถ้าชี้ไปที่ประมาณ 9.15 น. มันก็ดูแปลกๆ แข็งๆ และไม่สวย
ผมเริ่มอธิบายด้วยชี้ไปที่ภาพถ่ายภายในบ้าน พบว่าไม่มีภาพใดเลยที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปที่ขนาดด้านกว้างเท่ากับด้านยาว ผมเข้าใจว่า ผู้ที่กำหนดขนาดของภาพไม่ใช่ธรรมชาติ แต่เป็นความรู้สึกร่วมของสังคมที่รู้สึกเหมือนกัน
เพื่อให้เห็นของจริง เราเริ่มตรวจสอบกระดูกส่วนต่างๆ นิ้วมือของตนเองแต่ละนิ้ว พบว่าความยาวของกระดูกแต่ละข้อก็ยาวไม่เท่ากัน แต่ที่น่าแปลกก็คือสัดส่วนของความยาวของกระดูกแต่ละข้อจะมีค่า “เกือบคงที่” ซึ่งเราเรียกค่าคงที่นั้นว่า “สัดส่วนทองคำ (Golden Ratio)”
ในบทความนี้ ผมได้นำภาพถ่ายเรื่องความยาวของข้อนิ้วมือและภาพวาด Mona Lisa ซึ่งยอมรับกันทั่วไปว่าเป็นภาพผู้หญิงที่มีความสวยงามมากที่สุดภาพหนึ่งมาให้ดูด้วยครับ
กรุณาอ่านข้อความในภาพอีกครั้งหนึ่งครับ
จากภาพ เราพอตั้งเป็นข้อสังเกตได้ว่า ความยาวของอวัยวะในร่างกายมนุษย์หลายชิ้น เช่น ความยาวของฝ่ามือ หารด้วยความยาวของกระดูกจากข้อศอกถึงข้อมือของแต่ละคนจะได้ประมาณ 0.6
ผมเข้าใจว่าไม่น่าจะเป็นเรื่องที่สังคมกำหนดขึ้นมาเองเหมือนเรื่องขนาดของภาพถ่าย แต่น่าจะเป็นเรื่องวิวัฒนาการที่สืบทอดกันมาเป็นล้านปี แต่ถามว่าทำไมจึงกำหนดที่ประมาณ 0.6 นั้น ผมไม่ทราบจริงๆ ครับ
แต่ถ้าเป็นเรื่องของการเรียงตัวของกิ่งไม้ที่แตกออกมาจากลำต้นใหญ่ หรือใบไม้ที่แตกออกมาจากกิ่งเล็กมักจะถูกกำหนดโดยเงื่อนไขของธรรมชาติ เช่น ให้ใบที่ออกมาภายหลังสุดต้องไม่บังแสงอาทิตย์ของใบที่ได้ออกมาก่อนหน้านี้ (ใบเก่าๆ ที่ออกมานานแล้วก็ร่วงไปตามกาลเวลา) รวมถึงการรับน้ำฝนด้วย ดังนั้น การเรียงตัวดังกล่าวจึงออกมาในรูปที่คล้ายกับเข็มนาฬิกาที่นำมาโฆษณาคือเป็น “มุมทองคำ (golden angle)”
ผมขอกล่าวถึงความหมายของ “สัดส่วนทองคำ” กรุณาดูภาพแรกประกอบครับ
กรณีของวงกลม ถ้าเราแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 2 ส่วน ให้ส่วนหนึ่งสั้นกว่าอีกส่วนหนึ่ง ดังนั้น ถ้าสัดส่วนของความยาวเส้นโค้งของส่วนที่สั้นกว่า (ในรูปคือ a) กับส่วนที่ยาวกว่า (ในรูปคือ b) เท่ากับสัดส่วนความยาวของเส้นโค้งของส่วนที่ยาวกว่า (ในรูปคือ a) กับความยาวของเส้นรอบวงกลมทั้งวง (ในรูปคือ a+b) เราจะเรียกสัดส่วนดังกล่าว (คือ b/a) ว่าเป็นสัดส่วนทองคำ (golden ratio)
ในกรณีสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็เช่นเดียวกันครับ
และโดยการแก้สมการหาค่าสัดส่วนทองคำ (คือ b/a) โดยใช้ความรู้ระดับชั้นมัธยมปีที่ 2 เราจะได้ว่า สัดส่วนทองคำมีค่าเป็นจำนวนอตรรกยะ (หรือจำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้) เมื่อเขียนเป็นจำนวนทศนิยมไม่รู้จบ ก็จะได้เท่ากับ 0.0.618033989
กลับมาที่การทำมุมของเข็มนาฬิกาที่ใช้ในการโฆษณาอีกครั้งครับ
ถ้าเข็มนาฬิกาทั้ง 2 เข็มได้แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสัดส่วนทองคำแล้ว ถ้าเราวัดมุมที่เล็กกว่าเราจะได้ 137.5 องศา (หรือใช้วิธีการคำนวณก็ได้เท่ากัน) เราก็จะเรียกมุมดังกล่าวว่าเป็น มุมทองคำ (golden angle)
เนื่องจากมุมที่เกิดจากเข็มนาฬิกาในแต่ละชั่วโมงจะเท่ากับ 30 องศา ดังนั้น มุมของเข็มนาฬิกาเรือนแรกในรูป (ราคา 2.6 ล้านบาท) จึงมีค่าประมาณ 116 องศา ไม่ใช่ 137.5 องศาซึ่งเป็นมุมทองคำ
นี่คือเหตุผลที่ผมใช้คำว่า “ประมาณ” มาตั้งแต่ต้น แต่ในกรณีภาพวาด Mona Lisa สัดส่วนระหว่างความกว้างของใบหน้า (ระหว่างใบหูทั้งสองข้าง) กับความยาวของใบหน้า (จากส่วนบนสุดของหน้าผากจนถึงคาง) เป็นสัดส่วนทองคำเปี๊ยะเลย หรือ สัดส่วนทองคำสมบูรณ์ ในขณะที่ใบหน้าของคนทั่วไปจะได้แค่ใกล้เคียงกับสัดส่วนทองคำเท่านั้น
ภาพข้างล่างแสดงการเรียงตัวหรือตำแหน่งของใบของพืชซึ่งเป็นไปตามมุมทองคำ เว็บไซต์บางแห่งบอกว่าเป็นพืชทุกชนิดจะเรียงตัวเป็นมุมทองคำ แต่ผมเองยังไม่แน่ใจเพราะยังไม่ได้ศึกษาให้ละเอียดครับ
นอกจากสัดส่วนทองคำจะปรากฏอยู่ในพืชแล้ว ยังมีการนำไปใช้ในการออกแบบในงานสถาปัตยกรรมสำคัญๆ ของโลก เช่น หอไอเฟล ประเทศฝรั่งเศส เป็นต้น
เรื่องสัดส่วนทองคำยังมีเรื่องราวที่น่าสนใจอีกจำนวนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ปรากฏอยู่ในธรรมชาติรอบๆ ตัวเรา ซึ่งผมเองก็ยังไม่เข้าใจว่ามันไปเชื่อมโยงกับค่าคงตัวที่มีความสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างไร
ก่อนเกษียณราชการ ผมเองเคยตั้งใจไว้ว่าจะเขียนเรื่องคณิตศาสตร์ที่สังคมยังคิดไม่ถึงเพื่อเผยแพร่ให้กับสาธารณะ แต่พอเกษียณเข้าจริงผมกลับต้องใช้เวลาไปการค้นคว้าเรื่องพลังงานและสิ่งแวดล้อมเป็นหลัก เพราะเป็นประเด็นหนึ่งที่สังคมไทยได้เรียกร้องให้มีการปฏิรูปมากที่สุด ผมเองได้พยายามอย่างเต็มที่แล้วครับ แต่พบว่าไม่ค่อยมีอะไรคืบหน้าจากภาคส่วนของภาครัฐ รวมทั้งรัฐบาล คสช.ด้วย มีแต่ภาคประชาชนเท่านั้นที่จะต้องช่วยทำปฏิรูปนโยบายของประเทศครับ
ผมรู้สึกว่าสถานการณ์ของโลกได้เอื้อทุกอย่างให้เราสามารถปฏิรูปพลังงานได้แล้ว ไม่ว่าจะเป็นต้นทุนที่ต่ำลงมากของเทคโนโลยีพลังงานหมุนเวียน แต่วันนี้ต้องออกนอกแถวสักครั้งก็ด้วยคำถามที่น่าสนใจญาติของผมเองครับ
เรียนตามตรงว่าผมเองก็ไม่ได้สังเกตเรื่องนาฬิกามาก่อน แต่เนื่องจากผมเคยเป็นที่ปรึกษาให้กับนักศึกษาที่ทำโครงงานคณิตศาสตร์เกี่ยวกับสัดส่วนทองคำกับความมหัศจรรย์ในธรรมชาติ ผมจึงสามารถตอบคำถามที่น่าสนใจนี้ได้ในทันที
ภาพข้างบนนี้ ผมนำมาเสนอ 7 เรือน หลายยี่ห้อราคาแพงทั้งนั้น พบว่าเป็นความจริงตามที่ญาติผมได้ตั้งข้อสังเกตไว้ มีเพียงเรือนเดียวเท่านั้นที่เข็มชี้เวลา 17.05 น. (ซึ่งก็จัดอยู่ในหลักการเดียวกัน) ส่วนภาพในกรอบเล็กๆ ทางซ้ายมือด้านล่างเป็นสิ่งที่ผมจะอธิบายในภายหลัง ไม่ได้มีอะไรซับซ้อนเหมือนกับที่บางท่านเริ่มรู้สึกกังวลแล้วนะครับ
ผมกับญาติผู้น้องคนนี้เห็นตรงกันว่า ถ้าเข็มนาฬิกาชี้ไปที่ 12.00 น. หรือใกล้เคียง เข็มก็จะบดบังชื่อยี่ห้อ ดังนั้นบริษัทจึงไม่นำภาพนั้นมาโฆษณาแน่นอน และถ้าชี้ไปที่ประมาณ 9.15 น. มันก็ดูแปลกๆ แข็งๆ และไม่สวย
ผมเริ่มอธิบายด้วยชี้ไปที่ภาพถ่ายภายในบ้าน พบว่าไม่มีภาพใดเลยที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปที่ขนาดด้านกว้างเท่ากับด้านยาว ผมเข้าใจว่า ผู้ที่กำหนดขนาดของภาพไม่ใช่ธรรมชาติ แต่เป็นความรู้สึกร่วมของสังคมที่รู้สึกเหมือนกัน
เพื่อให้เห็นของจริง เราเริ่มตรวจสอบกระดูกส่วนต่างๆ นิ้วมือของตนเองแต่ละนิ้ว พบว่าความยาวของกระดูกแต่ละข้อก็ยาวไม่เท่ากัน แต่ที่น่าแปลกก็คือสัดส่วนของความยาวของกระดูกแต่ละข้อจะมีค่า “เกือบคงที่” ซึ่งเราเรียกค่าคงที่นั้นว่า “สัดส่วนทองคำ (Golden Ratio)”
ในบทความนี้ ผมได้นำภาพถ่ายเรื่องความยาวของข้อนิ้วมือและภาพวาด Mona Lisa ซึ่งยอมรับกันทั่วไปว่าเป็นภาพผู้หญิงที่มีความสวยงามมากที่สุดภาพหนึ่งมาให้ดูด้วยครับ
กรุณาอ่านข้อความในภาพอีกครั้งหนึ่งครับ
จากภาพ เราพอตั้งเป็นข้อสังเกตได้ว่า ความยาวของอวัยวะในร่างกายมนุษย์หลายชิ้น เช่น ความยาวของฝ่ามือ หารด้วยความยาวของกระดูกจากข้อศอกถึงข้อมือของแต่ละคนจะได้ประมาณ 0.6
ผมเข้าใจว่าไม่น่าจะเป็นเรื่องที่สังคมกำหนดขึ้นมาเองเหมือนเรื่องขนาดของภาพถ่าย แต่น่าจะเป็นเรื่องวิวัฒนาการที่สืบทอดกันมาเป็นล้านปี แต่ถามว่าทำไมจึงกำหนดที่ประมาณ 0.6 นั้น ผมไม่ทราบจริงๆ ครับ
แต่ถ้าเป็นเรื่องของการเรียงตัวของกิ่งไม้ที่แตกออกมาจากลำต้นใหญ่ หรือใบไม้ที่แตกออกมาจากกิ่งเล็กมักจะถูกกำหนดโดยเงื่อนไขของธรรมชาติ เช่น ให้ใบที่ออกมาภายหลังสุดต้องไม่บังแสงอาทิตย์ของใบที่ได้ออกมาก่อนหน้านี้ (ใบเก่าๆ ที่ออกมานานแล้วก็ร่วงไปตามกาลเวลา) รวมถึงการรับน้ำฝนด้วย ดังนั้น การเรียงตัวดังกล่าวจึงออกมาในรูปที่คล้ายกับเข็มนาฬิกาที่นำมาโฆษณาคือเป็น “มุมทองคำ (golden angle)”
ผมขอกล่าวถึงความหมายของ “สัดส่วนทองคำ” กรุณาดูภาพแรกประกอบครับ
กรณีของวงกลม ถ้าเราแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 2 ส่วน ให้ส่วนหนึ่งสั้นกว่าอีกส่วนหนึ่ง ดังนั้น ถ้าสัดส่วนของความยาวเส้นโค้งของส่วนที่สั้นกว่า (ในรูปคือ a) กับส่วนที่ยาวกว่า (ในรูปคือ b) เท่ากับสัดส่วนความยาวของเส้นโค้งของส่วนที่ยาวกว่า (ในรูปคือ a) กับความยาวของเส้นรอบวงกลมทั้งวง (ในรูปคือ a+b) เราจะเรียกสัดส่วนดังกล่าว (คือ b/a) ว่าเป็นสัดส่วนทองคำ (golden ratio)
ในกรณีสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็เช่นเดียวกันครับ
และโดยการแก้สมการหาค่าสัดส่วนทองคำ (คือ b/a) โดยใช้ความรู้ระดับชั้นมัธยมปีที่ 2 เราจะได้ว่า สัดส่วนทองคำมีค่าเป็นจำนวนอตรรกยะ (หรือจำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้) เมื่อเขียนเป็นจำนวนทศนิยมไม่รู้จบ ก็จะได้เท่ากับ 0.0.618033989
กลับมาที่การทำมุมของเข็มนาฬิกาที่ใช้ในการโฆษณาอีกครั้งครับ
ถ้าเข็มนาฬิกาทั้ง 2 เข็มได้แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสัดส่วนทองคำแล้ว ถ้าเราวัดมุมที่เล็กกว่าเราจะได้ 137.5 องศา (หรือใช้วิธีการคำนวณก็ได้เท่ากัน) เราก็จะเรียกมุมดังกล่าวว่าเป็น มุมทองคำ (golden angle)
เนื่องจากมุมที่เกิดจากเข็มนาฬิกาในแต่ละชั่วโมงจะเท่ากับ 30 องศา ดังนั้น มุมของเข็มนาฬิกาเรือนแรกในรูป (ราคา 2.6 ล้านบาท) จึงมีค่าประมาณ 116 องศา ไม่ใช่ 137.5 องศาซึ่งเป็นมุมทองคำ
นี่คือเหตุผลที่ผมใช้คำว่า “ประมาณ” มาตั้งแต่ต้น แต่ในกรณีภาพวาด Mona Lisa สัดส่วนระหว่างความกว้างของใบหน้า (ระหว่างใบหูทั้งสองข้าง) กับความยาวของใบหน้า (จากส่วนบนสุดของหน้าผากจนถึงคาง) เป็นสัดส่วนทองคำเปี๊ยะเลย หรือ สัดส่วนทองคำสมบูรณ์ ในขณะที่ใบหน้าของคนทั่วไปจะได้แค่ใกล้เคียงกับสัดส่วนทองคำเท่านั้น
ภาพข้างล่างแสดงการเรียงตัวหรือตำแหน่งของใบของพืชซึ่งเป็นไปตามมุมทองคำ เว็บไซต์บางแห่งบอกว่าเป็นพืชทุกชนิดจะเรียงตัวเป็นมุมทองคำ แต่ผมเองยังไม่แน่ใจเพราะยังไม่ได้ศึกษาให้ละเอียดครับ
นอกจากสัดส่วนทองคำจะปรากฏอยู่ในพืชแล้ว ยังมีการนำไปใช้ในการออกแบบในงานสถาปัตยกรรมสำคัญๆ ของโลก เช่น หอไอเฟล ประเทศฝรั่งเศส เป็นต้น
เรื่องสัดส่วนทองคำยังมีเรื่องราวที่น่าสนใจอีกจำนวนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ปรากฏอยู่ในธรรมชาติรอบๆ ตัวเรา ซึ่งผมเองก็ยังไม่เข้าใจว่ามันไปเชื่อมโยงกับค่าคงตัวที่มีความสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างไร
ก่อนเกษียณราชการ ผมเองเคยตั้งใจไว้ว่าจะเขียนเรื่องคณิตศาสตร์ที่สังคมยังคิดไม่ถึงเพื่อเผยแพร่ให้กับสาธารณะ แต่พอเกษียณเข้าจริงผมกลับต้องใช้เวลาไปการค้นคว้าเรื่องพลังงานและสิ่งแวดล้อมเป็นหลัก เพราะเป็นประเด็นหนึ่งที่สังคมไทยได้เรียกร้องให้มีการปฏิรูปมากที่สุด ผมเองได้พยายามอย่างเต็มที่แล้วครับ แต่พบว่าไม่ค่อยมีอะไรคืบหน้าจากภาคส่วนของภาครัฐ รวมทั้งรัฐบาล คสช.ด้วย มีแต่ภาคประชาชนเท่านั้นที่จะต้องช่วยทำปฏิรูปนโยบายของประเทศครับ
ผมรู้สึกว่าสถานการณ์ของโลกได้เอื้อทุกอย่างให้เราสามารถปฏิรูปพลังงานได้แล้ว ไม่ว่าจะเป็นต้นทุนที่ต่ำลงมากของเทคโนโลยีพลังงานหมุนเวียน แต่วันนี้ต้องออกนอกแถวสักครั้งก็ด้วยคำถามที่น่าสนใจญาติของผมเองครับ
